2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題06數(shù)列解答題1．(2022年全國(guó)甲卷理科·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．2．(2022新高考全國(guó)II卷·第17題)已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．3．(2022新高考全國(guó)I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．4．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第17題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的n的最小值．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前20項(xiàng)和．6．(2020年新高考I卷(山東卷)·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．7．(2020新高考II卷(海南卷)·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求通項(xiàng)公式；(2)求．8．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第19題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式．9．(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第18題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．10．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第17題)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．(1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．12．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第19題)已知數(shù)列和滿足，，，．證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；求和的通項(xiàng)公式．13．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第17題)(12分)等比數(shù)列中，，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，若，求．(1)或；(2)14．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第17題)(12分)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最小值．15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,其中.(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求.16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第17題)(本題滿分12分)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如．(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)求數(shù)列的前1000項(xiàng)和．17．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第17題)(本小題滿分12分)為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式：(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和18．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第17題)(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足=1，．(Ⅰ)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)證明：19．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第17題)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,其中為常數(shù)．(1)證明:;(2)是否存在,使得為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由．2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題06數(shù)列解答題1．(2022年全國(guó)甲卷理科·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析：；(2)．解析：(1)解：因?yàn)椋储?，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．(2)解：由(1)可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2022年全國(guó)甲卷理科·第17題2．(2022新高考全國(guó)II卷·第17題)已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．解析：(1)設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．由(1)知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)II卷·第17題3．(2022新高考全國(guó)I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析解析：(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；(2)∴【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)I卷·第17題4．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第17題)記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的n的最小值．【答案】解析:(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第17題5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題)已知數(shù)列滿足，(1)記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前20項(xiàng)和．【答案】；．解析:(1)由題設(shè)可得又，，故即即所以為等差數(shù)列，故．(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，所以．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2021年新高考Ⅰ卷·第17題6．(2020年新高考I卷(山東卷)·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．解析：(1)由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)．所以．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2020年新高考I卷(山東卷)·第18題7．(2020新高考II卷(海南卷)·第18題)已知公比大于的等比數(shù)列滿足．(1)求通項(xiàng)公式；(2)求．【答案】(1)；(2)解析：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．(2)由于：，故：．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2020新高考II卷(海南卷)·第18題8．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第19題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．解析：(1)由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;(2)由(1)可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的前n項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系，其中由,得到，進(jìn)而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項(xiàng)和，積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和(積)得到項(xiàng)(或項(xiàng)的遞推關(guān)系)，或者消項(xiàng)得到和(積)的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)乙卷理科·第19題9．(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第18題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見(jiàn)解析解析：選①②作條件證明③：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，所以．選①③作條件證明②：因?yàn)椋堑炔顢?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)?，所以是等差?shù)列．選②③作條件證明①：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)椋?，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去．綜上可知為等差數(shù)列．【點(diǎn)睛】這類(lèi)題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項(xiàng)法．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)甲卷理科·第18題10．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第17題)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；(2)設(shè)前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第17題11．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．(1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】(1)，，，證明見(jiàn)解析；(2)．解析：(1)由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立．那么時(shí)，也成立．則對(duì)任意的，都有成立；(2)由(1)可知，，①，②由①②得：，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題12．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第19題)已知數(shù)列和滿足，，，．證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；求和的通項(xiàng)公式．【答案】見(jiàn)解析；，.【官方解析】由題設(shè)得，即．又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．由知，，．所以，．【分析】可通過(guò)題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；可通過(guò)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.【解析】由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，因?yàn)椋?，?shù)列是首項(xiàng)、公差為等差數(shù)列，.由可知，，，所以，.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)數(shù)列的綜合應(yīng)用\數(shù)列的綜合問(wèn)題【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第19題13．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第17題)(12分)等比數(shù)列中，，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，若，求．(1)或；(2)【答案】【官方解析】(1)設(shè)的公比為，由題設(shè)得由已知得，解得(舍去)，或故或(2)若，則，由，得，此方和沒(méi)有正整數(shù)解若，則，由，得，解得綜上，．【民間解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，所以所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，由即，即，所以；當(dāng)時(shí)，由即，即，無(wú)解綜上可知．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)等比數(shù)列\(zhòng)等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第17題14．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第17題)(12分)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最小值．【答案】解析：(1)設(shè)的公差為，由題意得．由得，所以的通項(xiàng)公式為．(2)由(1)得．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)等差數(shù)列\(zhòng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第17題15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,其中.(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意得,故,,.由,得,即.由,得,所以.因此是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)等比數(shù)列\(zhòng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第17題16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第17題)(本題滿分12分)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如．(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)求數(shù)列的前1000項(xiàng)和．【答案】(1)，，；(2)．【解析】(1)設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．，，．(2)因?yàn)樗詳?shù)列的前項(xiàng)和為．【題目欄目】數(shù)列\(zhòng)等差數(shù)列\(zhòng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第17題17．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第17題)(本小題滿分12分)為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式：(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)分析：(Ⅰ)先用數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫(xiě)出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法求其前項(xiàng)和．解析：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所?3，當(dāng)時(shí)，==，即，因?yàn)?，所?2，所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，=，所以數(shù)列{}前n項(xiàng)和為==．考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)