2022-2023學年廣東省惠州市惠陽區(qū)鳳凰山學校八年級（下）寒假收心數(shù)學試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一只不透明的袋子里裝有4個黑球，1個白球，每個球除顏色外都相同，則從中任意摸出1個球，摸到黑球的概率是（）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.12．由圓和正五邊形所組成的圖形如圖所示，那么這個圖形（）A．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形 B．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形 C．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形 D．既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形3．已知關于x的一元二次方程2x2﹣8x+m＝0有一個根是x1＝3，則另一個根x2是（）A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．24．如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝70°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°6．如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是（）A．60° B．110° C．120° D．90°7．將函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的圖象繞原點O旋轉180°，得到新的二次函數(shù)解析式為（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣38．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，點D在BC上，且CD＝2，點P是線段AC上一個動點，以PD為直徑作⊙O，點Q為直徑PD上方半圓的中點，連接AQ，則AQ的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．49．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1．則以下結論錯誤的是（）A．b2＞4ac B．2a+b＝0 C．a(chǎn)+b+c＝0 D．5a＜b10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x＝2，且OA＝OC，則下列結論：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一個根為﹣其中正確的結論個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是．12．將拋物線y＝x2向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為．13．數(shù)學課上，老師將如圖邊長為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細忽略不計），則所得扇形DAB的面積是．14．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）兩點，則不等式ax2+mx+c＞n的解集是．15．如圖，⊙P與x軸交于點A（﹣5，0），B（1，0），與y軸的正半軸交于點C．若∠ACB＝60°，則點C的縱坐標為．16．如圖，已知拋物線y＝x2﹣7x+6與x軸的相交于A，B兩點（A在B的右側），與y軸的相交于點C，點P，Q分別從A，O兩點同時以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移動，用t（秒）表示移動時間，連接PQ，當t為值時，以O，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似．17．如圖，O為正方形ABCD對角線的交點，E是線段OC的中點，DE的延長線交BC邊于點F，連接并延長FO交AD于點G．若AB＝2，則GF＝．三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題8分，第24，25小題10分。18．已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（1，﹣6），且經(jīng)過點（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．19．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A（0，1），B（3，4）．求此二次函數(shù)的表達式及頂點的坐標．20．經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小相同，現(xiàn)在兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口．請用“樹形圖”或“列表法”求這兩輛汽車都向左轉的概率．21．如圖，AB，CD為⊙O內(nèi)兩條相交的弦，交點為E，且AB＝CD，求證：AD∥BC．22．新冠病毒肆虐全球，我國的疫情很快得到了控制，并且研發(fā)出安全性、有效性均非常高的疫苗．2021年七月，國家發(fā)布通知，12～17歲未成年人也可接種新冠疫苗．隨著全國各地疫苗需求量的急劇增加，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，北京生物制藥廠現(xiàn)有1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是42萬支/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少2萬支/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)疫苗144萬支，在既增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應該增加幾條生產(chǎn)線？23．已知：如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，且BE＝CE．求證：．24．（一）發(fā)現(xiàn)探究在△ABC中AB＝AC，點P在平面內(nèi)，連接AP并將線段AP繞點A順時針方向旋轉與∠BAC相等的角度，得到線段AQ，連接BQ．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，如果點P是BC邊上任意一點，則線段BQ和線段PC的數(shù)量關系是；【探究猜想】如圖2，如果點P為平面內(nèi)任意一點．前面發(fā)現(xiàn)的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．請僅以圖2所示的位置關系加以證明（或說明）；（二）拓展應用【拓展應用】如圖3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是線段BC上的任意一點連接AP，將線段AP繞點A順時針方向旋轉60°，得到線段AQ，連接CQ，請直接寫出線段CQ長度的最小值．25．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．BE、AD分別與過點C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學習完第十二章后，張老師首先讓同學們完成問題1：如圖1，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點C旋轉到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關系，并給予證明．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一只不透明的袋子里裝有4個黑球，1個白球，每個球除顏色外都相同，則從中任意摸出1個球，摸到黑球的概率是（）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【分析】直接由概率公式求解即可．解：從中任意摸出1個球，摸到黑球的概率是＝0.8，故選：A．【點評】本題考查概率公式，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．2．由圓和正五邊形所組成的圖形如圖所示，那么這個圖形（）A．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形 B．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形 C．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形 D．既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形【分析】直接利用中心對稱圖形以及軸對稱圖形的定義進而判斷得出答案．解：此圖形是軸對稱圖形但并不是中心對稱圖形．故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形以及軸對稱圖形，正確掌握相關定義是解題關鍵．3．已知關于x的一元二次方程2x2﹣8x+m＝0有一個根是x1＝3，則另一個根x2是（）A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2【分析】利用根與系數(shù)的關系得到3+x2＝4，然后解一次方程即可．解：設另一個根為x2，根據(jù)題意得x1+x2＝﹣＝4，即3+x2＝4，所以x2＝1．故選：C．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．4．如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用α表示∠CBD，進而由圓心角與圓周角關系，用α表示∠COD，最后由角的和差關系得結果．解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故選：D．【點評】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關鍵是用α表示∠COD．5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝70°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即可．解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝70°，∴∠C＝110°，故選：C．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．6．如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是（）A．60° B．110° C．120° D．90°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A，再根據(jù)圓周角定理解答．解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圓周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故選：C．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．7．將函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的圖象繞原點O旋轉180°，得到新的二次函數(shù)解析式為（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣3【分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)得到二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的頂點坐標為（2，3），再利用關于原點對稱的點的坐標特征得到點（2，3）關于原點對稱的點的坐標為（﹣2，﹣3），而拋物線開口方向相反，然后根據(jù)頂點式寫出新拋物線的解析式．解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3的頂點坐標為（2，3），點（2，3）關于原點對稱的點的坐標為（﹣2，﹣3），所以新拋物線的解析式為y＝（x+2）2﹣3．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，點D在BC上，且CD＝2，點P是線段AC上一個動點，以PD為直徑作⊙O，點Q為直徑PD上方半圓的中點，連接AQ，則AQ的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．4【分析】連接OQ，CQ，過點A作AT⊥CQ交CQ的延長線于T，根據(jù)圓周角定義知∠ACQ＝45°，確定點Q的運動路徑，從而解決問題．解：如圖，連接OQ，CQ，過點A作AT⊥CQ交CQ的延長線于T，∵，∴OQ⊥PD，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝8，∴AT＝AC?sin45°＝4，∵AQ≥AT，∴AQ≥4，∴AQ的最小值為：4，故選：D．【點評】本題主要考查了圓周角定理，垂線段最短，三角函數(shù)等知識，根據(jù)圓周角定理確定點Q的運動路徑是解題的關鍵．9．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1．則以下結論錯誤的是（）A．b2＞4ac B．2a+b＝0 C．a(chǎn)+b+c＝0 D．5a＜b【分析】根據(jù)當b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點可對A進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，可對B進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性先求出拋物線與x軸另一個交點為（1，0），即x＝0時，y＝0，可對C進行判斷；拋物線開口向下得到a＜0，又b＝2a，則5a＜2a，可對D進行判斷．解：A、拋物線與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，所以A選項是正確的；B、因為對稱軸為直線x＝﹣1，則﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，所以B選項是錯誤的；C、因為拋物線點A（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，則拋物線與x軸另一個交點為（1，0），于是有a+b+c＝0，所以C選項是正確的；D、因為b＝2a，而a＜0，則5a＜2a，所以D選項是正確的．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與系數(shù)的關系：當a＞0，拋物線開口向上；拋物線的對稱軸為直線x＝﹣；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點．10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x＝2，且OA＝OC，則下列結論：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一個根為﹣其中正確的結論個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及與y軸的交點可分別判斷出a、b、c的符號，從而可判斷①；由圖象可知當x＝3時，y＞0，可判斷②；由OA＝OC，且OA＜1，可判斷③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，結合③可判斷④；從而可得出答案．解：由圖象開口向下，可知a＜0，與y軸的交點在x軸的下方，可知c＜0，又對稱軸方程為x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正確；由圖象可知當x＝3時，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②錯誤；由圖象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正確；假設方程的一個根為x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，整理可得ac﹣b+1＝0，兩邊同時乘c可得ac2﹣bc+c＝0，即方程有一個根為x＝﹣c，由②可知﹣c＝OA，而當x＝OA是方程的根，∴x＝﹣c是方程的根，即假設成立，故④正確；綜上可知正確的結論有三個，故選：C．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握圖象與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)與方程、不等式的關系是解題的關鍵．特別是利用好題目中的OA＝OC，是解題的關鍵．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≥．【分析】分二次項系數(shù)為零及非零兩種情況考慮，當（k﹣1）2＝0，即k＝1時，解一元一次方程可得出x＝﹣，進而可得出k＝1符合題意；當（k﹣1）2≠0，即k≠1時，利用根的判別式Δ≥0，即可求出k的取值范圍，綜上，此題得解．解：當（k﹣1）2＝0，即k＝1時，原方程為3x+1＝0，解得：x＝﹣，∴k＝1符合題意；當（k﹣1）2≠0，即k≠1時，∵關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數(shù)根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1≥0，解得：k≥，∴k≥且k≠1．綜上，k的取值范圍為k≥．故答案為：k≥．【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，分二次項系數(shù)為零及非零兩種情況，找出k的值或k的取值范圍是解題的關鍵．12．將拋物線y＝x2向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為y＝x2﹣2．【分析】根據(jù)“上加下減”可得答案．解：將拋物線y＝x2向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為y＝x2﹣2，故答案為：y＝x2﹣2．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．13．數(shù)學課上，老師將如圖邊長為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形（鐵絲的粗細忽略不計），則所得扇形DAB的面積是1．【分析】先求出弧長BD＝CD+BC，再根據(jù)扇形面積公式：S＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長，R是扇形的半徑）計算即可．解：由題意的長＝CD+BC＝1+1＝2，S扇形ABD＝??AB＝×2×1＝1，故答案為：1．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)和扇形面積的計算，解題的關鍵是記住扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長），求出的長＝CD+BC＝2是解題的關鍵．14．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）兩點，則不等式ax2+mx+c＞n的解集是﹣2＜x＜1．【分析】作直線y＝mx+n關于y軸的對稱直線CD：y＝﹣mx+n，點C、D是兩個函數(shù)的交點，根據(jù)點的對稱性，點C（1，p），D（﹣2，q），即可求解．解：作直線y＝mx+n關于y軸的對稱直線CD：y＝﹣mx+n，點C、D是兩個函數(shù)的交點，根據(jù)點的對稱性，點C（1，p），D（﹣2，q），由圖象可以看出，ax2+c＞n﹣mx的解集為：﹣2＜x＜1，故答案為：﹣2＜x＜1．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，要求學生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點所代表的意義、圖象上點的坐標特征等．15．如圖，⊙P與x軸交于點A（﹣5，0），B（1，0），與y軸的正半軸交于點C．若∠ACB＝60°，則點C的縱坐標為+2．【分析】過P點作PH⊥AB于H點，PD⊥OC于D點，連接PA、PB、PC，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH＝3，則OH＝2，再根據(jù)圓周角定理得到∠APB＝2∠ACB＝120°，所以∠APH＝60°，則利用含30度角的直角三角形三邊的關系計算出PH＝，PA＝2，接著利用四邊形PHOD為矩形得到OD＝，PD＝2，然后利用勾股定理計算出CD，從而得到OC的長．解：過P點作PH⊥AB于H點，PD⊥OC于D點，連接PA、PB、PC，如圖，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴OA＝5，OB＝1，∵PH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝3，∴OH＝2，∵∠APB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，∴∠APH＝60°，在Rt△PAH中，∵PH＝AH＝，∴PA＝2PH＝2，∵∠PHO＝∠PDO＝∠HOD＝90°，∴四邊形PHOD為矩形，∴OD＝PH＝，PD＝OH＝2，在Rt△PCD中，∵PC＝PA＝2，PD＝2，∴CD＝＝2，∴OC＝OD+CD＝+2，∴點C的縱坐標為+2．故答案為：+2．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理．16．如圖，已知拋物線y＝x2﹣7x+6與x軸的相交于A，B兩點（A在B的右側），與y軸的相交于點C，點P，Q分別從A，O兩點同時以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移動，用t（秒）表示移動時間，連接PQ，當t為或秒值時，以O，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似．【分析】先計算x＝0時的函數(shù)值得到C（0，6），解方程x2﹣7x+6＝0得B（1，0），A（6，0），所以OC＝6，OB＝1，OA＝6，則OQ＝t，OP＝6﹣t，由于∠POQ＝∠BOC，根據(jù)相似三角形的判定方法，當＝時，△OPQ∽△OBC，即＝；當＝時，△OPQ∽△OCB，即＝，然后分別解方程即可．解：當x＝0時，y＝x2﹣7x+6＝6，則C（0，6），當y＝0時，x2﹣7x+6＝0，解得x1＝1，x2＝6，∴B（1，0），A（6，0），∴OC＝6，OB＝1，OA＝6，∴OQ＝t，OP＝6﹣t，∵∠POQ＝∠BOC，∴當＝時，△OPQ∽△OBC，即＝，解得t＝；當＝時，△OPQ∽△OCB，即＝，解得t＝，綜上所述，當t＝或秒時，以O，P，Q為頂點的三角形與△OBC相似．故答案為：或秒．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．也考查了拋物線與x軸的交點問題．17．如圖，O為正方形ABCD對角線的交點，E是線段OC的中點，DE的延長線交BC邊于點F，連接并延長FO交AD于點G．若AB＝2，則GF＝．【分析】過點O作OH⊥BC，于點H，因為E是線段OC的中點，所以根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CF：AD＝1：3，進而可求出CF的長，由正方形的性質(zhì)可知△BOC是等腰直角三角形，所以BH＝CH＝1，進而可求出HF的長，再利用勾股定理可求出OF的長，繼而求出GF的長．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ADE∽△CFE，∵E是線段OC的中點，∴CE：AE＝CF：AD＝1：3，∵AB＝2，∴CF＝，過點O作OH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝1，∴HF＝1﹣FC＝＝，∵OH＝BC，∴OF＝＝，∴FG＝2OF＝，故答案為：．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關鍵是證明△ADE∽△CFE，根據(jù)E是線段OC的中點，得到CE：AC＝CF：AD＝1：3．三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題8分，第24，25小題10分。18．已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（1，﹣6），且經(jīng)過點（2，﹣8），求二次函數(shù)的解析式．【分析】根據(jù)拋物線的頂點坐標設出，拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2﹣6，再把（2，﹣8）代入，求出a的值，即可得出二次函數(shù)的解析式．解：設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入解析式得a＝﹣2，則拋物線的解析式為：y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．【點評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，在已知拋物線頂點坐標的情況下，通常用頂點式設二次函數(shù)的解析式．19．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A（0，1），B（3，4）．求此二次函數(shù)的表達式及頂點的坐標．【分析】把A、B的坐標代入y＝x2+mx+n，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一般式，化成頂點式即可求得頂點坐標．解：∵二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A（0，1），B（3，4）；∴，解得：，∴y＝x2﹣2x+1，∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴頂點的坐標為（1，0）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知待定系數(shù)法是解題的關鍵．20．經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小相同，現(xiàn)在兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口．請用“樹形圖”或“列表法”求這兩輛汽車都向左轉的概率．【分析】畫樹狀圖，共有9種可能的結果，其中這兩輛汽車都向左轉的結果有1種，再由概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如圖所示：共有9種可能的結果，其中這兩輛汽車都向左轉的結果有1種，∴這兩輛汽車都向左轉的概率為．【點評】此題考查了樹狀圖法求概率．解題的關鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解．21．如圖，AB，CD為⊙O內(nèi)兩條相交的弦，交點為E，且AB＝CD，求證：AD∥BC．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系和平行線的判定定理即可得到結論．解：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，平行線的判定，熟練掌握圓心角、弧、弦的關系是解題的關鍵．22．新冠病毒肆虐全球，我國的疫情很快得到了控制，并且研發(fā)出安全性、有效性均非常高的疫苗．2021年七月，國家發(fā)布通知，12～17歲未成年人也可接種新冠疫苗．隨著全國各地疫苗需求量的急劇增加，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，北京生物制藥廠現(xiàn)有1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是42萬支/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少2萬支/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)疫苗144萬支，在既增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應該增加幾條生產(chǎn)線？【分析】設應該增加x條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（42﹣2x）萬支/天，根據(jù)要保證每天生產(chǎn)疫苗144萬支，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合要節(jié)省投入，即可得出應該增加3條生產(chǎn)線．解：設應該增加x條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（42﹣2x）萬支/天，依題意得：（x+1）（42﹣2x）＝144，整理得：x2﹣20x+51＝0，解得：x1＝3，x2＝17．又∴要節(jié)省投入，∴x＝3．答：應該增加3條生產(chǎn)線．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．23．已知：如圖，AB，DE是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，且BE＝CE．求證：．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得出∴＝，＝，再求出答案即可．【解答】證明：∵圓心角∠BOE＝圓心角∠AOD，∴＝，∵BE＝CE，＝，∴＝．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，能熟記圓心角、弧、弦的關系是解此題的關鍵，在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，如果其中一對量相等，那么其它兩對量也分別相等．24．（一）發(fā)現(xiàn)探究在△ABC中AB＝AC，點P在平面內(nèi)，連接AP并將線段AP繞點A順時針方向旋轉與∠BAC相等的角度，得到線段AQ，連接BQ．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，如果點P是BC邊上任意一點，則線段BQ和線段PC的數(shù)量關系是BQ＝PC；【探究猜想】如圖2，如果點P為平面內(nèi)任意一點．前面發(fā)現(xiàn)的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．請僅以圖2所示的位置關系加以證明（或說明）；（二）拓展應用【拓展應用】如圖3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是線段BC上的任意一點連接AP，將線段AP繞點A順時針方向旋轉60°，得到線段AQ，連接CQ，請直接寫出線段CQ長度的最小值．【分析】【發(fā)現(xiàn)問題】先判斷出∠BAQ＝∠CAP，進而用SAS判斷出△BAQ≌△CAP，即可得出結論；【探究猜想】同（1）證明△BAQ≌△CAP（SAS）即可得出結論；【拓展應用】在AB上取一點E，使AE＝AC＝2，連接PE，過點E作EF⊥BC于F，由旋轉的性質(zhì)得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，證明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CQ＝EP，當EF⊥BC（點P和點F重合）時，EP最小，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結論．解：【發(fā)現(xiàn)問題】由旋轉知，AQ＝AP，∵∠PA