第4章電路的暫態(tài)分析學(xué)習(xí)目標

本章主要介紹電路暫態(tài)過程的基本概念、初始條件、換路定律，重點討論一階電路（RC電路和RL電路）的零輸入響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)的分析與計算。通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)達到以下要求：1.掌握電路暫態(tài)過程中的一些基本概念；2.理解初始條件及換路定律換的含義。3.掌握一階電路零輸入響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)的分析與計算方法。研究暫態(tài)過程的目的就是：認識這種物理現(xiàn)象，掌握它的變化規(guī)律，達到既能充分利用暫態(tài)過程的特性，也能預(yù)防它所產(chǎn)生的危害。例如，在電子技術(shù)中廣泛使用的脈沖電路，始終在暫態(tài)狀態(tài)下工作；有些電路，在暫態(tài)過程中，它的某些部分可能出現(xiàn)過電壓或過電流，從而使電氣設(shè)備或器件遭受損壞，影響電氣設(shè)備的安全運行?！局R目標】主要內(nèi)容

4.1

換路定律4.2

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)4.3

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)4.1換路定律4.1.1基本概念1.換路電路的接通、斷開、短路、電壓突變或參數(shù)突變等統(tǒng)稱為換路。

2.暫態(tài)過程暫態(tài)過程是在具有電容和電感等儲能元件的電路中，發(fā)生換路后，電壓和電流要在新的條件下，達到另一穩(wěn)態(tài)的一段時間內(nèi)，所出現(xiàn)的狀態(tài)。4.1.2換路定律在電容元件中儲有電能（

），當(dāng)換路時，電能不能躍變，這反映在其上電壓

不能躍變。在電感元件中儲有磁能（

），當(dāng)換路時，磁能不能躍變，這反映其中電流iL不能躍變。可見，電路的暫態(tài)過程是由于儲能元件（電感元件或電容元件）所具有的能量不能躍變而產(chǎn)生的。當(dāng)電路的狀態(tài)改變時，儲能元件的能量隨著變化，但是能量的積累或衰減需要一定時間。設(shè)t=0為換路瞬間，而t=0-

表示換路前的終了時間，t=0+

表示換路后的初始瞬間，0-和0+在數(shù)值上都等于0，但前者是指t從負值趨近于零，后者是指t從正值趨近于零。從t=0-到t=0+瞬間，電容元件上的電壓和電感元件中的電流不能躍變，這一規(guī)律稱為換路定律。如用公式表示，則為4.1換路定律圖3-1三相發(fā)電機原理圖圖3-1三相發(fā)電機原理圖圖3-1三相發(fā)電機原理圖4.1.3換路定律的應(yīng)用

利用換路定律可以方便地求出電路中電容上的電壓和電感中的電流的初始值，然后用基爾霍夫定律和歐姆定律計算出電路中其余電壓和電流的初始值。例4-1試求圖4-1所示電路中，開關(guān)S閉合后各電壓，電流的初始值。已知開關(guān)閉合前電容和電感均無儲能。4.1換路定律

4.1換路定律例4-2已知R1=30，R2=20，U=10V，試確定圖4-2a所示電路開關(guān)打開后各支路電壓，電流的初始值。開關(guān)打開前電路已處于穩(wěn)態(tài)。4.1換路定律

4.1換路定律4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)

在一階電路中，當(dāng)外施電源不為零，而電容或電感元件初始儲存的能量為零時，在電路中產(chǎn)生的電壓電流響應(yīng)稱為電路的零狀態(tài)響應(yīng)。在一階電路中，當(dāng)外施電源為零，僅由電容或電感元件初始儲存的能量，在電路中產(chǎn)生的電壓電流響應(yīng)稱為電路的零輸入響應(yīng)。下面將分別分析RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。4.2.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)在圖4-3中，當(dāng)開關(guān)S閉合時（t=0），電容器C經(jīng)電阻R被充電。一開始由于電容極板上沒有電荷，即,電源電壓全加在電阻上。隨著電容器極板上電荷的積累，電壓

逐漸增高，直到等于外電壓U為止，這時電路達到了新的穩(wěn)定狀態(tài)。

4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)現(xiàn)在分析開關(guān)S閉合后，uc

和i的變化規(guī)律。根據(jù)克希荷夫電壓定律，可寫出開關(guān)S閉合后的電壓方程為

將

代入上式可得（4-2）

4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)

式（4-2）為一階線性微分方程，它的全解是它的一個特解

和對應(yīng)齊次方程的通解

之和。特解

為

的穩(wěn)態(tài)分量（又稱強制分量），它就等于電路達到穩(wěn)態(tài)后

的值，即。

通解為

的暫態(tài)分量（又稱自由分量），從數(shù)學(xué)上知道，它是一個時間的指數(shù)函數(shù)，即式中A為積分常量，p為特征方程的根。與式（4-2）對應(yīng)的齊次方程的特征方程是所以，特征方程式的根為

4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)式中，

τ=RC具有時間的量綱（s），稱為RC電路的時間常數(shù)。于是，式（4-2）的全解為(4-3)

積分常數(shù)A可由初始條件確定，即,將其代入上式可得(4-4)

從式(4-4)可以看出，只要知道初始值

，換路后的穩(wěn)態(tài)值

和時間常數(shù)τ這三個要素后，就可以直接寫出全解

。本例中

，

可得充電過程電容電壓為

(4-5)充電電流

(4-6)4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)

uc(t)及

i(t)的波形如圖4-4和圖4-5所示由上述可知:uc

的變化過程是自其初始值uc(0+)=0，按指數(shù)規(guī)律逐漸增大到穩(wěn)態(tài)值

U,ic是自初始值ic(0+)=U/R按指數(shù)規(guī)律逐漸減小到穩(wěn)態(tài)值零。

4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)暫態(tài)過程的長短取決于時間常數(shù)τ

的大小。根據(jù)式(4-5),當(dāng)t=τ

時,uc=0.632U.如圖4-6所示。由此可見，時間常數(shù)

是暫態(tài)過程已經(jīng)變化了總量的63.2%所經(jīng)過的時間。從理論上講，根據(jù)指數(shù)規(guī)律，必須無限長時間暫態(tài)過程才完了，但在實際上，暫態(tài)過程經(jīng)過3τ(變化了95%)到5τ變化了99.3%)一般就可以認為暫態(tài)過程基本結(jié)束已進入穩(wěn)定狀態(tài)了。因此，時間常數(shù)愈小，則暫態(tài)過程愈短，反之，則愈長。4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)時間常數(shù)

τ的大小只決定于電路結(jié)構(gòu)和電路參數(shù)，對于RC串聯(lián)電路

τ=RC,故電路中R,C愈大，時間常數(shù)愈大。這可以從物理概念上說明:如電容C一定，電阻R愈大，則充電電流愈小，因此充電過程進行的愈緩，如果R一定，則充電電流最大值(U/R)一定，C愈大，電容器充電所需的電荷愈多，因此充電所需的時間愈長。4.2.2RC電路的零輸入響應(yīng)如果把上述已充電的RC電路從電源斷開，同時將其兩端短接。即如圖4-7所示，將開關(guān)S由位置1合到位置2。由于電容器上有電荷，開關(guān)S閉合后就要通過電阻R放電。這時電壓uc

將隨著電容器的放電，由初始值U逐漸減小，電路中的電流i

從初始值

I0=U/R（方向與充電時相反)隨著的uc

下降而下降，直到最后電容器上的電荷放盡。電壓、電流都降為零。4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)從電壓方程式來看，開關(guān)S閉合后，電壓方程為Uc+Ri=0把

代入上式，則有該方程的解為4.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)例4-3在圖4-3中，如已知R=1M,C=50μF,U=100V，試求當(dāng)S閉合后經(jīng)過3τ

及5τ時間后，

i各等于多少?解：

電路的時間常數(shù)

電路換路后的初始值所以電流

當(dāng)t=3τ=3*50s時

當(dāng)t=5τ=5*50s=250s時

可見，充電過程經(jīng)過3τ~5τ

時基本結(jié)束。4.3RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)圖4-10是RL串聯(lián)電路。當(dāng)開關(guān)s閉合時，電路即與恒定電壓U接通。根據(jù)基爾霍夫電壓定律可列出電路電壓方程或這是一階線性微分方程，其全解與式(4-2)相仿，為4.3.1RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)4.3RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)

其特征方程為，特征方程的根為，電壓方程的解為電感兩端電壓為，電流、電壓曲線如圖4-11和圖4-12所示

4.3RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)例1-2試求圖1-10中的電動勢E時間常數(shù)τ

愈大，暫態(tài)過程愈緩慢。這是由于

τ=L/R，當(dāng)U一定時，L愈大，R愈小，穩(wěn)定值

i(∞)=U/R愈大，電感儲能愈多，這都使暫態(tài)過程拖長。4.3.2RL電路的零輸入響應(yīng)電路如圖4-13所示，如果把上述通有電流的線圈從電源斷開，同時，將其兩端短路，由于電感內(nèi)電流不能躍變，故在換路后的初始瞬間仍保持換路前的穩(wěn)定電流，即

4.3RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)以后電流i

逐漸衰減到零。換路后，電路方程為,其解為