rrr立幾空向知點(diǎn)結(jié)知網(wǎng)：知識(shí)點(diǎn)撥：、空間向量的概念及其運(yùn)算與平面向量類似，向量加、減法的平行四邊形法則，三形法則以及相關(guān)的運(yùn)算律仍然成立間向量的數(shù)量積運(yùn)算共線向量定理共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣．rr、、為零向量時(shí)．

rrrraa

是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，這是運(yùn)用空間向量研究線線、線面面垂直的關(guān)鍵，通常可以與向量的運(yùn)算法則、有關(guān)運(yùn)算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題．rr,r、公式

是應(yīng)用空間向量求空間中各種角的基礎(chǔ)，用這個(gè)公式可以求兩異面直線所成的角（但要注意兩異面直線所成角與兩向量的夾角在取值范圍上的區(qū)別），再結(jié)合平面的法向量，可以求直線與平面所成的角和二面角等．線的方向向量平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對(duì)位置的重要概，通過研究方向向量與法向量之間的關(guān)系以確定直線與直線直與平面平面與平面等的位置關(guān)系以及有關(guān)的計(jì)算問題．、用空間向量判斷空間中的位置關(guān)系的常用方法（1線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．（2線線垂直證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直，即

rrrraa

．

rr2rr2（3線面平行用向量證明線面平行的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性表示直線的方向向量．（4線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有：①證明直線方向向量與平面法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．（5面面平行①證明兩個(gè)平面的法向量平行（即是共線向量）；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．（6面面垂直①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題．、運(yùn)用空間向量求空間角（1求兩異面直線所成角rr,br利用公式，但務(wù)必注意兩異面直線所成角θ的范圍是

，故實(shí)質(zhì)上應(yīng)有：

rrcos,b

．（2求線面角求直線與平面所成角時(shí)種方法是先求出直線及射影直線的方向向量過量積求出直線與平面所成角一方是借助平面的法向量求出直線方向向量與平面法向量的夾角φ，即可求出直線與平面所成的角θ，其關(guān)系是θ＝cosφ．（3求二面角用向量法求二面角也有兩種方法種法是利用平面角的定義兩個(gè)面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對(duì)應(yīng)的方向向量后求出這兩個(gè)方向向量的夾角此可求出二面角的大小另一種方法是轉(zhuǎn)化為求二角的兩個(gè)面的法向量的夾角與面角的大小相等或互補(bǔ)．、運(yùn)用空間向量求空間距離空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面的距離．（1點(diǎn)與點(diǎn)的距離點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是這兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度，因此也就是這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模．（2點(diǎn)與面的距離點(diǎn)面距離的求解步驟是：①求出該平面的一個(gè)法向量；②求出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即得要求的點(diǎn)面距

ababaapb離．備考建議：、空間向量的引入，把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間，運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線平面位置關(guān)系的問題體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用一發(fā)展空間想像能力和幾何直觀能力．、靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題．、在解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題時(shí)，直線的方向向量與平的法向量有著舉足輕重的地位和作用點(diǎn)是用代數(shù)方法解決立體幾何問題進(jìn)行繁、難的幾何作圖和推理論證，起著從抽象到具體、化難為易的作用，熟練掌握平面法向量的求法和用法．、加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性．第一講空向量及運(yùn)算一、空間向量的有關(guān)概念、空間向量的定義在空間中既大小又有方向的叫做空間向量意空間向量和數(shù)量的區(qū)別數(shù)量是只有大小而沒有方向的量．、空間向量的表示方法空間向量與平面向量一樣可用有向線段來表示有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大r小，用有向線段的方向表示向量的方向．若向量對(duì)應(yīng)的有向線段的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是，rr則向量可記為，模長(zhǎng)為

r

rAB或．、零向量r長(zhǎng)度為零的向量稱為零向量，記為．零向量的方向不確定，是任意的．由于零向量的這一特殊性，在解題中一定要看清題目中所指向量是“零向量”還是“非零向量”．、單位向量模長(zhǎng)為1的向量叫做單位向量單位向是一種常用的重要的空間向量在以后的學(xué)習(xí)中還要經(jīng)常用到．、相等向量rrrr長(zhǎng)度相等且方向相同的空間向量叫做相等向量．若向量與向量相等，記為零向量與零向量相等意兩個(gè)相等的非零向量都可以用空間中的同一條有向線段來表示且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)．、相反向量rr長(zhǎng)度相等但方向相反的兩個(gè)向量叫做相反向量．的反向量記為－二、共面向量、定義平行于同一平面的向量叫做共面向量．、共面向量定理rrrr若兩個(gè)向量、不線，則向量與量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y,

pxa（其中abcppxapxa（其中abcppxarrrrrrrrrijkijkaijkrr使得。、空間平面的表達(dá)式空間一點(diǎn)P位平面MAB內(nèi)充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x使

rrrMPxMA或?qū)臻g任一定點(diǎn)有rOPyOBzOMy三、空間向量基本定理

或這幾個(gè)式子是M,A,B,P四共面的充要條件．、定理rrrr如果三個(gè)向量、、不面那么對(duì)空間任一向量，在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、rry、z，使=、注意以下問題

r（1空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底．r（2由于可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)r向量不共面，就隱含著它們都不是。（3一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，兩者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．rrr由空間向量的基本定理知，若三個(gè)向量、、不面。那么所有空間向量所組成的集合就是以我們把

rrrrr|py這個(gè)集合可看做是由向量、、生成的所rrr稱為空間的一個(gè)基底。、、叫基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．、向量的坐標(biāo)表示（1）單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基k底，常用表示．（2空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和個(gè)單位正交基底

rrri,j,k

rrr以點(diǎn)為點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:軸y軸z軸它們都叫坐標(biāo)軸．則建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)rrr系－點(diǎn)叫點(diǎn)，向量、、都叫坐標(biāo)向量．（3）空間向量的坐標(biāo)rrrr給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系和向量且設(shè)、、為標(biāo)向量存在唯一有序數(shù)組，

aaijkOArrrrraaijkOArrrrrrOAaay，z）使

rrrraxiyj

r，有序數(shù)組x，y，z）叫做在間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐r標(biāo)，記為=

y,

。rr對(duì)坐標(biāo)系中任一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，=

rrrraxiyjzk

。在單位正交基底rrr、、中與向量對(duì)的有序?qū)崝?shù)組，，），叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A（x，y，）四、空間向量的運(yùn)算、空間向量的加法三角形法則（注意首尾相連）、平行四邊形法則，加法的運(yùn)算律：交換律

rrrra結(jié)合律

、空間向量的減法及幾何作法rrr幾何作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，r指向的點(diǎn)的向量，這就是向減法的幾何意義．、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

rrrBA，從的點(diǎn)（1定義rr實(shí)數(shù)與的是一個(gè)向量，記，它的模與方向規(guī)定如下：①

rrrrrrrr②當(dāng)時(shí)同向；當(dāng)時(shí)與異；當(dāng)．注意：rr①關(guān)實(shí)數(shù)與空間向量的積的解：我們可以把的模擴(kuò)大（當(dāng)

>1），也可以縮?。?/p>

r<1時(shí)），同時(shí)，我們可以不改變向量的向（當(dāng)時(shí)，也可以改變向r量的向（當(dāng)時(shí)。.②注實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況，當(dāng)

rrrr時(shí)；，時(shí)有

rr

。rr③注實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算．比如無運(yùn)算。（2實(shí)數(shù)與空間向量的積滿足的運(yùn)算律

rrabrrababba設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，則有

（結(jié)合律）

rrr

（第一分配律）rrrra

（第二分配律）實(shí)數(shù)與向量的積也叫數(shù)乘向量．、共線向量（1共線向量定義若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合這向量叫做共線向量rrrr叫做平行向量。若與是線量，則記為//。注意：零向量和空間任一向量是共線向量．（2共線向量定理rrrrrrrr對(duì)空間任意兩個(gè)向量、（≠），//的要件是存在實(shí)數(shù)λ使＝λ（3空間直線的向量表示式r如果直線l是過已知點(diǎn)A且行于已知非零向量的線么任一點(diǎn)O點(diǎn)在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式方向向量．

rOP

r，其中向量叫直線l的注意：r①若在l上取，則有

OPABOA)OArB)OAtOB②上式可解決三點(diǎn)、A、B共問題的表示或判定．rrtOPOA③當(dāng)時(shí)，P為的點(diǎn)，這是中點(diǎn)公式的向量表達(dá)式．r④若P分AB所比為，、空間直角坐標(biāo)系

rrOAOB在空間直角坐標(biāo)系中三條坐標(biāo)兩兩互相垂直軸的方向通常這樣選擇從軸正方向看x軸半軸沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90能與y軸正半軸重合。讓右手指指向x軸正方向食指向y軸正方向如果中指指向z軸正方向那么稱個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。一般情況下，建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系．在平面上畫空間直角坐標(biāo)系－xyz時(shí)一般使∠xOy=135°，∠°空間兩點(diǎn)間的距離公式是平面上兩點(diǎn)間距離公式的推廣，是空間向量模長(zhǎng)公式的推廣，如果知道兒何體上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)．我們就可直接套用．

a與a與e與b與a或|ab)Py,z),Pyz設(shè)11222，則

(x2yz2211

特別地P（）到原點(diǎn)的距離

|OP

2

y

2

2、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算a|b其中

,b與b

的夾角，范圍是[0π，注意數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律。性質(zhì)若

是非零向量，是方向相同的單位向量，θ是的角，則（1（2

aba

（3若同，則

a|

；若反，則

a

；特別地：

的夾則cos

（4若θ為

||（5

||運(yùn)算律（1結(jié)合律

)（2交換律（3分配律

不滿足消去律和結(jié)合律即：b定a(b【典型例】例1.已P是面四邊形ABCD所平面外點(diǎn)，連結(jié)PA、、、PD，點(diǎn)、、GH分為、△PBC、△、的重心。求證E、、H四共面。證：別延長(zhǎng)PE、、PG、交邊于、NQR∵、F、GH分是所在三角形的重心∴M、NQ、R為在邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)所得四邊形為平行四邊形，且有

22222{a}1111122222{a}11111PEPMPQ3∵為行四邊形，則EGPGMQ3

(MNMR)PM)PM)323((PH32EF∴由共面向量定理得、、H四共面。例2.如所示，在平行六面體

B'C'中，AB，AD，AAcP是的中點(diǎn)M是的中點(diǎn)N的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CA'上的點(diǎn)，且QA'=4，用基底表以下向量：（1；（2）AM；3）AN；（）AQ。解：連結(jié)ACAD'(ABADAA')()（122；（2（3

AM(ACAD)(ABADAA')b222

；

111141111111141111[(ABADAA')(AD

(ABADAA')b（4

AQACCQAC(AA'AC)ABADAA'555

ac55點(diǎn)評(píng)：本例是空間向量基本定理的推論的應(yīng)用．此推論意在用分解定理確定點(diǎn)的位置，它對(duì)于以后用向量方法解幾何問題很有用定空間不共面的三個(gè)向量作基向量用們表示出指定的向量，是用向量解決幾何問題的一項(xiàng)基本功．例3.已空間四邊形中∠AOB=∠BOC=∠，且OA=OB=OCMN分別是OABC的點(diǎn)是MN的點(diǎn)。求OG⊥BC證明：連結(jié)ON，設(shè)∠AOB=∠AOC=又設(shè)a，，OC，則OG(OMON)2又[OA222

|a|b|

。

14

(abcc

122222（2若，3y，122222（2若，3y，z）222∴

OG(bccb)4(ab)2aa|cosa|

)∴OG⊥例4.已空間三點(diǎn)A（，23，B（－2，6C（1，－，5。（1求以為鄰邊的平行四邊形面積；aa分別與AB解（1）由題中條件可知AB

垂直，求向量a的標(biāo)。cosABAC

AB114142|AB∴

sinABAC

32∴以AB為邊的平行四邊形面積：SAB|AB2（2設(shè)由意得3z

x或解得

z∴

第二講直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用一、直線的方向向量及其應(yīng)用

OPOPybab12112vuvv、直線的方向向量直線的方向向量就是指和這條直線所對(duì)應(yīng)向量平或線的向量顯一條直線的方向向量可以有無數(shù)個(gè)．2直線方向向量的應(yīng)用利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面．rrr（1有直線l,點(diǎn)A是線l上一點(diǎn)量是l的向向量直線l上，則對(duì)于直線l上任意一，定存在實(shí)數(shù)t，使得

rr

r，這樣，點(diǎn)A和量不可以確定l的置，還可具體表示出l上任意點(diǎn)．（空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線定，若設(shè)這兩條直線交于點(diǎn)rr它們的方向向量分別是和，P為面上任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在有rrrrr序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使得，這樣，點(diǎn)O與向向量、不可以確定平α的位置，還可以具體表示出α上的任意點(diǎn)．二、平面的法向量、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個(gè)平面的法向也有無數(shù)個(gè)，它們是共線向量．rr、在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)A和個(gè)向量，么以向量為向量且經(jīng)過點(diǎn)A的面是唯一確定的．三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用ururruu、若兩直線l、的方向向量分別是1、2，則有l(wèi)//l1//2，l⊥l⊥2．rrrrvvvv、若兩平面α、β的法向量分別是、，有α//β1//，α⊥β1⊥．rrrrrr若直線l的向向量是，平面的法向量是，有l(wèi)//⊥，⊥α//四、平面法向量的求法若要求出一個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)般建立空間直角坐標(biāo)系后待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：、設(shè)出平面的法向量為

rny,z)

．rrab,,、找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)1122rrr、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于，，z的程、解方程組，取其中一個(gè)解，即得法向量

12bab112bab1luvaba1212uu五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系（一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．、線線平行設(shè)直線l、l的向向量分別是rra()

rrrr、，要證明l//l，只需證明//，、線面平行rrrr（1線l的方向向量是面的向量是要明需證明，即

rra

（2）根據(jù)線面平行的判定理：“如果直線（平面外）與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行要證明一條直線和一個(gè)平面平行也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．（3根據(jù)共面向量定理可知，如果一個(gè)向量和兩個(gè)不共線的向量是共面向量，那么這個(gè)向量與這兩個(gè)不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．、面面平行（1由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．rrrr（2若能求出平面α、β的法向量、，要證明//β只需證明//（二）用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．、線線垂直rrrrrr設(shè)直線ll的方向向量分別是、，要證明l⊥l，只需證明⊥，即、線面垂直rrrr（1設(shè)直線l方向向量是，平面α的法向量是，則要證lα，只需證明//（2根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．、面面垂直（1根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．（2證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空間的角（一）兩條異面直線所成的角、定義：設(shè)、b是條異面直線，過空間任一點(diǎn)作直線夾的銳角或直角叫做與b所的角．、范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是

a

///a,b

//b

，則/與/所

bbrr量求法直a的方向向量為、其夾角為

則有

rrarra、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．（二）直線與平面所成的角、定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角．、范圍：直線和平面所成角θ的取值范圍是

rr、向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，面的法向量為，線與平面所的角為θ，rr與的角為則有（三）二面角

rrasinrr或a、二面角的取值范圍：

[0,

]、二面角的向量求法（1）若分別是二面角

的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂的異面直線，則二面角rr的大小就是向量AB的角（如圖）所示）．（2

rn1、

是二面角

rn的兩個(gè)角α的法向量向1與2的夾或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大?。ㄈ鐖Db）所示）．七、用向量的方法求空間的距離（一）點(diǎn)面距離的求法如示⊥平面α足O點(diǎn)B到面α的距離就是線段的長(zhǎng)度rrBO平面α的任一條斜線段，則在eq\o\ac(△,Rt)中cos∠ABO=

12112121211212rrBArBO

r。如果令平面α的法向量為，慮到法向量的方向，可以得到B點(diǎn)到平面α的距離為

rrrBOrn

。因此要求一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，可以分以下幾步完成：、求出該平面的一個(gè)法向量．、找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量．、求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平的距離．rr由于可視為平面的單位法向量，所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平面的單位rAB法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，即0．另外，等積法也是點(diǎn)到面距離的常用求法．（二）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。（三）兩異面直線距離的求法r如圖（b）所示，設(shè)ll是兩條異面直線，是l與l的垂線段AB的向向量，rrrCDdrn又、D別是l、l上任意兩點(diǎn)，則l與l的離是。

a11a3a//1a11a3a//1ab12a與1u【典型例】例1.設(shè)

分別是直線l、的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)與l的置關(guān)系。（1=（，3，－），（6，－93；（2=（，0，2），=0，，）；（3=（2，，），=（6，3，）解（1）∵，=（，－，）∴

，∴，l//l（2∵（5，），=（04）∴

，∴，l⊥（3∵（2，4，），=（6，33∴不線，也不垂直∴l(xiāng)與l的位置關(guān)系是相交或異面例2.設(shè)分是平面α、β的法向量，根據(jù)下列條件判斷α、β的位置關(guān)系：（1=（，－12，（32

12

）；（2=（，3，0），=0，－5）；（3=（，－34，（4－，）。解（1）∵=（1－，2，=3，2

12

）

uuuu與v∴

∴α⊥β（2∵（0，），=（0－，）∴

3v

u//v

（3∵（2－3，），=4－，）∴既共線、也不垂直，∴α與β相交點(diǎn)評(píng)：應(yīng)熟練掌握利用向量共線、垂直的條件。例3.已點(diǎn)（3，，0）B，，0C（，，5），求平面ABC的一個(gè)位法向量。解由于A，，）B，40）C005，∴（－，0，5設(shè)平面ABC法向量為（x，y，z）則有

AB

（－34，），=即

4y3x

取，

xy5，于是n=（34）又

∴平面α的單位法向量是

2015n)769例若直線l的方向向量是a=（12，）平面α的法向量是=（，3，），試求直線l與面α所成角的余弦值。分：圖所示，直線l與平面α所成的角就是直線l與在平面的射影所成的角，即∠ABO，而在eq\o\ac(△,Rt)ABO中，ABO=

2

∠BAO又BAO可看作是直線l與面α的垂線所成的銳角，這樣BAO就與直線l的向向量與面α的法向量的角建立了聯(lián)系，故可借助向量的運(yùn)算求出，從而求出，得到直線與平面所成的。

，，CA解：∵a（，，，），=（－，，0∴

||

，

a∴

|

若設(shè)直線l與面α所的角是θ則有

,∵

cos∴

,

因此

26，直線l與面α所成角的余弦值等于6

。例5.如（）所示，在正方體

AD11

中，N別是、1

的中點(diǎn)。求證：（）MN//面1；（2平面

ABD//面C1

。

A且11A且11122，∴1111111111111（1證法一：如圖b所示，以為點(diǎn)DADC、所直分別為x軸、y1軸z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1則可求得M，，

）N（

，11，），（，0），（10，），（1，0，于是=（2，，）設(shè)平面

A

的法向量是n（，y，z）則1，

zy取，

y

，

z

，

=（1－，－1又

MN

（

1，0

）·（1－，－），∴

n∴MN//平面

A證法二：∵

MNNMCBCAD)DA1

∴

DAMN平A證法三：∵

MNM1

DAD2(DBBA)AA2

DBDAAD22

11111線性表示，故MN11A11111111111111線性表示，故MN11A11111111111111DBDA(BADA)2DBDABD222

12

DA1即

MN可DA與DB11

是共面向量∴平面A，即MN//面ABD。（2證明：由1求得平面1的法向量為

（1－，－1）同理可求平面BDC的向量m//∴∴平面ABD//平面BDC

m

=1，－，）例6.如，在正方體

AC1

中，OAC與BD的點(diǎn)為CC的中點(diǎn)。求證：AO平面GBD證明：設(shè)

AAc1111

，則而

AOAO(ABAD)c(a)ABaOGOCCG(AB(b)222

11112222，，∴11112222，，∴∴

AOcba)22(b)()(b)2c(b)2

12

b)同理

A∴又

AAOG1OAO

面GBD例7.（20XX年津）如圖a）所示，在四棱錐P—ABCD中底面是方形，側(cè)棱⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的點(diǎn)。（1證明PA//平面EDB；（2求EB與面所成角的正切值。（1）證明：如圖（b）所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為標(biāo)原點(diǎn)設(shè)DC=a連結(jié)ACAC交BDG，連結(jié)依題意得A，0，0）（，，）（0，，2）

、CF，、CF，∵底面ABCD是正方形∴G是正方形的中心故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，，）∴

（，，－），EG=（2

，0

2

）∴

PAEG

，這表明而EG面EDB，且PA平EDB∴PA//平面EDB（2）：題意得B（，，），C0，0如圖（b）取DC中點(diǎn)F（，0，連結(jié)、BF∵FE（，0，2）FB=，，0），DC=（0，0）∴

FE