第第2講講線段的垂直平分線與角平分線

概述概述適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域北師版區(qū)域課時(shí)時(shí)長（分鐘）120知識(shí)點(diǎn)1.線段的垂直平分線2.角平分線教學(xué)目標(biāo)1.線段的垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用2.角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)1.線段的垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用2.角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)1.線段的垂直平分線的性質(zhì)及應(yīng)用2.角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用【教學(xué)建議】本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是使學(xué)生能熟練掌握線段的垂直平分線以及角的平分線的性質(zhì)與判定，這一節(jié)的內(nèi)容，與軸對稱圖形聯(lián)系緊密，在課程開始之前，可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)一下七年級下學(xué)期最后一張的內(nèi)容，了解線段的垂直平分線以及角的平分線的性質(zhì)以及軸對稱的相關(guān)知識(shí)。學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下幾個(gè)方面感到困難：1.軸對稱的應(yīng)用。2.最值問題?！局R(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過程教學(xué)過程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】有關(guān)線段的垂直平分線與角的平分線的性質(zhì)，學(xué)生掌握起來并不難，需要注意的是最值問題，利用軸對稱解決的最值問題。二、知識(shí)講解二、知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)垂直平分線：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，就叫這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。這就是垂直平分線的定義（多媒體展示定義）。幾何語言：∵M(jìn)N是AA′的垂直平分線∴AP=PA′(即點(diǎn)P是AA'的中點(diǎn))∠MPA=∠MPA′=90°探究：線段的垂直平分線的性質(zhì)下面我們來思考這樣一個(gè)問題：如圖，課件展示，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是直線l上的點(diǎn)。分別測量P1，P2，P3，…到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？（思考，交流，給出答案）P1，P2，P3，…到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都相等。沒錯(cuò)，如果我們不用測量的方法分析，可以發(fā)現(xiàn)，把線段AB沿著直線l對折，P1A與P1B，P2A與P2B，P3A與P3B…都將重合，也就是說，直線l上的點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都相等！這就是線段的垂直平分線的第一個(gè)性質(zhì)。線段的垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。數(shù)學(xué)語言：∵l⊥AB，AC=BC，且點(diǎn)P在l上∴PA=PB那我們怎么來證明這個(gè)定理呢？聯(lián)系你們之前學(xué)過的知識(shí)，誰能給出思路？我們可以利用全等三角形的知識(shí)來證明。證明過程課件展示。推廣：線段的垂直平分線的判定剛才我們知道了，線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那現(xiàn)在我們打一個(gè)問號(hào)，反過來問：如果PA=PB，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上嗎？誰能給出這個(gè)問題的已知和求證？已知PA=PB，AC=CB，求證：直線PC垂直平分AB。證明：在△PCA和△PCB中：PC=PCAC=BCPA=PB∴△PCA≌△PCB(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB且AC=CB即：直線PC垂直平分AB。通過大家嚴(yán)密的證明，我們現(xiàn)在可以得出結(jié)論：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。這就是用于判定垂直平分線的定理。線段的垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。數(shù)學(xué)語言：（同上圖）∵PA=PB∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上又∵C是AB的中點(diǎn)∴直線PC是線段AB的垂直平分線。注意：要證明一條直線是某一線段的垂直平分線，必須證明有兩個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上。要證明一條直線是某一線段的垂直平分線，必須證明有兩個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上。常見的組合有：一個(gè)到線段兩端距離相等的點(diǎn)+線段中點(diǎn)；兩個(gè)到線段兩端距離相等的點(diǎn)。從剛才我們學(xué)習(xí)的性質(zhì)定理和判定定理可以看出，線段AB的垂直平分線l上面的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在l上；直線l可以看成與兩點(diǎn)A，B的距離相等的所有點(diǎn)的集合。垂直平分線可以看做是到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合。尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線下面我們來學(xué)習(xí)如何利用剛才的判定定理作線段的垂直平分線（教師演示或用PPT演示過程）。尺規(guī)法畫垂直平分線。分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于?AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，直線CD即為所求。如果兩個(gè)圖形成軸對稱，或者一個(gè)圖形是軸對稱圖形，只要能找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線，就能得到對稱軸。下面我們來看這樣一個(gè)問題：我們之前學(xué)習(xí)過如何過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，當(dāng)時(shí)用到了三角板?，F(xiàn)在，能否不用三角板，僅用尺規(guī)就能過直線外頂點(diǎn)畫一直線的垂線呢？只要在直線上截取一段線段，再畫出這段線段的垂直平分線就行了。三角形的外心我們學(xué)習(xí)了三角形，知道了它是由三條線段首尾相接組成的圖形。那下面，我們來做這樣一個(gè)任務(wù)：大家畫出任意一個(gè)三角形，再畫出這三條邊的垂直平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？這三條垂直平分線交于一點(diǎn)。那你們?nèi)我庠佼嫵鰩讉€(gè)三角形試一下，這個(gè)發(fā)現(xiàn)還成立嗎？仍然成立。那好，下面試著證明你們的猜想。我們怎樣把這個(gè)猜想轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言呢？請大家思考一下。如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接PA，PB和PC。求證：PA=PB=PC點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你能得到什么結(jié)論？∵邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P∴PA=PB，且PB=PC∴PA=PB=PC根據(jù)PA=PC，可知點(diǎn)P也在邊AC的垂直平分線上。對任意一個(gè)三角形，其三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心。外心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。三角形的外心任意一個(gè)三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心。外心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的判定與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的判定與性質(zhì)問題1：在練習(xí)本上畫一個(gè)角，怎樣得到這個(gè)角的平分線？用量角器度量，也可用折紙的方法．[追問1]你能評價(jià)這些方法嗎？在生產(chǎn)生活中，這些方法是否可行呢？[追問2]下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？師生探究，說明其中的原理(利用“邊邊邊”)，進(jìn)而得到利用尺規(guī)作角平分線的方法．教師出示作圖過程：已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線．作法：(1)以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點(diǎn)C.畫射線OC.射線OC即為所求．教師提出問題：角的平分線有哪些性質(zhì)呢，請同學(xué)們與我一同來探究一下吧！【設(shè)計(jì)意圖】1.創(chuàng)設(shè)情境，通過實(shí)踐探究角平分線的作法，引起學(xué)生的探究興趣，引出本節(jié)課的內(nèi)容．2．培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和運(yùn)用三角形全等的知識(shí)(SSS)解決問題的能力．3．從試驗(yàn)抽象出幾何模型，明確幾何作圖的基本思路和方法.問題2【探究1】如圖，將∠AOB的兩邊對折，再折個(gè)直角三角形(以第一條折痕為斜邊)，然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得到什么結(jié)論？你能利用所學(xué)過的知識(shí)，說明你的結(jié)論的正確性嗎？[師生活動(dòng)]學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生首先獨(dú)立操作，然后觀察操作后的圖形，進(jìn)行討論，經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)，折痕DP和折痕PE與其他邊有著特殊的關(guān)系：(1)PD⊥OA，PE⊥OB；(2)PD＝PE.然后尋找上述結(jié)論成立的理由：(1)由折疊過程可以得到；由(2)可以利用三角形全等的條件得到，△OPD≌△OPE，進(jìn)而得到PD＝PE.教師活動(dòng)：組織學(xué)生獨(dú)立操作、思考，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行討論，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，并對自己的看法作出判斷．最后引導(dǎo)學(xué)生歸納角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【探究2】我們已經(jīng)知道角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么若一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這個(gè)點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線上呢？談?wù)勀愕目捶ǎ鐖D，已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，那么P點(diǎn)在∠AOB的平分線上嗎？為什么？[師生活動(dòng)]學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索，利用三角形全等解決問題．考慮連接OP，由條件OP＝OP，PD＝PE，可以判斷Rt△OPD≌Rt△OPE，于是得到∠DOP＝∠EOP，即OP平分∠AOB.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生對所得出的結(jié)論進(jìn)行推理，在推理的過程中注重學(xué)生語言的準(zhǔn)確性和簡潔性，最后歸納：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．三、例題三、例題精析例題1例題1【題干】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，F(xiàn)E垂直平分AD，交AD于E，交BC的延長線于F，那么∠B與∠CAF相等嗎？為什么？【答案】見解析 【解析】解：∠B=∠CAF．∵FE垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠ADF．∵AD為∠BAC的平分線，∴∠CAD=∠BAD．又∵∠CAF=∠FAD﹣∠CAD，∠B=∠ADF﹣∠BAD，∴∠B=∠CAF．例題2例題2【題干】作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）如圖：某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點(diǎn)M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路）．現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．你能確定倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設(shè)計(jì)方案．【答案】見解析【解析】解：如圖所示：（1）連接MN，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑畫圓，兩圓相交于DE，連接DE，則DE即為線段MN的垂直平分線；（2）以O(shè)為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交OA、OB于G、H，再分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫圓，兩圓相交于F，連接OF，則OF即為∠AOB的平分線（或∠AOB的外角平分線）；（3）DE與OF相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．例題3例題3【題干】如圖：PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，并交于點(diǎn)P，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F．（1）求證：BP是∠MBN的平分線；（2）請你在BM、BN上分別找出點(diǎn)G、H，使得△PGH的周長最?。剀疤崾荆翰灰蟪咭?guī)作圖，但必須保留作圖痕跡，不用證明）【答案】見解析【解析】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E．∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，∴DP=EP（角平分線的性質(zhì)）．同理PE=PF，∴PD=PF，又PD⊥BM，PF⊥BN，∴P在∠MBN的角平分線上，∴PB平分∠MBN．（2）解：如圖所示：四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.如圖，在△ABC中，AB=AC，P、Q、R分別在AB、AC上，且BP=CQ，BQ=CR．求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．【答案】見解析【解析】證明：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，在△PBQ和△CQR中，，∴△BPQ≌△CQR（SAS），∴PQ=RQ，∴點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．2.已知直線l及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B，如圖．（1）在直線l上求一點(diǎn)P，使PA=PB；（2）在直線l上求一點(diǎn)Q，使l平分∠AQB．（以上兩小題保留作圖痕跡，標(biāo)出必要的字母，不要求寫作法）【答案】解：【解析】（1）作線段AB的垂直平分線與l的交點(diǎn)即為所求；（2）作點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′并延長交l于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求．3.如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°．【答案】見解析【解析】證明：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BA的延長線于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．鞏固鞏固1.如圖，AB=AC，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，∠A=50°，AB+BC=6．求：（1）△BCF的周長；（2）∠E的度數(shù)．【答案】見解析【解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分線，∴AF=BF，∴△BCF的周長為：CF+BF+BC=CF+AF+BC=AC+BC=AB+BC=6；（2）∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵DE垂直平分AB，∴∠EDB=90°，∴∠E=90°﹣65°=25°．2.如圖，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于點(diǎn)M，有AM=CM．（1）求證：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求證：FE垂直平分AC．【答案】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；（2）證明：∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM，又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴△FAC是等腰三角形，又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．【解析】（1）先根據(jù)AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出結(jié)論；（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根據(jù)∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論．3.在學(xué)習(xí)軸對稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題．如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？請你參考小華的做法解決下列問題．如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，請你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使△PDE得周長最小．在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【解析】解：如圖所示：作D點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；拔高拔高1.如圖，已知AD是∠BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E，交BC延長線于F．求證：（1）∠B=∠FAC；（2）DE∥AC．【答案】證明：（1）∵EF是AD的垂直平分線，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B；（2）∵EF是AD的垂直平分線，∴AE=DE，∴∠ADE=∠EAD，∵∠EAD=∠CAD，∴∠ADE=∠CAD，∴DE∥AC．【解析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF，由等邊對等角得到∠FAD=∠FDA，再根據(jù)角平分線定義得出∠BAD=∠CAD，從而利用三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)即可證明∠B=∠FAC；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=DE，由等邊對等角得到∠ADE=∠EAD，而∠EAD=∠CAD，等量代換得出∠ADE=∠CAD，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可證明DE∥AC．2.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，G為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于H．（1）求證：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．（2）試問當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，BH垂直平分DE？請說明理由．【答案】（1）證明：在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE在△BCG和△DCE中，∴△BCG≌△DCE（SAS）∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°∴∠1+∠DEC=90°∴∠BHD=90°∴BH⊥DE；（2）解：當(dāng)GC=﹣1時(shí)，BH垂直平分DE．理由如下：連接EG∵BH垂直平分DE∴EG=DG設(shè)CG=x∵CE=CG，∠DCE=90°∴EG=，DG=∵DG+CG=CDx+x=1解得x=﹣1∴GC=﹣1時(shí)，BH垂直平分DE．【解析】（1）根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質(zhì)得到∠BHD=90°即BH⊥DE；（2）解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出EG=DG，從而找到EG=，DG=，DG+CG=CD．列方程求解即可．課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等2.線段的垂直平分線的判定：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在線段的垂直平分線上3.角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距離相等4.角的平分線的判定：在角的內(nèi)部，到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上擴(kuò)展延伸擴(kuò)展延伸基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.作圖：（1）如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等．（2）如圖：已知直線m是一條小河，有一牧馬人準(zhǔn)備從A處牽馬去河邊飲水，然后返回B處，馬在何處飲水才能使所走路程最短，請?jiān)趫D中作出該點(diǎn)Q的位置．【答案】見解析【解析】解；（1）如圖1：作∠AOB的角平分線，作CD的垂直平分線，交點(diǎn)坐標(biāo)即為P點(diǎn)．；（2）如圖2：作B點(diǎn)關(guān)于m的對稱點(diǎn)，連接AB′，交m于Q，馬在Q飲水才能使所走路程最短．2.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD交BF于點(diǎn)G，GE∥CA，求證：CE與FG互相垂直平分．【答案】見解析【解析】證明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分線．3.如圖，△ABC中，若AD平分∠BAC，過D點(diǎn)作DE⊥AB，DF⊥AC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)．求證：AD⊥EF．【答案】見解析【解析】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三線合一）．鞏固鞏固1.（1）已知：圖1中，點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)，在l上求作一點(diǎn)P，使得PM+PN的值最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）（2）圖2中，聯(lián)結(jié)M、N與直線l相交于點(diǎn)O，當(dāng)兩直線的夾角等于45°，且OM=6，MN=2時(shí)，PM+PN的最小值是．【答案】見解析【解析】解：（1）如圖所示：作出點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′，連結(jié)M′N交直線l于點(diǎn)P；（2）作出點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′，連結(jié)M′N交直線l于點(diǎn)P；∵兩直線的夾角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案為：10．2.如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP．（1）求證：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）過點(diǎn)C作CE⊥AP，E是垂足，并延長CE交BM于點(diǎn)D．求證：CE=ED．【答案】見解析【解析】證明：（1）過P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如圖，∵在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．3.已知：如圖，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F(xiàn)、G分別是OA、OB上的點(diǎn)，且PF=PG，DF=EG．求證：OC是∠AOB的平分線．【答案】見解析【解析】證明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分線．拔高拔高1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線．點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是