隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日而且在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

和抽象自與平均值的偏差程度的方差.平均壽命越長(zhǎng),燈泡的質(zhì)量就越好,主要應(yīng)看這批燈泡的平均壽命和燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差,但在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望

我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.評(píng)定一批燈泡的質(zhì)量,燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差越小,燈泡的質(zhì)量就越穩(wěn)定第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日抽象出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是概率論中最重要的概念之一.它的定義來(lái)自習(xí)慣上的平均值概念.我們從離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望開(kāi)始.§1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入：例1甲班有30名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)考試成績(jī)(按五級(jí)記分)如右表所示,則該班的平均成績(jī)成績(jī)

12345人數(shù)頻率

251085

2/

30

5/

30

10/

30

8/

305/

30平均值

===以頻率為權(quán)的加權(quán)平均改以頻率為權(quán)的加權(quán)平均頻率和概率的關(guān)系以概率為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)學(xué)期望試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),頻率會(huì)接近于概率pk第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的和如果收斂,定義1(P111定義1)

設(shè)離散型隨機(jī)變量X

的分布列是

P(X=xi)=pi

,i=1,2,…則稱為

X的數(shù)學(xué)期望(期望)記為.設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,或均值,例2

從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站的途中有3個(gè)交通崗,試求途中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)

X

為遇到的紅燈數(shù),則

X的分布列為0123Xpk7/12554/12536/1258/125其概率為2/5,它是隨機(jī)變量所有取值的以概率為權(quán)的加權(quán)平均第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日在數(shù)軸上任取很密的分點(diǎn)x1<

x2<

x3<…,則

X落在小區(qū)間[xk,xk+xk)內(nèi)的概率是設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度為

f(x),由于xk與xk+xk很接近,所以區(qū)間[xk,xk+xk)中的值可以用

xk來(lái)近似代替.因此X≈

取值

xk、概率為的離散型隨機(jī)變量,它的數(shù)學(xué)期望是的積分和式這啟發(fā)我們引進(jìn)如下連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：定義2(P112定義2)設(shè)

X

是連續(xù)型隨機(jī)變量,

其密度函數(shù)為f(x),若收斂,則稱為

X

的數(shù)學(xué)期望，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分小面積近似為簡(jiǎn)稱期望或均值.

x1

x2

…

xk

…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk

…

f

(

x)

x二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例3

設(shè)隨機(jī)變量X密度為其中

a

,

是常數(shù),且

>

0，求E(X).解物理力學(xué)解釋：設(shè)有一個(gè)總質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)系分布在x軸上，——各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置為各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為——連續(xù)分布著，其線密度為f(

x

)總質(zhì)量則X的數(shù)學(xué)期望與總質(zhì)量之比為仍為EX質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)這表明EX可以視為X的取值中心的坐標(biāo)拉普拉斯分布第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例4(P113

例9)設(shè)隨機(jī)變量X密度為試證E(X)不存在.解柯西分布=+,∴

E(X)不存在.不絕對(duì)收斂第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

這意味著,若從該地區(qū)抽查很多個(gè)成年男子,分別測(cè)量他們的身高，若X~U(a,

b),則若X~N(,2),則若X~P(),則已學(xué)過(guò)的重要分布的數(shù)學(xué)期望：由期望的定義不難算得

例已知某地區(qū)成年男子身高X~N(1.68,2),那么,這些身高平均值的近似是1.68.若X~B(n,p),則EX=np

.

若X~E(

),則

EX=1/

，第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日如果收斂,一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望定義把

E[g(X)]計(jì)算出來(lái).它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái)

.設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一種方法是:下面的定理指出答案是肯定的.類似EX的推理，可建立如下的定理:

定理1(P114

定理1)

設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的連續(xù)函數(shù)Y=g(X),比較復(fù)雜(1)設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,…,是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X

的分布求得E[g(X)]呢？(2)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為

f(x),如果收斂,則則如何計(jì)算

X

的某個(gè)函數(shù)

g(X)

的期望？g(X)也是隨機(jī)變量,第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日其中k是正整數(shù).將g(X)特殊化，可得到多種其他的數(shù)字特征:——k

階原點(diǎn)距，——k

階中心距，——k

階絕對(duì)原點(diǎn)距，——k

階絕對(duì)中心距，由此公式求E[g(X)]時(shí),甚至不必知道g(X)的分布,直接利用X的分布就可以了.推廣設(shè)隨機(jī)變量Z是隨機(jī)變量X,Y的連續(xù)函數(shù)Y=g(X,Y),則聯(lián)合分布列聯(lián)合密度絕對(duì)收斂這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日=

0.

1+

0.

2+

0.

4

+

0.

3例5

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為pkX

-10120.10.

20.40.3求E(2X-

1),E(X

2).解E(2X

-1)例6(P116例12)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

求EX,E(XY).解EXE(XY)=1.4;第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日1.=C;四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)——————定理3(P.117)設(shè)C是常數(shù)，則EC常數(shù)C——只取一個(gè)可能值C的隨機(jī)變量X,概率為1,∴

EX=C×1=C.2.若C是常數(shù)，則E(CX

)=CEX;3.E(X1+X2)=EX1+EX2

;保線性運(yùn)算設(shè)X,Y獨(dú)立，則4.E(XY

)=EX

EY;5.若X0,則EX

0;

若

X1

X2,則EX1

EX2

;反之未必成立:E(XY)=E(X

)E(Y)X,Y獨(dú)立保序性X1-

X20

E(X1-

X2

)

0EX1-

EX2

0

6.|EX|

E|X|;7.若EX

2,EY

2

都存在,則E(XY)存在,且[E(XY)]2

EX

2EY2.柯西—許瓦茲不等式積分的絕對(duì)值≤絕對(duì)值的積分絕對(duì)值性質(zhì)第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)每次命中率為p,例8對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊,直到命中n次為止.五、期望及其性質(zhì)的應(yīng)用求消耗子彈數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)

Xi表示從第

i–1

次命中后至第i次命中時(shí)所消耗的子彈數(shù)，則X=X1+X2+…+Xn

,且Xi的分布列為

P(Xi=k)=(1-p)k-1p,這種將

X

分解為有限多個(gè)隨機(jī)變量之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望的方法是較常見(jiàn)的基本方法.P119例15第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日而商場(chǎng)每銷售一單位商品可獲利500元,若供大于求,則削價(jià)處理,

每單位商品虧損100元;例7(P114

例11)某種商品每周的需求量

X～U[10,30],若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每單位商品可獲利300元.要使商場(chǎng)獲得最大的收益,問(wèn)應(yīng)進(jìn)貨多少?解設(shè)應(yīng)進(jìn)貨量為a(

10至

30

間的某一整數(shù)),利潤(rùn)為Y,則連續(xù)故當(dāng)a=23.33時(shí),

EY

最大,故應(yīng)進(jìn)貨

23噸.第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日為了補(bǔ)償乙的不利地位,另行規(guī)定兩人下的賭注不相等,設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲，解設(shè)甲贏的錢(qián)數(shù)為X，乙贏的錢(qián)數(shù)為Y，

依題意EX

=bp+(-a)q,EY=aq+(-b)p.為對(duì)雙方公正,應(yīng)有bp-aq=aq-bp,例9假定游戲的規(guī)則不公正,以致兩人獲勝的概率不等，甲為a,乙為b,a>b.現(xiàn)在的問(wèn)題是：a究竟應(yīng)比b大多少,才能做到公正？甲為p,乙為q，p>q,p+q

=1.EX

=

EY第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日如經(jīng)營(yíng)工藝品,風(fēng)險(xiǎn)小但獲利少(95％會(huì)賺,但利潤(rùn)為1000元)．?dāng)?shù)學(xué)家可以從期望值來(lái)觀察風(fēng)險(xiǎn)，分析風(fēng)險(xiǎn)，以便作出正確的決策來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)．例如,一個(gè)體戶有資金一筆,想經(jīng)營(yíng)西瓜,于是計(jì)算期望值：若經(jīng)營(yíng)西瓜的期望值E1=0.7×2000=1400元,而經(jīng)營(yíng)工藝品的期望值E2=

0.95×1000=950元.所以權(quán)衡下來(lái)情愿“搏一記”去經(jīng)營(yíng)西瓜,因它的期望值高.該如何決策？期望與風(fēng)險(xiǎn)并存風(fēng)險(xiǎn)大但利潤(rùn)高(成功的概率為0.7,獲利2000元),第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.小結(jié)·保線性運(yùn)算七條性質(zhì):·獨(dú)立性與積·保序性

·絕對(duì)值性質(zhì)·柯西—許瓦茲不等式

[E(XY

)]2

EX

2EY2第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日§2隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差上節(jié)的例1甲班有30名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)考試成績(jī)(按五級(jí)記分)如右表所示,成績(jī)

12345人數(shù)

251085成績(jī)

12345人數(shù)

001460乙班有20名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缬冶硭?則該班的平均成績(jī)也是你認(rèn)為兩個(gè)班的成績(jī)一樣嗎?為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的我們已經(jīng)介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,它體現(xiàn)的是隨機(jī)變量取值的平均水平,是隨機(jī)變量的一個(gè)重要數(shù)字特征.但很多場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.則該班的平均成績(jī)第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日則稱其為

X的方差,采用平方是為了保證一切差值X

-E(X)都起正面的作用

方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，即DX=E[X-EX]2

一、方差的定義記為DX,

它與

X

具有相同的量綱在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中,則方差較??；反之,則方差較大.由定義知,方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-EX]2的數(shù)學(xué)期望.甲乙兩個(gè)班的平均成績(jī)都是

3.3,若E(X-EX

)2

<∞，第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例1甲、乙兩人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等.設(shè)兩人的次品率分別為X和Y,若X與Y的分布列分別為Xpk0126/101/103/10Ypk0125/103/102/10試對(duì)甲乙兩人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.解∵EX=EY,DX>DY,∴兩人技術(shù)水平相當(dāng),但乙的技術(shù)比甲穩(wěn)定.第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

DX=EX

2

-(EX)2

展開(kāi)

DX=E(X-EX)2=E[X

2-

2XEX+(EX)2]=EX2

-2(EX)2+(EX)2=EX

2

-(EX)2利用期望性質(zhì)常見(jiàn)分布的方差：計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式若X

~

B(n,p),則

DX=np(1-p)

.

若X~P(),則若X~U(a,

b),則若X~N(,2),則若X的取值比較集中則方差較小標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)若X~E(

),則

DX=1/2

第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日P(X

=k)

=p(1-p)k-1,k=1,2,…,n

其中0<p<1,求DX.解記q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式例2(P.122例8)設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布,概率函數(shù)為+E(X)∴DX=EX

2

-(EX)2

例3連續(xù)型隨機(jī)變量的例子請(qǐng)自讀k

2=k(k-1+1)第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)隨機(jī)變量X有期望和方差，由切比雪夫不等式可看出：DX越小,則事件{|X-EX|<

}的概率越大,或由此可體會(huì)方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度二、切比雪夫不等式——定理4(P.122)則>

0,證(僅就連續(xù)的情形給出證明)則>

0,設(shè)X的密度函數(shù)為f

(

x),即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.在未知分布的情形下估計(jì)P(|X-EX|<

)第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)方差已知時(shí),切比雪夫不等式給出了隨機(jī)變量X與它的期望的偏差不小于

的概率的估計(jì)式.切比雪夫不等式可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差

2存在，則隨機(jī)變量X取值偏離EX超過(guò)3的概率小于0.111.設(shè)并取——在未知分布的情形下估計(jì)P(|X-EX|<

)第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日則一周產(chǎn)量在40—60之間的概率至少有多大？例4已知某廠的周產(chǎn)量是均值為

50

的隨機(jī)變量，若已知周產(chǎn)量的方差為

25，解設(shè)X為周產(chǎn)量，由切比雪夫不等式知:則一周產(chǎn)量在40—60之間的概率至少有3/4.第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日利用切比雪夫不等式求：n多大時(shí),才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件

A

出現(xiàn)的頻率在0.74~

0.76之間的概率至少為0.90?解設(shè)

X

為

n

次試驗(yàn)中事件

A

出現(xiàn)的次數(shù)，EX=0.75n,的最小的n.則X

~

B(n,0.75),所求為滿足DX=0.75×0.25n

=0.1875n,例5在每次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為0.75,=P(0.74n<X<0.76n

)=P(-0.01n<X

-

0.75

n<0.01n)=P(X-EX<0.01n)=P(X-EX<0.01n)依題意取解得即n取18750時(shí),可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.在切比雪夫不等式中取0.

01n，第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日=E(X-

EX)2+2E[(X-

EX)(Y-

EY)]+E(Y-

EY)2(X-

EX)(Y-

EY)獨(dú)立=

E(X-

EX)E(Y-

EY)=

(EX-

EX)(EY-

EY)=E[(X-

EX)+(Y-

EY)]2(1)則D(C)=0

;D(X+Y)=E[(X

+Y)-E(X+Y)]21

0xP(X=x)C不獨(dú)立時(shí)D(X

+Y

)=？三、方差的性質(zhì)常值的方差為0=E(C

-

C

)2=0.

DC=E[C-EC]2=C

2[E(X

2)-(EX)2]D(CX)=E(C

2X

2)-[E(CX)]2=E[(X-

EX)2

+2(X-

EX)(Y-

EY)+(Y-

EY)2]=0下面舉例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用=C

2DX.若C是常數(shù),——定理5(P123)=E(C-C)2=0;若C是常數(shù),D(CX)

DX=E(X-EX)2(2)則

=C

2

DX;E[]=DX

+

DY.