§3.4線性規(guī)劃的應(yīng)用一、人力資源安排的問題例1．某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時間段內(nèi)所需司機和乘務(wù)人員數(shù)如下：

設(shè)司機和乘務(wù)人員分別在各時間段一起先時上班，并連續(xù)工作八小時，問該公交線路怎樣支配司機和乘務(wù)人員，既能滿足工作須要，又配備最少司機和乘務(wù)人員?解：設(shè)xi表示第i班次時起先上班的司機和乘務(wù)人員數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。MinZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0例2．某商場是個中型的百貨商場，它對售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計分析如下表，為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應(yīng)當(dāng)如何支配售貨人員的作息，既滿足工作須要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？解：設(shè)xi(i=1-7)表示星期一至日起先休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。MinZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥15x3+x4+x5+x6+x7≥24x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31x7+x1+x2+x3+x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0二、生產(chǎn)支配的問題例3．明興公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都須要經(jīng)過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必需本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如下表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？

解：設(shè)x1,x2,x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5

分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。

MaxZ=15x1+10x2+7x3+13x4+9x5

s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0例4．某廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過A、B兩道工序加工。設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備A1、A2能完成A工序；有三種規(guī)格的設(shè)備B1、B2、B3能完成B工序。Ⅰ可在A、B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工；Ⅱ可在隨意規(guī)格的A設(shè)備上加工，但對B工序，只能在B1設(shè)備上加工；Ⅲ只能在A2與B2設(shè)備上加工；數(shù)據(jù)如下表。問：為使該廠獲得最大利潤，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案？產(chǎn)品Ⅱ有2種加工方案，即，加工數(shù)量用表示；產(chǎn)品Ⅲ只有一種加工方案，，加工數(shù)量等于。則建立如下線性規(guī)劃模型MaxZ=(1.25-0.25)+(2.0-0.35)+(2.80-0.50)s.t.三、合理下料問題

例5．某工廠要做100套鋼架，每套鋼架用長為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m，現(xiàn)考慮應(yīng)如何下料，可使所用原料最??？解：設(shè)計下列8種下料方案方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9211100002.1021032101.510130234合計7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料頭0.10.30.901.10.20.81.4例6：某醫(yī)院有一批長度為15分米的膠皮管原料。為了作輸液管、止血帶和聽診器膠管，須要截成長度分別為5.7分米，4.2分米和3.1分米的短管各100根，100根和200根。試問應(yīng)如何支配截發(fā)，所用的膠管原材的總根數(shù)最少，而且每根料頭不能超過2分米？四、配料問題例7．某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如右表。問：該廠應(yīng)如何支配生產(chǎn)，使利潤收入為最大？

解：設(shè)xij

表示第i種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料j的含量。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時，要考慮：對于甲：x11，x12，x13；對于乙：x21，x22，x23；對于丙：x31，x32，x33；對于原料1：x11，x21，x31；對于原料2：x12，x22，x32；對于原料3：x13，x23，x33；目標函數(shù)：利潤最大，利潤=收入-原料支出約束條件：規(guī)格要求4個；供應(yīng)量限制3個。目標函數(shù)：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

約束條件：

s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）

-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超過25%）

0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）

-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超過50%）

x11+x21+x31≤100(供應(yīng)量限制）

x12+x22+x32≤100(供應(yīng)量限制）

x13+x23+x33≤60(供應(yīng)量限制）

xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3

例8.某糖果廠用原料A，B，C加工成三種不同牌號的糖果甲、乙、丙。已知各種牌號糖果中A，B，C的含量，原料成本，各種原料每月的限制用量，三種牌號糖果的單位加工費及售價如表所示。甲乙丙原料成本/元/KG每月限制用量/KGABC≥60%≥15%≤20%≤50%≤60%2.001.501.00200025001200加工費（元/kg）0.500.400.30售價（元/kg）3.402.852.25問該廠每月生產(chǎn)這三種牌號各多少kg，使得到的利潤為最大？試建立這個問題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。五、投資問題例9．某部門現(xiàn)有資金200萬元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項目投資。已知：項目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%；項目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過30萬元；項目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬元；項目D：需在其次年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元；問：a）應(yīng)如何確定這些項目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？據(jù)測定每萬元每次投資的風(fēng)險指數(shù)為：項目A為1，項目B為3，項目C為4，項目D為5.5b）應(yīng)如何確定這些項目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險系數(shù)為最??？解：確定決策變量：連續(xù)投資問題設(shè)

xij(i=1-5，j=1、2、3、4)表示第i年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項目的金額。

a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200

x21+x22+x24=1.1x11；

x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；

x41+x42=1.1x31+1.25x22；

x51=1.1x41+1.25x32；

xi2≤30(I=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤100

xij≥0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）

b)Minf=(x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12=200

x21+x22+x24

≤

1.1x11；

x31+x32+x33

≤1.1x21+1.25x12；

x41+x42

≤1.1x31+1.25x22；

x51≤1.1x41+1.25x32；

xi2≤30(I=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330

xij≥0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）例10.某人有一筆30萬元的資金，在今后的三年內(nèi)有以下投資項目：（1）三年內(nèi)的每年年初均可投資，每年獲利為投資額的20%，其本利可一起用于下一年的投資；（2）只允許第一年年初投入，其次年末可收回，本利合計為投資額的150%，但此類投資額不超過15萬元；（3）于三年內(nèi)其次年初允許投資，可于第三年末收回，本利合計為投資額的160%，這類投資限額20萬元；（4）于三年內(nèi)的第三年初允許投資，一年回收，可獲利40%，投資限額為10萬元。試為該人確定一個使第三年末本利和為最大的投資支配。解：設(shè)為第年初投放到項目的資金數(shù)，其數(shù)學(xué)模型為六、生產(chǎn)存儲問題例11：某廠簽訂了5種產(chǎn)品（i=1,…,5)上半年的交貨合同。已知各產(chǎn)品在第j月（j=1,…,6)的合同交貨量該月售價、成本價及生產(chǎn)一件