第六參數(shù)估計演示文稿當(dāng)前1頁，總共38頁。（優(yōu)選）第六參數(shù)估計當(dāng)前2頁，總共38頁。構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù)是當(dāng)務(wù)之急。如何構(gòu)造統(tǒng)計量并沒有明確的規(guī)定，只要它滿足一定的合理性即可。這就涉及到兩個問題：

其一

如何選定統(tǒng)計量，即估計的方法問題；

其二

如何對不同的估計進(jìn)行評價，即估計的好壞判斷標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)前3頁，總共38頁。例如：使用什么樣的統(tǒng)計量去估計總體均值

？可以用樣本均值;也可以用樣本中位數(shù);還可以用別的統(tǒng)計量注意：被估計的參數(shù)是一個未知常數(shù)，而估計量是一個隨機變量，是樣本的函數(shù),當(dāng)樣本取定后，它是個已知的數(shù)值,這個數(shù)就是的一個估計值.當(dāng)前4頁，總共38頁?！?.1

點估計的幾種方法

替換原理和矩法估計

一、矩法估計

替換原理是指用樣本矩及其函數(shù)去替換相應(yīng)的總體矩及其函數(shù)，譬如：用樣本均值估計總體均值E(X)，即；用樣本方差估計總體方差Var(X)，即用樣本的p分位數(shù)估計總體的p分位數(shù)，用樣本中位數(shù)估計總體中位數(shù)。

當(dāng)前5頁，總共38頁。例

對某型號的20輛汽車記錄其每加侖汽油的行駛里程(km)，觀測數(shù)據(jù)如下：

29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9

經(jīng)計算有

由此給出總體均值、方差和中位數(shù)的估計分別為:28.695,0.9185

和28.6。

矩法估計的實質(zhì)是用經(jīng)驗分布函數(shù)去替換總體分布，其理論基礎(chǔ)是格里紋科定理。當(dāng)前6頁，總共38頁。設(shè)總體的分布含有k個未知參數(shù)，那么它的前k階矩都是這k個參數(shù)的函數(shù)從這k個方程中解出二、概率函數(shù)P(x,θ)已知時未知參數(shù)的矩法估計

則可給出諸j的矩法估計為

其中當(dāng)前7頁，總共38頁。例

設(shè)總體服從指數(shù)分布，由于EX=1/，即

=1/EX，故的矩法估計為另外，由于Var(X)=1/2，其反函數(shù)為因此，從替換原理來看，的矩法估計也可取為

s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這說明矩估計可能是不唯一的，這是矩法估計的一個缺點，此時通常應(yīng)該盡量采用低階矩給出未知參數(shù)的估計。當(dāng)前8頁，總共38頁。例

x1,x2,

…,xn是來自(a,b)上的均勻分布U(a,b)的樣本，a與b均是未知參數(shù)，這里k=2，由于不難推出由此即可得到a,b的矩估計：當(dāng)前9頁，總共38頁。矩法的優(yōu)點是：簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.矩法的缺點是：當(dāng)總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.矩估計量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.

矩估計方法點評

當(dāng)前10頁，總共38頁。極大似然法的基本思想

直觀想法：在試驗中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)

實例：某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵.一只野兔從前方竄過。只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下。如果要你推測，是誰打中的呢？

猜測：你會如何想呢?只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率。

推斷：看來這一槍是獵人射中的此例體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.當(dāng)前11頁，總共38頁。

極(最)大似然估計

定義

設(shè)總體的概率函數(shù)為P(x;)，將樣本的聯(lián)合概率函數(shù)看成的函數(shù)

稱為樣本的似然函數(shù)。如果某統(tǒng)計量滿足

則稱是的極(最)大似然估計，簡記為MLE當(dāng)前12頁，總共38頁。因為L()、lnL()在同處取得極值，故經(jīng)常用對數(shù)似然函數(shù)lnL()進(jìn)行估計。當(dāng)L()是可微函數(shù)時，求導(dǎo)是求極大似然估計最常用的方法，對lnL()求導(dǎo)更加簡單些。在統(tǒng)計問題中往往先使用最大似然估計法,在最大似然估計法使用不方便時,再用矩估計法.當(dāng)前13頁，總共38頁。例

設(shè)一個試驗有三種可能結(jié)果，其發(fā)生概率分別為現(xiàn)做了n次試驗，觀測到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分別為n1,n2,n3(n1+n2+n3=n)，則似然函數(shù)為其對數(shù)似然函數(shù)為當(dāng)前14頁，總共38頁。將之關(guān)于求導(dǎo)，并令其為0得到似然方程解之，得由于所以是極大值點。當(dāng)前15頁，總共38頁。例

對正態(tài)總體N(,2)，θ=(,2)是二維參數(shù)，設(shè)有樣本x1,x2

,

…,xn，則似然函數(shù)及其對數(shù)分別為將lnL(,2)分別關(guān)于兩個分量求偏導(dǎo)并令其為0,即得到似然方程組當(dāng)前16頁，總共38頁。解此方程組，得的極大似然估計為得出2的極大似然估計當(dāng)前17頁，總共38頁。

極大似然估計有一個簡單而有用的性質(zhì)：如果是的極大似然估計，則對任一函數(shù)g()，其極大似然估計為。該性質(zhì)稱為極大似然估計的不變性，從而使一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)的參數(shù)的極大似然估計的獲得變得容易了。當(dāng)前18頁，總共38頁。

例

設(shè)x1,x2,

…,xn是來自正態(tài)總體N(,2)

的樣本，則和2的極大似然估計為，于是由不變性可得如下參數(shù)的極大似然估計，它們是:標(biāo)準(zhǔn)差的MLE是；概率的MLE是；總體0.90分位數(shù)x0.90=+

u0.90

的MLE是，其中u0.90為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的0.90分位數(shù)。當(dāng)前19頁，總共38頁。§6.2

點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)

相合性

點估計量不可能等同于參數(shù)的真實取值。但根據(jù)格里紋科定理，完全可以要求估計量隨著樣本量的不斷增大而逼近參數(shù)真值，這就是相合性定義

是的一個估計量，若對任何一個ε>0，有

則稱為參數(shù)的相合估計。當(dāng)前20頁，總共38頁。若把依賴于樣本量n的估計量看作一個隨機變量序列,相合性就是依概率收斂于,所以證明估計的相合性可應(yīng)用依概率收斂的性質(zhì)及各種大數(shù)定律。相合性被認(rèn)為是對估計的一個最基本要求,一個估計量應(yīng)該把被估參數(shù)估計到任意指定的精度。不滿足相合性要求的估計一般不予考慮。證明估計的相合性一般可應(yīng)用大數(shù)定律或直接由定義來證.當(dāng)前21頁，總共38頁。在判斷估計的相合性時下述兩個定理是很有用的。定理

設(shè)是的一個估計量，若

則是的相合估計，定理

若分別是1,

…,k的相合估計，=g(1

,

…,k)是1,

…,k的連續(xù)函數(shù)，則是的相合估計。當(dāng)前22頁，總共38頁。注：由大數(shù)定律及定理，我們可以看到：矩估計一般都具有相合性。比如：樣本均值是總體均值的相合估計；樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的相合估計；樣本變異系數(shù)是總體變異系數(shù)的相合估計。例

設(shè)x1,x2

,

…,xn是來自均勻總體U(0,)的樣本，證明的極大似然估計是相合估計。當(dāng)前23頁，總共38頁。

無偏性

定義

設(shè)是的一個估計，

的參數(shù)空間為Θ，若對任意的∈Θ，有

則稱是的無偏估計，否則稱為有偏估計。

當(dāng)前24頁，總共38頁。例

對任一總體而言，樣本均值是總體均值的無偏估計。當(dāng)總體k階矩存在時，樣本k階原點矩ak是總體k階原點矩

k的無偏估計。但對中心矩則不一樣，譬如，由于，樣本方差s*2不是總體方差2的無偏估計，對此，有如下兩點說明：

(1)當(dāng)樣本量趨于無窮時，有E(s*2)2，我們稱s*2為2的漸近無偏估計。

(2)若對s*2作如下修正：，則s2是總體方差的無偏估計。當(dāng)前25頁，總共38頁。例

設(shè)總體為N(,2)，x1,x2,

…,xn是樣本，則s2是2的無偏估計，且可求出這說明s不是的無偏估計.

利用修正技術(shù)可得cns是的無偏估計，其中是修偏系數(shù).

可以證明，當(dāng)n時,有cn1.

這說明s是的漸近無偏估計。當(dāng)前26頁，總共38頁。

有效性

定義

設(shè)是的兩個無偏估計，如果對任意的

∈Θ,有且至少有一個

∈Θ使得上述不等號嚴(yán)格成立，則稱比有效。

當(dāng)前27頁，總共38頁。例

設(shè)x1,x2

,

…,xn是取自某總體的樣本，記總體均值為

，總體方差為2，則,,都是

的無偏估計，但顯然，只要n>1，比有效。這表明用全部數(shù)據(jù)的平均估計總體均值要比只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)更有效。當(dāng)前28頁，總共38頁?！?.5

區(qū)間估計

6.5.1區(qū)間估計的概念

定義

設(shè)是總體的一個參數(shù)，對給定的一個(0<<1)，若有兩個統(tǒng)計量和，若對任意的

∈Θ，有（）注：點估計是用一個值估計未知參數(shù)，沒有反映出這個近似值的誤差范圍。區(qū)間估計的結(jié)論更可信。當(dāng)前29頁，總共38頁。則稱隨機區(qū)間[]為的置信水平為1-的置信區(qū)間，或簡稱[]是的1-置信區(qū)間.

和分別稱為的（雙側(cè)）置信下限和置信上限.

這里置信水平1-的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時，至少有100(1-)%的區(qū)間含有

。

當(dāng)前30頁，總共38頁。6.5.2樞軸量法

構(gòu)造未知參數(shù)的置信區(qū)間的最常用的方法是樞軸量法，其步驟可以概括為如下三步：1.設(shè)法構(gòu)造一個樣本和的函數(shù)G=G(x1,x2

,

…,xn,

)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)。一般稱具有這種性質(zhì)的G為樞軸量。2.適當(dāng)?shù)剡x擇兩個常數(shù)c,d，使對給定的(0<<1)有P(c≤G≤d)=1-

3.假如能將c≤G

≤d進(jìn)行不等式等價變形化為則[，]是的1-同等置信區(qū)間。當(dāng)前31頁，總共38頁。

這時可用t統(tǒng)計量，因為，的1-置信區(qū)間為

此處是

2的無偏估計。一、

已知時的置信區(qū)間在這種情況下，樞軸量可選為置信區(qū)間為[，]。6.5.3單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

二、

2未知時的置信區(qū)間

當(dāng)前32頁，總共38頁。例

用天平秤某物體的重量9次，得平均值為（克），已知天平秤量結(jié)果為正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.1克。試求該物體重量的0.95置信區(qū)間。解：此處1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是該物體重量的0.95置信區(qū)間為，從而該物體重量的0.95置信區(qū)間為

[15.3347，15.4653]。當(dāng)前33頁，總共38頁。例

假設(shè)輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機地抽12只輪胎試用，測得它們的壽命（單位：萬公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70

此處正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用t分布求均值的置信區(qū)間。經(jīng)計算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬公里）當(dāng)前34頁，總共38頁。三、

2的置信區(qū)間

取樞軸量，由于

2分布是偏態(tài)分布，尋找平均長度最短區(qū)間很難實現(xiàn)，一般都用等尾置信區(qū)間：采用

2的兩個分位數(shù)

2

/2(n-1)和21-

/2(n-1)，在

2分布兩側(cè)各截面積為/2的部分，使得由此給出

2的1-置信區(qū)間為當(dāng)前35頁，總共38