數(shù)學(xué)教案－簡單的線性規(guī)劃（一）3篇數(shù)學(xué)教案－簡單的線性規(guī)劃（一）1一、教學(xué)目標(biāo)：

1、了解線性規(guī)劃的基本概念及解法；

2、能夠通過圖像或計(jì)算求解簡單的線性規(guī)劃問題；

3、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思維分析問題的能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

1、理解線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)、約束條件、可行域等概念；

2、掌握用圖像或計(jì)算法求解線性規(guī)劃問題的方法。

三、教學(xué)過程：

1、引入：

"有限的資源如何分配能夠取得最優(yōu)收益？"這是一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常面對(duì)的問題。在數(shù)學(xué)中，我們可以把這個(gè)問題用數(shù)學(xué)變量和符號(hào)來表示，這就是線性規(guī)劃。

2、概念：

線性規(guī)劃是指在一定的限制條件下，使某一目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小或最大值的問題。其中的限制條件是線性的，也就是服從線性方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

3、圖形表示：

先看下面這個(gè)問題：一個(gè)人工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品X和Y。制造X產(chǎn)品需要2個(gè)單位的原材料和1個(gè)單位的人力；制造Y產(chǎn)品需要1個(gè)單位的原材料和3個(gè)單位的人力。生產(chǎn)X產(chǎn)品的利潤是每個(gè)單位10美元，生產(chǎn)Y產(chǎn)品的利潤是每個(gè)單位20美元。如果現(xiàn)在只有20個(gè)單位的原材料和16個(gè)單位的人力，問應(yīng)該生產(chǎn)多少單位的X產(chǎn)品和Y產(chǎn)品，才能獲得最大的利潤？

對(duì)于這個(gè)問題，我們可以構(gòu)建一個(gè)線性規(guī)劃模型，其中目標(biāo)函數(shù)為最大化利潤，約束條件則為限制原材料和人力的數(shù)量?？梢杂孟旅娴墓奖硎荆?/p>

F=10X+20Y

約束條件：

2X+Y≤20

X+3Y≤16

X≥0

Y≥0

然后我們可以把約束條件和目標(biāo)函數(shù)的等式用平面坐標(biāo)系表示出來，然后再沿著坐標(biāo)系求解最大值。

這里通過解釋、畫圖等方式熟悉學(xué)生對(duì)線性規(guī)劃的基本概念

4、計(jì)算求解：

我們也可以利用線性規(guī)劃的計(jì)算方法，來求解這個(gè)問題。

將目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化成矩陣形式：

?1020??X??P?

?21?X?Y?=?0?

X≥0Y≥0

使用單純形法（SimplexAlgorithm）處理線性規(guī)劃問題。

這里是直接算出結(jié)果給學(xué)生熟悉單純形法的計(jì)算過程。

5、練習(xí)：

預(yù)先出幾道類似線性規(guī)劃的問題供學(xué)生練習(xí)。

四、總結(jié)與作業(yè)

1、總結(jié)：

本節(jié)課通過講解線性規(guī)劃的基本概念，以及解題的圖形方法和算法方法，為學(xué)生提供了一個(gè)基礎(chǔ)的線性規(guī)劃解題思路。

2、作業(yè)：

①用圖形法解下列線性規(guī)劃：

目標(biāo)函數(shù)：F=4X+5Y

約束條件：

X+Y≤4

2X+Y≤8

X≥0，Y≥0

②用單純形法求解上面的線性規(guī)劃問題。

③請(qǐng)自己設(shè)定一個(gè)簡單的線性規(guī)劃問題，并用圖形法或計(jì)算法來求解。數(shù)學(xué)教案－簡單的線性規(guī)劃（一）2教案名稱：線性規(guī)劃（一）

適用年級(jí)：高中

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解線性規(guī)劃的基本概念；

2.能夠構(gòu)建線性規(guī)劃問題；

3.掌握使用圖形法求解線性規(guī)劃問題。

前置知識(shí)：

1.代數(shù)式和方程的基本操作；

2.數(shù)學(xué)函數(shù)和函數(shù)圖像的基本知識(shí)。

引入：

小明做班級(jí)運(yùn)動(dòng)會(huì)的決賽項(xiàng)目，需要選擇兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目參加，他希望最大限度地發(fā)揮自己的能力和取得最好的成績。但時(shí)間和個(gè)人能力有限，他必須在兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之間進(jìn)行權(quán)衡和選擇。如果他以最高的效率選擇兩項(xiàng)項(xiàng)目，該如何確定選擇哪兩項(xiàng)呢？本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)一種方法——線性規(guī)劃。

1.線性規(guī)劃的基本概念

線性規(guī)劃（LinearProgramming,簡稱LP）是一種優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法。該方法能對(duì)具有線性約束條件的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化求解。

線性規(guī)劃的一般形式為：

$$\begin{aligned}&\max/\minz=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}\\&s.t.\\&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\leqb_{1}\\&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}\leqb_{2}\\&\qquad\vdots\\&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}\leqb_{m}\\&x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq0\end{aligned}$$

其中，$x_{1},x_{2},...,x_{n}$是決策變量；$z$是目標(biāo)函數(shù)，表示待優(yōu)化的目標(biāo)；$c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}$是目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)；$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\leqb_{1}$等式是約束條件。約束條件包括$m$個(gè)式子，$m$表示約束條件的數(shù)目，$n$表示決策變量的數(shù)目。$b_{1}$等表示約束條件的值，通常是一個(gè)實(shí)數(shù)。

2.線性規(guī)劃問題的構(gòu)建

以小明的情況為例，如果他要在足球和籃球這兩個(gè)項(xiàng)目中選擇，那么他需要了解自己在這兩個(gè)項(xiàng)目中能達(dá)到的最高成績，以及在這兩個(gè)項(xiàng)目中所需的時(shí)間量。這些信息可以被表示為下面的表格：

|運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目|成績|時(shí)間|

|---|---|---|

|足球|90|3|

|籃球|80|2|

假設(shè)小明在決賽之前有$15$個(gè)小時(shí)的時(shí)間，他需要在這兩個(gè)項(xiàng)目中合理安排，以獲得最高分?jǐn)?shù)。我們可以根據(jù)這些信息建立一個(gè)線性規(guī)劃問題，其中：

目標(biāo)函數(shù)：$z=90x_{1}+80x_{2}$

約束條件：

$x_{1}+x_{2}\leq15$（時(shí)間約束）

$x_{1},x_{2}\geq0$（非負(fù)約束）

其中，$x_{1}$表示小明在足球項(xiàng)目中花費(fèi)的時(shí)間，$x_{2}$表示小明在籃球項(xiàng)目中花費(fèi)的時(shí)間。

3.使用圖形法求解線性規(guī)劃問題

我們可以將上述線性規(guī)劃問題表示為一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)：以$x_{1}$軸為橫坐標(biāo)軸，以$x_{2}$軸為縱坐標(biāo)軸，將目標(biāo)函數(shù)$z$繪制在坐標(biāo)系上，然后根據(jù)約束條件，找出可行域，即一系列滿足所有約束條件的點(diǎn)。接著，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域上的最大值或最小值所在的點(diǎn)，即為問題的解。

過程：

首先，繪制出坐標(biāo)系和目標(biāo)函數(shù)$z=90x_{1}+80x_{2}$的圖像。


接下來，根據(jù)約束條件$x_{1}+x_{2}\leq15$，確定可行域。由于$x_{1}$和$x_{2}$必須為非負(fù)數(shù)，而此題中沒有其它限制條件，所以可行域是$x_{1}+x_{2}\leq15$與$x_{1},x_{2}\geq0$所構(gòu)成的三角形區(qū)域。(如圖）


最后，在可行域上尋找$z$值最大的點(diǎn)，并確定其對(duì)應(yīng)的$x_{1}$和$x_{2}$，即為問題的解。通過觀察圖像可以得到，在三角形的右下角處$z$取得最大值。因此，小明選擇$x_{1}=9$小時(shí)的足球和$x_{2}=6$小時(shí)的籃球，能獲得的最高成績?yōu)?z=90\times9+80\times6=1410$分。

總結(jié)：

線性規(guī)劃是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它可以用于求解優(yōu)化問題，廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)、物流、金融、運(yùn)輸、投資等領(lǐng)域。學(xué)生可以通過練習(xí)和實(shí)際問題的解決來提高他們的線性規(guī)劃技能。我們?cè)趯?shí)際問題中應(yīng)用線性規(guī)劃方法時(shí)，需要先確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，然后通過圖形法或其他方法求解問題。數(shù)學(xué)教案－簡單的線性規(guī)劃（一）3一、教學(xué)基本情況

1.教學(xué)目的

本節(jié)課以簡單的線性規(guī)劃為例，介紹線性規(guī)劃的基本概念、模型、解法及應(yīng)用，力求培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

2.教學(xué)對(duì)象及要求

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象為高中數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)要求除對(duì)線性規(guī)劃及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解外，還要求學(xué)生掌握求解線性規(guī)劃的方法，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

3.教學(xué)內(nèi)容及流程

本節(jié)課的主要內(nèi)容包括線性規(guī)劃的基本概念、模型、解法及應(yīng)用。教學(xué)流程分為四步：

第一步：引入問題

本節(jié)課以一個(gè)簡單的例子來引入問題：

某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品A每件需要制造5個(gè)配件，產(chǎn)品B每件需要制造3個(gè)配件，生產(chǎn)A產(chǎn)品每件可賣100元，生產(chǎn)B產(chǎn)品每件可賣80元。工廠每天可制造2個(gè)A產(chǎn)品和3個(gè)B產(chǎn)品，可制造的配件數(shù)量是無限多個(gè)。問工廠數(shù)量如何安排收益最大？

第二步：概念解釋

解釋線性規(guī)劃的基本概念，包括：

約束條件：由生產(chǎn)工藝、資源、市場等因素導(dǎo)致的制造數(shù)量、產(chǎn)量等限制條件。

目標(biāo)函數(shù)：對(duì)所生產(chǎn)物品質(zhì)量、銷售額等要求在整個(gè)方案范圍內(nèi)最優(yōu)化的表達(dá)式。

可行解和最優(yōu)解：可行解是指滿足所有約束條件的解，最優(yōu)解是指在滿足所有約束條件的情況下，目標(biāo)函數(shù)最大（或最?。┑目尚薪狻?/p>

第三步：建立模型

在問題中，我們需要將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，具體步驟如下：

（1）確定目標(biāo)函數(shù)

設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品的數(shù)量為x1，生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量為x2，則可得目標(biāo)函數(shù)：

F=100x1+80x2

（2）確定約束條件

a.配件數(shù)量的約束條件：5x1+3x2<=N（N為可生產(chǎn)的配件數(shù)）

b.限制每天工廠可制造的A產(chǎn)品和B產(chǎn)品數(shù)量：x1<=2,x2<=3

（3）轉(zhuǎn)化模型

將線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型：

F=100x1+80x2

5x1+3x2<=N

x1<=2

x2<=3

x1,x2>=0

第四步：求解與應(yīng)用

（1）圖形表示法

繪制出目標(biāo)函數(shù)的圖像，以此確定最優(yōu)解。

（2）單純形法

單純形法是解決線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)方法之一，它基于連續(xù)優(yōu)化理論，通過對(duì)線性規(guī)劃模型進(jìn)行線性運(yùn)算，尋找可行解和最優(yōu)解。

（3）應(yīng)用

在教學(xué)案例中，學(xué)生需要理解標(biāo)準(zhǔn)型表示的含義、圖形表示法及單純形法的計(jì)算步驟，嘗試解答由其他領(lǐng)域（生產(chǎn)、銷售、運(yùn)輸?shù)龋┨岢龅木€性規(guī)劃問題。

二、教學(xué)方法

1.闡述教學(xué)法：通過對(duì)教材、輔導(dǎo)資料等的分析、梳理和歸納，系統(tǒng)闡述和總結(jié)課程重點(diǎn)和難點(diǎn)，注重學(xué)生知識(shí)積累和思維習(xí)慣的培養(yǎng)，降低學(xué)習(xí)焦慮度，提高學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

2.實(shí)驗(yàn)教學(xué)法：通過實(shí)例演示引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用能力，使理論與實(shí)踐更貼近。

3.互動(dòng)教學(xué)法：既注重師生間的互動(dòng)交流，也重視學(xué)生間的互動(dòng)合作，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

4.評(píng)價(jià)教學(xué)法：在教學(xué)過程中，不斷對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況進(jìn)行評(píng)估和檢查，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和糾正不足，進(jìn)一步完善和激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：