2.3體系運(yùn)動(dòng)方程的一般形式

在單自由度和兩自由度的基礎(chǔ)上，不難推廣得到n個(gè)自由度體系的情況。在記[M]—質(zhì)量陣、[C]—阻尼陣、[K]—?jiǎng)偠汝?、[P]eq—等效荷載陣；[d]、[v]、[a]—為位移、速度、加速度陣；[f]—柔度陣；[]P—荷載位移陣情況下剛度法列式結(jié)果

[M][a]+[C][v]+[K][d]=[P]eq柔度法列式結(jié)果[d]=[f](-[M][a]-[C][v])+[]P由此可見，兩種列式間的關(guān)系為[K]=[f]-1；[P]eq=[K][]P在集中質(zhì)量時(shí)[M]為對角陣，由互等定理可知[K]和[f]為對稱矩陣。2.4應(yīng)注意的幾個(gè)問題1）在單自由度情況下，剛度（反力）系數(shù)和柔度系數(shù)互為倒數(shù)。2）在兩和多自由度情況下，剛度（反力）矩陣和柔度矩陣互為逆矩陣，但其元素之間不存在倒數(shù)關(guān)系。3）[P]eq并不一定等于外荷載排成的列陣。在動(dòng)外荷下它由各自由度均被約束時(shí)，動(dòng)荷引起的約束反力所組成。或者由[P]eq=[K][]P=[f]-1[]P來計(jì)算。4）具體結(jié)構(gòu)究竟用什麼方法列運(yùn)動(dòng)方程，要對比求什麼系數(shù)工作量少來定。一般靜定結(jié)構(gòu)用柔度法、由無窮剛梁的剪切型結(jié)構(gòu)用剛度法。5）雖然從原理上[C]=[Cij]，但實(shí)際兩和多自由度分析時(shí)阻尼矩陣并非由阻尼系數(shù)組成，這將在第四章多自由度分析中再討論。2.5剛度法、柔度法列方程的步驟剛度法（無阻尼）1）確定自由度，確定自由度方向的質(zhì)量，從而建立（集中）質(zhì)量矩陣[M]。2）加約束限制全部質(zhì)點(diǎn)自由度方向的位移，求動(dòng)力外荷載引起的支座約束反力。按自由度順序排列這些反力，得到等效荷載矩陣[P]eq。3）對全部質(zhì)點(diǎn)自由度方向的位移被約束的結(jié)構(gòu)，令j自由度發(fā)生單位位移，求第i個(gè)約束的反力，它就是剛度系數(shù)Kij。由此建立剛度矩陣[K]。4）由上述結(jié)果即可建立運(yùn)動(dòng)方程

[M][a]+[K][d]=[P]eq2.5剛度法、柔度法列方程的步驟柔度法（無阻尼）1）確定自由度，確定自由度方向的質(zhì)量，從而建立（集中）質(zhì)量矩陣[M]。2）在質(zhì)點(diǎn)自由度方向加單位例，作單位彎矩圖。3）在動(dòng)例外荷作用下，作荷載彎矩圖。4）根據(jù)單位彎矩圖求柔度系數(shù)ij。由此建立柔度矩陣[f]。5）由單位和荷載彎矩圖求荷載位移iP，由此建立荷載位移矩陣[]P。6）由上述結(jié)果即可建立運(yùn)動(dòng)方程[d]=[f](-[M][a])+[]P2.6運(yùn)動(dòng)方程建立總結(jié)根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和所假定的阻尼理論，確定自由度後可確定慣性力和阻尼力。由具體結(jié)構(gòu)情況，視那類系數(shù)求取方便，確定列方程的方法。所有問題都可用兩種方法建立方程，兩種方程間可以相互轉(zhuǎn)換。外界“荷載”是支座（例如地震時(shí)的地面運(yùn)動(dòng)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，支座為牽連運(yùn)動(dòng)，慣性力對應(yīng)絕對加速度，彈性恢復(fù)力對應(yīng)相對位移。經(jīng)推導(dǎo)得[P]eq=-[M][1]ag。其中[1]為元素均為1的向量。請自行驗(yàn)證。三、單自由度體系振動(dòng)分析3.1單自由度體系自由振動(dòng)3.2單自由度體系受迫振動(dòng)3.3非線性反應(yīng)分析3.4幾點(diǎn)結(jié)論和討論3.1單自由度體系自由振動(dòng)本章部分內(nèi)容在理論力學(xué)振動(dòng)這一章學(xué)過，但除回顧外，也有所擴(kuò)展。它是后面分析的基礎(chǔ)，請下功夫?qū)W好！3.1.1自由振動(dòng)方程的通解上一章已指出，不管什麼結(jié)構(gòu)、用什麼方法建立方程，單自由度體系最終運(yùn)動(dòng)方程均可寫為自由振動(dòng)分析時(shí)，P(t)=0。上式可改為3.1單自由度體系自由振動(dòng)由此可得特征方程：s2+2s+2=0。根據(jù)判別式有三種可能情況：式中由常系數(shù)常微分方程理論可設(shè)1)>1，特征方程有兩個(gè)實(shí)根，稱作超阻尼情況。這時(shí)體系不發(fā)生振蕩，從工程角度沒有意義。2)=1，特征方程有兩個(gè)實(shí)重根，稱作臨界阻尼情況。這時(shí)體系也不發(fā)生振蕩，這時(shí)阻尼系數(shù)為，稱作臨界阻尼系數(shù)。阻尼比固有頻率3.1單自由度體系自由振動(dòng)式中由此可得3)<1，特征方程有一對共軛復(fù)根，稱作小阻尼情況。此時(shí)積分常數(shù)C1、C2由初始位移、速度確定，可得有阻尼頻率3.1單自由度體系自由振動(dòng)可見有阻尼自由振動(dòng)的解答是按指數(shù)規(guī)律衰減的簡諧運(yùn)動(dòng)。衰減的速度隨、增大而加快。如果記振幅為A，初相位為，也即則運(yùn)動(dòng)方程解答也可寫為3.1.2無阻尼自由振動(dòng)它可作為特例，令上述結(jié)果中等于零得到。它是由初位移、初速度引起的簡諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)全過程能量守恒。3.1單自由由度體體系自自由振振動(dòng)3.1.3結(jié)構(gòu)阻阻尼比比的一一種確確定方方法設(shè)由拉拉一初初位移移后突突然釋釋放，，或給給結(jié)構(gòu)構(gòu)一個(gè)個(gè)突然然的沖沖擊（（如放放一小小火箭箭），，由試試驗(yàn)獲獲得了了阻尼尼振動(dòng)動(dòng)的記記錄如如教材材的圖圖2-9。由此可可量測測得t時(shí)刻和和n周后的的振幅幅（一一般測測峰值值位移移，記記T為有阻尼尼周期））分別別為ut和ut+nT。記ut/ut+nT的自然然對數(shù)數(shù)為n（1稱為對對數(shù)衰衰減率率），由由阻尼尼振動(dòng)動(dòng)解答答可得得由于<<1，由此此可得得一般鋼鋼混結(jié)結(jié)構(gòu)0.05，鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)(0.02~0.03)。3.1單自由由度體體系自自由振振動(dòng)3.1.4無阻尼尼自由由振動(dòng)動(dòng)的進(jìn)進(jìn)一步步說明明結(jié)構(gòu)固固有頻頻率和阻尼尼頻率率d嚴(yán)格說說不相相等，，阻尼尼使d減少，，從而而使周周期Td增長。。由于結(jié)結(jié)構(gòu)阻阻尼很很小，，因此此可近近似認(rèn)認(rèn)為阻阻尼頻頻率、、周期期和無無阻尼尼的相相等。。結(jié)構(gòu)固固有頻頻率可有如如下各各種等等價(jià)的的計(jì)算算公式式只要搞搞清這這些公公式各各符號(hào)號(hào)的含含義，，因此此記住住第一一個(gè)，，根據(jù)據(jù)具體體問題題已知知條件件情況況，就就可變變出其其他的的。改變系系統(tǒng)質(zhì)質(zhì)量或或剛度度可改改變固固有頻頻率。。不管管具體體結(jié)構(gòu)構(gòu)如何何，在在同樣樣干擾擾下相相同頻頻率結(jié)結(jié)構(gòu)的的反應(yīng)應(yīng)相同同。3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)3.2.1單自由度受迫迫振動(dòng)的通解解有任意荷載作作用的單自由由度運(yùn)動(dòng)方程程為可見關(guān)鍵在如如何求得特解解。對線性體體系可通過疊疊加原理來獲獲得。設(shè)t=之前體系靜止止，在t=到+時(shí)間間隔內(nèi)受受到?jīng)_量I=P(t)的作用，根據(jù)據(jù)沖量定理有有由微分方程理理論可知，u=u1+u2。u1為齊次方程（（自由振動(dòng)））通解，u2為非齊次方程程的一個(gè)特解解。這說明沖量作作用結(jié)果體系系所產(chǎn)生的位位移u是2量級的量。因因此t>之后為僅有初初速度I/m的自由振動(dòng)。。3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)根據(jù)上一節(jié)可可得僅初位移移引起的解答答u2為記u2/I=h(t-)，稱作單位脈沖沖函數(shù)（單位位沖量引起的的位移）。則則上式可改寫寫作再將任意荷載載看成一系列列獨(dú)立的沖量量（脈沖），，則由疊加原原理可得3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)或者上式是運(yùn)動(dòng)方方程特解（可可代入運(yùn)動(dòng)微微分方程證明明），也可看看成零初始條條件的解答（（因?yàn)閡2(0)=0）。將其和齊次方方程解合在一一起，即可得得通解為上式也可由代代入單位脈沖沖函數(shù)來改寫寫，這里從略略。稱作Duhamel積分3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)有了有阻尼的的通解，無阻阻尼情況的Duhamel積分和通解可可作為特例得得到（當(dāng)然也也可經(jīng)類似推推導(dǎo)得到）3.2.2典型荷載的反反應(yīng)(主要討論有阻阻尼,無阻尼為特例例)有了通解，對對給定的荷載載情況，代入入并積分即可可得到各種具具體荷載下的的解答。1)簡諧荷載將荷載代入通通解，積分后后可得其解答答。也可用帶帶待定常數(shù)的的齊次解和特特解asint+bcost來求。結(jié)果如如下3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)這解答中的第第一項(xiàng)為初始始條件引起的的自由振動(dòng)，，第二項(xiàng)為荷荷載（干擾））引起的自由由振動(dòng)（稱作作伴隨振動(dòng)）。它們的頻頻率都是d，都按指數(shù)規(guī)律律衰減。因此此一段時(shí)間后后，都將逐漸漸消失。自由由振動(dòng)消失前前的運(yùn)動(dòng)稱瞬瞬態(tài)階段。第三項(xiàng)是以干干擾頻率進(jìn)行行的等幅振動(dòng)，稱稱“純受迫振動(dòng)（或穩(wěn)態(tài)階段段）”，工程中只關(guān)心心它記3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)則純受迫振動(dòng)動(dòng)的解可寫為為ust為荷載幅值作作用下的靜位位移，稱位移放大系系數(shù)（也稱動(dòng)力系數(shù)）。無阻尼情情況可令=0得到（當(dāng)然也也可類似地直直接推得）。。動(dòng)力系數(shù)取決于、/（頻率比），各種下-曲線如P.23的圖示意?？煽梢妼τ绊懯诛@著著，增大將使減小，也即使使反應(yīng)減小。在1時(shí)1/2，當(dāng)無阻尼共共振時(shí)趨于無窮，可可見阻尼對共振影影響顯著，必必須考慮。3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)0.751.25的范圍稱共振區(qū)，為了簡化，，在共振區(qū)外外可不計(jì)阻尼尼影響。有阻尼時(shí)的最大值并不在=1處，而在阻尼體系的位移反應(yīng)比荷載滯后一相位：

趨于0，滯后趨于0。體系彈性恢復(fù)力趨于和動(dòng)荷載平衡，位移和荷載同向。

趨于1，滯后趨于90度。體系阻尼力趨于和動(dòng)荷載平衡。再次看到共振時(shí)阻尼的作用不可忽視。

趨于無窮，滯后趨于180度。體系慣性力趨于和動(dòng)荷載平衡，位移和荷載反向。2)突加荷載將荷載代入Duhamel積分，可得反反應(yīng)為3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)其u-dt曲線如(龍P.21)圖，可見開始始時(shí)接近2，也即突加荷荷載所產(chǎn)生的的最大位移接接近靜位移的的2倍。無阻尼情況等于2。3)周期荷載P(t)（設(shè)周期為TP）下的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)應(yīng)周期荷載的Fourier展開為3.2單自由度體系系受迫振動(dòng)這表明，周期期荷載可分解解成一個(gè)常量量荷載和一系系列簡諧荷載載的疊加。在a0作用下產(chǎn)生ust=a0/k的靜位移。在aicosit和bisinit簡諧荷載下下（穩(wěn)態(tài)解解）3.2單自由度體體系受迫振振動(dòng)由此兩部分分綜合即可可得周期荷荷載下的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)解答。。無阻尼情情況可令=0得到（當(dāng)然然也可類似似地直接推推得）。教材上還介介紹了矩形形脈沖、三三角形脈沖沖等荷載下下的反應(yīng)，，這里只說說明以下幾幾點(diǎn)：1)這種荷載都都是短時(shí)作作用荷載。。2)用Duhamel積分求t時(shí)刻反應(yīng)時(shí)時(shí)，應(yīng)該區(qū)區(qū)分t在無荷載階階段荷還是是有荷載階階段。3)動(dòng)力系數(shù)和和“持續(xù)作用時(shí)時(shí)間t1和體系周期期的比值有有關(guān)”。其結(jié)果可可看教材上上的表。4)其他解析荷荷載，均可可由Duhamel積分獲得位位移反應(yīng)。。當(dāng)荷載規(guī)規(guī)律用一系系列離散數(shù)數(shù)據(jù)表示時(shí)時(shí)，可經(jīng)編編程用數(shù)值值積分來求求Duhamel積分。有關(guān)關(guān)內(nèi)容可參參考RayW.Clough等的教材。。3.2單自由度體體系受迫振振動(dòng)3.2.3受迫振動(dòng)舉舉例hmF(t)EI=常數(shù)；=0.05荷載幅值下下的靜位移移ust=F/k=Fh3/24EI，因此穩(wěn)態(tài)反反應(yīng)為例1：試求圖示示結(jié)構(gòu)在F(t)=Fsin0.6t作用下的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)。。為固有頻率率。解：[結(jié)構(gòu)的k=24EI/h3，=k/m]由題目可知知頻率比為為0.6，代入動(dòng)力力系數(shù)和相相位角公式式可得3.2單自由度體體系受迫振振動(dòng)在荷載幅值值作用下的的彎矩圖如如圖所示，，桿端彎矩矩Mst值為0.25Fh，由于靜位移移被放大倍，由此得得因此，最大大動(dòng)彎矩為為0.389Fh。作業(yè)題：如果本例中中荷載作用用在左柱h/2處，試求：：1）最大靜位位移等于多多少？2）最大動(dòng)位移移等于多少少？3）最大靜彎彎矩等于多多少？4）最大動(dòng)彎彎矩等于多多少？由此此能總結(jié)什什麼結(jié)論？？hmF(t)EI=常數(shù)；=0.053.3非線性反應(yīng)應(yīng)分析當(dāng)系統(tǒng)的阻阻尼、剛度度隨速度、、位移變化化時(shí)，運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程是非非線性的，，這時(shí)Duhamel積分不再適適用。但不管線性性還是非線線性，“動(dòng)平衡””方程都是是úfd(t)ú(t)úfdúú(t+t)3.3.1非線性問題題的增量方方程設(shè)阻尼力、、彈性恢復(fù)復(fù)力和荷載載曲線如圖圖所示。fs(t)uu(t)u(t+t)ufsP(t)ttt+ttP3.3非線性反應(yīng)應(yīng)分析又設(shè)m不隨時(shí)間變變化。并記記c(t)ú=fd，k(t)u=fs。則由t+t時(shí)刻和t時(shí)刻方程相相減可得當(dāng)t很小時(shí)c(t)、k(t)可取t時(shí)刻曲線的的斜率，這個(gè)增量量方程形式式和線性系系統(tǒng)一樣。。如果已知t時(shí)刻c(t)、k(t)、位移、速度度、加速度度（稱狀態(tài)態(tài)向量），設(shè)法從增增量方程求求得位移、、速度、加加速度的增增量，則顯顯然可以求求得t+t時(shí)刻狀態(tài)向向量，重復(fù)復(fù)這一過程程即可求得得非線性問問題的數(shù)值值解答。3.3.2增量方程的的逐步積分分法增量方程的的逐步積分分方法很多多，這里先先介紹一種種“線加速度法法”。3.3非線性反應(yīng)應(yīng)分析設(shè)0t，在t時(shí)間間隔內(nèi)內(nèi)加速度線線性變化，，也即則積分一次次可得速度度，積分兩兩次可得位位移令=t，由位移方程程可將加速速度增量用用位移增量量表示，代代回速度方方程可得以以下結(jié)果3.3非線性反應(yīng)應(yīng)分析將上述ü、ú代回增量方方程整理后可得得等效剛度等效荷載3.3非線性反應(yīng)應(yīng)分析如果已知t時(shí)刻c(t)、k(t)、狀態(tài)向量，，則可求得得等效剛度度、等效荷荷載，從而而求得位移移增量。將位移增量量代回速度度(、加速度)增量的公式式，由位移移增量和t時(shí)刻狀態(tài)向向量可求得得速度(、加速度)增量。將t時(shí)刻狀態(tài)向向量和位移移、速度增增量相加，，即可求得得t+t時(shí)刻位移、、速度。(也可求加速速度)由t+t時(shí)刻位移、、速度求fd(t+t)和fs(t+t)。最后，由t+t重復(fù)這一過程即可求得非線性問題的數(shù)值解答。

上述即為逐步積分的步驟。計(jì)算和理論分析表明，為使計(jì)算有足夠的精度，積分步長應(yīng)小于系統(tǒng)周期的十分之一。3.3非線性反應(yīng)應(yīng)分析根據(jù)上述逐逐步積分步步驟，編制制計(jì)算程序序即可用于于計(jì)算非