2012年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)(解析版)7：立體幾何LtDPAGE6-2012高考真題分類匯編：立體幾何一、選擇題1.【2012高考真題新課標(biāo)理7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（） 【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為，所以幾何體的體積為,選B.2.【2012高考真題浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將△沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中。A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直.球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（）B、C、D、【答案】A【解析】根據(jù)題意，易知平面AOB⊥平面CBD,,，由弧長(zhǎng)公式易得，、兩點(diǎn)間的球面距離為.6.【2012高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A.B.C.D.5.【答案】A.【解析】設(shè)，則，，，，故選A.7.【2012高考真題湖南理3】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是【答案】D【解析】本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力.是近年高考中的熱點(diǎn)題型.8.【2012高考真題湖北理4】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B．C． D．【答案】B【解析】顯然有三視圖我們易知原幾何體為一個(gè)圓柱體的一部分，并且有正視圖知是一個(gè)1/2的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為6，則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B.9.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為A．12πB.45πC.57πD.81π【答案】C【解析】該幾何體的上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)量關(guān)系，可得．故選C．10.【2012高考真題福建理4】一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圓柱【答案】D.【命題立意】本題考查了空間幾何體的形狀和三視圖的概念，以及考生的空間想象能力，難度一般.【解析】球的三視圖全是圓；如圖正方體截出的三棱錐三視圖全是等腰直角三角形；正方體三視圖都是正方形.可以排除ABC，故選Ｄ．11.【2012高考真題重慶理9】設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因?yàn)閯t，，選A，12.【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（）A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。13.【2012高考真題全國(guó)卷理4】已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為A2BCD1【答案】D【解析】連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,且，所以，即直線與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED的距離，過C做于,則即為所求距離.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，高為，所以,,,所以利用等積法得，選D.二、填空題14.【2012高考真題浙江理11】已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于________cm3.【答案】1【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側(cè)面也是一直角三角形．故體積等于．15.【2012高考真題四川理14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是____________?！敬鸢浮俊久}立意】本題主要考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，以及異面直線所成角的求法.【解析】本題有兩種方法，一、幾何法：連接，則,又，易知，所以與所成角的大小是；二、坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式計(jì)算得異面直線與所成角的大小是.16.【2012高考真題遼寧理13】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為______________?！敬鸢浮?8【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于容易題。本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后再根據(jù)幾何體的形狀計(jì)算出表面積。17.【2012高考真題山東理14】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為線段上的點(diǎn)，則三棱錐的體積為____________.【答案】【解析】法一：因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)到平面的距離為1,即，所以.法二：使用特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行求解，不失一般性令點(diǎn)在點(diǎn)處，點(diǎn)在點(diǎn)處，則。18.【2012高考真題遼寧理16】已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱19.【2012高考真題上海理8】若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)榘雸A面的面積為，所以，即，即圓錐的母線為，底面圓的周長(zhǎng)，所以圓錐的底面半徑，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為。20.【2012高考真題上海理14】如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是?！敬鸢浮?。【解析】過點(diǎn)A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以=，當(dāng)AB=BD=AC=DC=a時(shí)，四面體ABCD的體積最大。過E做EF⊥DA，垂足為點(diǎn)F，已知EA=ED，所以△ADE為等腰三角形，所以點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，又，∴EF=，∴==，∴四面體ABCD體積的最大值=。21.【2012高考江蘇7】（5分），，則四棱錐的體積為▲cm3．【答案】6?！究键c(diǎn)】棱錐的體積。【解析】cm，cm（它也是中上的高）。四棱錐的體積為。22.【2012高考真題安徽理12】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是．【答案】92【命題立意】本題考查空間幾何體的三視圖以及表面積的求法?！窘馕觥吭搸缀误w是底面是直角梯形，高為的直四棱柱，幾何體的表面積是．23.【2012高考真題天津理10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3.【答案】【解析】根據(jù)三視圖可知，這是一個(gè)上面為長(zhǎng)方體，下面有兩個(gè)直徑為3的球構(gòu)成的組合體，兩個(gè)球的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，所以該幾何體的體積為。24.【2012高考真題全國(guó)卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1【答案】【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，且所以，所以，，，設(shè)異面直線的夾角為，所以.三、解答題25.【2012高考真題廣東理18】（本小題滿分13分）如圖5所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．證明：BD⊥平面PAC；若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；【答案】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面垂直的證明、二面角的求解等問題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理論證能力.26.【2012高考真題遼寧理18】(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱，，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)。(Ⅰ)證明：∥平面;(Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，難度適中。第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行來證明。27.【2012高考真題湖北理19】（本小題滿分12分）如圖1，，，過動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．（Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。瓺DABCACDB圖2圖1ME.·第19題圖【答案】（Ⅰ）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．由，知，△為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如圖2），，，且，所以平面．又，所以．于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)，即時(shí),三棱錐的體積最大．解法2：同解法1，得．令，由，且，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大．（Ⅱ）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系．由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．于是可得，，，，，，且．設(shè)，則.因?yàn)榈葍r(jià)于，即，故，.所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由及，得可?。O(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得，即．CCADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN圖cBDPCFNEBGMNEH圖d第19題解答圖N故與平面所成角的大小為解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥.由（Ⅰ）知平面，所以平面.如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形，所以.取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥，所以.因?yàn)槠矫?，又面，所?又，所以面.又面，所以.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)），．連接，，由計(jì)算得，所以△與△是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，，則平面．在平面中，過點(diǎn)作于，則平面．故是與平面所成的角．在△中，易得，所以△是正三角形，故，即與平面所成角的大小為28.【2012高考真題新課標(biāo)理19】（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求二面角的大小.【答案】（1）在中，得：同理：得：面（2）面取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，面面面得：點(diǎn)與點(diǎn)重合且是二面角的平面角設(shè)，則，既二面角的大小為29.【2012高考江蘇16】（14分）不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)．求證：（1）平面平面；（2）直線平面．【答案】證明：（1）∵平面。又∵平面，。又∵平面，平面。又∵平面，平面平面。（2）∵為的中點(diǎn)，。又∵平面，且平面，。又∵平面，，平面。由（1）知，平面，∥。又∵平面平面，直線平面【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系?！窘馕觥浚?）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知證得。（2）要證直線平面，只要證∥平面上的即可。30.【2012高考真題四川理19】(本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐中，，，，平面平面。（Ⅰ）求直線與平面所成角的大??；（Ⅱ）求二面角的大小?！敬鸢浮勘绢}主要考查直線與平面的位置關(guān)系，線面角的概念，二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問題的能力.31.【2012高考真題福建理18】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長(zhǎng).【答案】本題主要考查立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及二面角的概念與求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、基本運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.32.【2012高考真題北京理16】（本小題共14分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖(I)求證：A1C⊥平面BCDE(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，，，∴,設(shè)平面法向量為則∴∴∴又∵∴∴，∴與平面所成角的大小。（3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則則，設(shè)平面法向量為，則∴∴。假設(shè)平面與平面垂直，則，∴，，，∵，∴不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直。33.【2012高考真題浙江理20】(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【命題立意】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，二面角所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力?！敬鸢浮?Ⅰ)如圖連接BD．∵M(jìn)，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如圖建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，N(，0，0)，C(，3，0)．設(shè)Q(x，y，z)，則．∵，∴．由，得：．即：．對(duì)于平面AMN：設(shè)其法向量為．∵．則．∴．同理對(duì)于平面AMN得其法向量為．記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為，則．∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為．34.【2012高考真題重慶理19】（本小題滿分12分如圖，在直三棱柱中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面的距離;（Ⅱ）若求二面角的平面角的余弦值.【答案】【命題立意】本題考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，考查線面垂直關(guān)系、二面角的求法以及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.35.【2012高考真題江西理20】（本題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。（1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB1C（2）求平面A1B1C與平面BB1C【答案】【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力.高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明；二、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問，第3種考查多出現(xiàn)在第2問；對(duì)于角度問題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法.36.【2012高考真題安徽理18】（本小題滿分12分）平面圖形如圖4所示，其中是矩形，，，?，F(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊，使與所在平面都與平面垂直，再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形，對(duì)此空間圖形解答下列問題。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的長(zhǎng)；（Ⅲ）求二面角的余弦值?！敬鸢浮勘绢}考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)化，空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定?？臻g線段長(zhǎng)度和空間角的余弦值的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和求解能力。【解析】(綜合法)（=1\*ROMANI）取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則，面面面，同理：面得：共面，又面。（Ⅱ）延長(zhǎng)到，使，得：，，面面面面，。（Ⅲ）是二面角的平面角。在中，，在中，，得：二面角的余弦值為。37.【2012高考真題上海理19】（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，，，求：（1）三角形的面積；（2）異面直線與所成的角的大小?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，又∵，CD=2，∴△PCD的面積為。（2）解法一：取PB的中點(diǎn)F，連接EF,AF,則EF∥BC，∴∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角。在△ADF中，EF=、AF=,AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴異面直線BC與AE所成的角大小為。解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0),C(2，,0),E(1，,1)， ∴=(1，,1)，=(0,,0),設(shè)與的夾角為，則=,,又∵0＜≤，∴=?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力．綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時(shí)考查空間幾何體的體積公式的運(yùn)用.本題源于《必修2》立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重課本，容易出現(xiàn)找錯(cuò)角的情況，要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題．38.【2012