類型二與線有關(guān)的證與計(jì)算【典例1如是圓O的直是圓O上不于AB的兩點(diǎn)＝，AC與BD相于點(diǎn)F．是圓所圓的切線，與AC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：△CBA≌△；（2）若＝，求證AC平分∠DAB．【分析）據(jù)圓周角定理得∠＝∠＝90°，根據(jù)全等三角形的判定理即可得到結(jié)論；（2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠E＝∠BFE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABE＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義即可得到結(jié)論．【解答）證明：∵是圓O的直徑，∴∠ACB∠ADB＝90°，在eq\o\ac(△,Rt)CBA與eq\o\ac(△,Rt)DAB中，

，∴Rt△≌Rt△DAB（（2）解：∵＝，由1）知BC，∴∠E＝∠BFE∵是圓所圓的切線，∴∠ABE，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠＝90°∴∠DAF∠AFD，∵∠AFD∠BFE，∴∠AFD∠，∴∠DAF﹣∠AFD，∠＝90°﹣∠，∴∠DAF∠BAF，∴平∠DAB．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【典例2】如圖，AB為

O的直徑，C為延線上一點(diǎn)，是切線，D為點(diǎn)，OF

于點(diǎn)交CD于點(diǎn)．（1）求證：

AOF

；（2）若

C

13

，BD求EF的長(zhǎng)．【答案）詳見解析【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理到ADB＝90°根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AOF＝，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CDO＝90°等量代換即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理得OE似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解）連接OD，

1BD＝×8＝4，設(shè)OD，OC＝3x根據(jù)相∵AB為⊙的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD∵OF⊥AD∴OF∥BD∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙的切線，D為切，

∴∠CDO＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB∴∠ODB＝，∴∠AOF＝∠ADC；（2）∵OF∥BD，AO，∴AE＝DE∴OE＝

BD＝×8＝4，2∵sinC＝

OD1＝，OC3∴設(shè)OD＝x，OC＝3x，∴OB＝x，∴CB＝4x∵OF∥BD，∴eq\o\ac(△,∽)COFeq\o\ac(△,，)CBD∴

OCOFBCBD

，∴

xOFx8

，∴OF＝6，∴EF＝OF＝6＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)相三形的判定和性質(zhì)三角形的中位線定理平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【典例3如圖，AB與

O相切于點(diǎn)B，AO交O于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，E是BCD上與BD重的點(diǎn)，

．

（1）求的大?。唬?若

O

的半徑為3點(diǎn)F在AB的延線上3求證：DF與

O

相切．【答案）60°）見解析【解析】【分析】(1)連接OB，在Rt△AOB中

sinA

求出∠

=30°，進(jìn)而求出∠AOB=60°，BOD=120°，再由同弧所對(duì)的圓角等于圓心角的一半可以求出∠BED的值(2)連接OF，在Rt△OBF中，

tan

BFOB

可以求出∠BOF=60°，進(jìn)而得到∠得到∠ODF=∠OBF=90°．解：(1)連接OB，∵AB與

O

相切于點(diǎn)B，∴

OB

，∵

sinA

，∴

，∴

BOD

．由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可知：BOD60

．故答案為：

．

(2)連接，由1)得

OB

，

，∵

OB

，3，

tan

BFOB

，∴

DOF

．在與中BOFDOFOF∴

BOF≌(SAS)

，∴ODF

．又點(diǎn)在

O

上，故DF與

O

相切．【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．【典例4】如圖AB⊙直徑，點(diǎn)C在O上，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為.連接BC并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：=；（2）若=10，BC，的長(zhǎng)．

【答案）見解析）

．【解析】【分析】(1)連接OC,由同旁內(nèi)角互補(bǔ)得AD//OC,得∠＝∠E,可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．(2)連接AC,由勾股定理求出AC,△EDC△ECA出相似求出CD即．【詳解】（1）證明：連接OC∵與O相切C點(diǎn)∴⊥又∵⊥

AE∴//AE∴∠OCB＝∵=∴∠ABE＝∠OCB∴∠ABE＝∴=（2）連接AC∵為⊙O直徑∴∠ACB＝90°

∴AC

2

∵=AEACBE∴=BC=6∵∠DEC＝∠CEA,＝∠ECA∴△EDC△ECA∴

DCACEA∴

CD

EC6EA

．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合性質(zhì)及相似的證明和性,鍵在于合理作出輔助線將已知條件轉(zhuǎn)換求解．【典例5】如圖，AB為的直，、D為⊙O的兩個(gè)點(diǎn)，＝＝，接AD，過點(diǎn)D作⊥交的長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：是⊙O的切．（2）若直徑AB＝6，求AD的．【分析連接OD，根據(jù)已條件得到＝180°＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO∠＝30°，得到∠EDA＝60°，求得⊥，于是得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)圓周角定理得到ADB＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答）證明：連接OD∵＝＝，∴∠BOD

180°＝60°，

∵＝，∴∠EAD∠DAB＝

＝30°∵＝，∴∠ADO∠DAB＝30°，∵⊥，∴∠E，∴∠EAD∠EDA，∴∠EDA，∴∠EDO∠EDA+∠ADO＝90°∴⊥，∴是的線；（2）解：連接，∵為的徑，∴∠ADB，∵∠DAB，＝6，∴＝＝3，∴＝＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【典例6】如圖，在ABC中，＝AC點(diǎn)D在BC上BD＝DC過點(diǎn)作DE⊥AC，垂足為E，經(jīng)A，D三．

(1)求證：AB是⊙的直；(2)判斷DE與⊙的置關(guān)系，并加以證明；(3)若⊙的半為3，∠BAC，DE長(zhǎng)．【分析連AD，證⊥BC可得；(2)接OD，利用中位線定理得到OD與AC平行，可證∠ODE為直，由OD半徑，可證與圓相切(3)連接BF，先證三角形ABC為等邊三角形，再求出BF的長(zhǎng)由DE三角形中位線，即可求出DE的．【答案連，∵AB＝AC＝DC⊥BC∴∠ADB＝90°，∴AB為O的直徑(2)DE與圓O相，證明：連接OD∵O分別為的中點(diǎn)，為ABC的中位線，∴OD，∵DE⊥AC，⊥OD∵OD圓的半徑，∴DE與圓相(3)＝AC∠BAC，△ABC為邊三角形，∴AB＝BC＝6，連接BF，∵AB為圓O的徑，∴＝∠DEC，∴AF＝CF＝3，DE，∵D為的中點(diǎn)，∴E為CF的點(diǎn)，即DE為BCF中線，在△ABF中AB＝6，AF＝3根據(jù)勾股定理得BF133＝6－3＝33，則DE＝BF＝22【典例7】如圖，△ABC內(nèi)于O為⊙的直徑BD與AC相于點(diǎn)H，AC的長(zhǎng)線與過點(diǎn)的直相交于點(diǎn)E，A＝∠EBC.(1)求證：BE是⊙的切；(2)已知CG，且CG與BD，BA別相交于點(diǎn)，G若BG·BA＝2，DF＝2BF，求AH的值BCAB【分析證EBD＝90°即；(2)△ABC△CBG＝，求出BC，再由△BGBCBFC∽△BCD得BC，求出BF再求出CF，CG，GB，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG＝AG，可證CH＝CB，即可求出

【答案連CD，是徑，∴∠BCD＝90°即＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝，＋∠EBC＝90°∴BE⊥BD∴BE⊙切線(2)∥EB∴∠BCG＝，∴＝∠BCG，又∵∠CBG＝，ABC∽eq\o\ac(△,，)CBGBCAB∴＝，BCBGBC

＝BG·BA＝48，∴BC＝43，∵CG∥EB∴CF，eq\o\ac(△,∴)BFC∽BCD∴BC

＝BF·BD∵DF＝2BF，∴BF＝4在eq\o\ac(△,Rt)中CF＝BC－FB＝42，∴CG＝CF＋FG＝52，在BFG中BG＝BF＋FG＝3，∵BG·BA＝48∴BA＝82，∴AG＝52，∴CG＝AG＝∠ACG＝∠BCG∠CFH＝∠CFB＝90°∠CHF＝∠CBF＝CB＝43，ACBCCB·CG20383∵eq\o\ac(△,∽)ABCeq\o\ac(△,，)CBG∴＝，∴AC＝，∴AH＝AC－CH＝CGBGBG33【典例8】如圖，四邊形ABCD內(nèi)于O，對(duì)角線AC為⊙直徑，過點(diǎn)C作AC的線交的延線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中，連接DB，DC(1)求∠CDE的度數(shù)；(2)求證：DF是⊙的切；(3)若AC＝25DE，的值．【答案∵角線AC為⊙O的徑，∴∠ADC＝90°∴∠EDC＝90°(2)連接DO，∵∠EDC＝90°，F(xiàn)EC的中，∴DF＝FC∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC∵∠OCF＝90°＝∠ODC＋∠FDC∠OCD＋∠DCF＝，∴DF是O的切(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA∠DCE，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝DCDE90°∴CDEeq\o\ac(△,，)ADC∴＝，＝AD·DE.DE＝x則＝25x，AC－AD＝DCADDC＝AD·DE，即(25x)－AD＝AD·x，理得AD＋AD·x－20x＝0，解得AD＝4x或AD＝－AD4x5x(舍去，則DC＝5x）－（4x＝2x故∠ABD∠ACD＝＝2DC2x【典例9如在形ABCD中點(diǎn)對(duì)角線AC，以O(shè)A的為半徑的圓O與AD，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠ACB＝∠DCE.(1)判斷直線CE與⊙的置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若tan∠ACB＝

22

，BC＝2，⊙的徑．

【答案直CE與O相切由如下：∵四邊形ABCD矩形，∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE∴∠DAC＝∠DCE連接OE有OA＝OE，則∠＝∵∠DCE＋∠DEC，∴∠AEO∠DEC，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又AB2OE是⊙O的徑∴線CE與O相(2)∠ACB＝＝2＝BC·tanBC2∠ACB＝2，＝6.又∵∠ACB∠DCE∴tan∠DCEtan∠ACB

22

，∴DEtan∠DCE＝1.在CDE中，＝CD＋DE＝3，設(shè)O的徑為r，則在COE中，CO＝OE＋CE，(6－r)＝r＋3解得r＝

64【典例10】如圖，已知AB為O直徑AC為⊙O的切，交⊙于點(diǎn)D，BD的長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E.(1)求證：∠1＝∠CAD；(2)若AE＝EC＝2，求⊙的半徑【答案∵AB為⊙的直，∴∠ADB＝90°∴∠ADO＋∠BDO，為O的線⊥AC∴∠OAD＋∠CAD＝90°∵OA＝OD∴∠OAD＝∠ODA∵＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，eq\o\ac(△,∽)CADeq\o\ac(△,，)CDE∴CD＝CE∶CD，∴CD

＝CA·CE，∵AE＝2，∴AC＝AE＋EC＝4∴CD＝22，O的徑為x，則，eq\o\ac(△,)AOC中，＋AC＝OC，＋4＝(22＋x)，解得x，∴⊙O的半為2【典例11】如圖，已知⊙O是△ABC的接圓，AD是⊙的徑，且BD＝BC，延長(zhǎng)AD到E，且有∠EBD＝

33(1)求證：BE是⊙的切；(2)若BC＝3，AC＝5，求圓的直徑AD及線BE的．【答案連OB＝BC∠CAB∠BAD∠EBD∠CAB＝∠EBD，∵AD是O的直，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD∠ABO∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD∠ABD＝90°∵點(diǎn)B⊙上，是O的線(2)設(shè)圓的半徑為R，接CD，為O的徑，∴∠ACD＝90°∵BC＝BD，∴OB15⊥CD∥AC＝OD，＝AC＝，四邊形ACBD是內(nèi)四邊形，∴＝∠22ACB，∠DBE＝∠CAB，∴△DBEeq\o\ac(△,，)CAB∴5

DBDE3DE3＝，＝，＝，∠OBE＝∠CACB55OFOD2ROFD，∥BE，∴＝，∴＝，∵R＞0＝3，＝AD－BD＝33，OBOER3R＋5ACBD311∵＝，＝ABBE5【典例12如CD是的徑AB是的弦AB⊥CD垂足為G∶OC＝3∶5，AB＝8.(1)求⊙的半；︵(2)點(diǎn)E為上一點(diǎn)，∠ECD＝15°CE沿弦CE翻，交于點(diǎn)F，求圖中陰影部分的面積．【答案連AO，為O直徑AB⊥CD，AB＝8∴AG＝4，∶OC＝3∶5，∴設(shè)O的徑為5k，則OG＝3k∴(3k)＋4＝(5k)，得k或k＝－1(舍去，5k＝5，即⊙的半是5(2)將陰影部分沿CE翻，F(xiàn)的應(yīng)點(diǎn)為，∠ECD＝15°由對(duì)稱性可知，＝30°＝S，接OM則MOD＝60°∴＝120°，過點(diǎn)M作MN⊥CD于點(diǎn)

接BD，接BD，353120××5153N∴MN＝MO·sin＝5×＝∴S＝S－S－×5×＝2236022525325253－，圖中陰影部分的面積是－3434【典例1