學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊學(xué)案：3.1.3第2課時(shí)函數(shù)的奇偶性（2）含解析第2課時(shí)函數(shù)的奇偶性（2）［課程目標(biāo)］1.會根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式;2。能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析，解決較簡單的問題．知識點(diǎn)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)［填一填］（1）奇函數(shù)f（x)在x＝0處有定義，則f(0）＝0。(2）在公共定義域上奇函數(shù)y＝f(x)與奇函數(shù)y＝g（x),則y＝f（x)＋g(x)為奇函數(shù)，可簡記為奇＋奇＝奇，類比上述結(jié)論，則有:奇－奇＝奇；偶＋偶＝偶，偶－偶＝偶；奇×奇＝偶;奇×偶＝奇;偶×偶＝偶．[答一答］函數(shù)y＝f（x)在x＝0處有定義，且f(0)＝0,則f(x）一定是奇函數(shù)嗎？提示：不一定，如f(x)＝x2，滿足f（0）＝0,但它是偶函數(shù).類型一利用奇偶性求函數(shù)值［例1]設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí),f(x)＝x2＋2x＋m（m為常數(shù))，則f(－3)＝________。[解析］因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),所以f（0）＝0，即m＝0,所以f(x）＝x2＋2x，故f（3）＝32＋2×3＝15，又f(x）為奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3）＝－15.［答案]－15本題中當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)解析式含參數(shù)m，因此需利用奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則f0＝0的性質(zhì)，求出m的值，然后根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求f－3的值.［變式訓(xùn)練1］已知函數(shù)f（x)＝eq\f（x＋2－a,x4＋3）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為2.解析：因?yàn)閒(x）的定義域?yàn)镽，且f（x)是奇函數(shù)，所在f（0）＝eq\f（2－a，3)＝0，所以a＝2，此時(shí)，f（x）＝eq\f(x，x4＋3）是奇函數(shù)，符合題意，故答案為2。類型二利用奇偶性求函數(shù)f（x）的解析式[例2］（1)已知f（x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x〉0時(shí),f（x）＝x2－2x－3，求f（x）的解析式；（2）已知f(x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí),f（x)＝x3＋x＋1，求f（x）的解析式．[解］(1)設(shè)x<0，則－x>0,所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.又因?yàn)閒(x）為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x），所以－f(x）＝x2＋2x－3，所以f（x）＝－x2－2x＋3（x〈0）．當(dāng)x＝0時(shí)，f(0）＝0,故f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x〉0，,0,x＝0，,－x2－2x＋3，x〈0。))(2）設(shè)x〉0，則－x<0，由題意知f(－x）＝(－x）3＋（－x）＋1＝－x3－x＋1。又因?yàn)閒(x）為偶函數(shù)，所以f（－x)＝f（x），所以f(x）＝－x3－x＋1（x>0)，故f(x)的解析式為f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x3＋x＋1，x≤0，,－x3－x＋1，x〉0。））利用函數(shù)奇偶性求解析式時(shí)的注意事項(xiàng)1求哪個(gè)區(qū)間上的解析式，就在哪個(gè)區(qū)間上取x；2然后要利用已知區(qū)間的解析式寫出f－x;3利用fx的奇偶性把f－x寫成－fx或fx，從而解出fx；，4要注意R上的奇函數(shù)定有f0＝0.，若是求整個(gè)定義域內(nèi)的解析式，各區(qū)間內(nèi)解析式不一樣時(shí)其結(jié)果一般為分段函數(shù)的形式,此點(diǎn)易忽略。［變式訓(xùn)練2]（1)已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x）＝x＋b,若f（－3)＝5,則x<0時(shí)函數(shù)解析式為f（x)＝x＋8;解析：因?yàn)閒（x)是奇函數(shù)，所以f（－3)＝－f(3）＝5.所以f(3)＝－5.又x>0時(shí)，f（x）＝x＋b，所以3＋b＝－5,所以b＝－8。所以x〉0時(shí)，f(x）＝x－8。設(shè)x<0，則－x〉0，即f(－x)＝－x－8.又f(x）是奇函數(shù),所以－f（x)＝－x－8，即f（x)＝x＋8.（2）已知函數(shù)f（x）是定義在（－∞,＋∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí),f（x)＝x－x2，則當(dāng)x∈(0，＋∞）時(shí)，f(x）＝－x－x2。解析:設(shè)x>0，則－x<0,所以f(－x)＝(－x）－（－x)2＝－x－x2，又因?yàn)閒（x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，故f(x）＝－x－x2。類型三函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合［例3]已知函數(shù)f(x）＝eq\f(ax＋b,1＋x2）是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)，且feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）)）＝eq\f（2,5）.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）用定義證明f（x）在（－1，1)上是增函數(shù)；(3)解關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式f（t－1)＋f（t）〈0.［解]（1)函數(shù)f（x）＝eq\f（ax＋b，1＋x2）是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)，所以f(0）＝0，得到b＝0。由于feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））＝eq\f(2,5)，所以eq\f（\f(1,2）a，1＋\f（1,4))＝eq\f（2,5)，解得a＝1。所以f（x）＝eq\f（x，1＋x2）.（2）證明:設(shè)－1〈x1〈x2〈1，則f(x2）－f(x1)＝eq\f（x2,1＋x\o\al（2，2)）－eq\f（x1，1＋x\o\al(2,1))＝eq\f（x2－x11－x1x2，1＋x\o\al（2，1）1＋x\o\al(2，2））。由于－1<x1〈x2<1，所以x2－x1>0，x1x2〈1,即1－x1x2>0.所以eq\f（x2－x11－x1x2,1＋x\o\al(2，1)1＋x\o\al(2,2)）〉0，即f(x2)－f(x1）>0,所以f(x)在（－1，1)上是增函數(shù)．(3)由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(t－1）＋f(t）<0，所以f（t－1)<－f（t)＝f(－t)．則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－1〈t－1<1，，－1<－t〈1，,t－1<－t。）)解得0〈t<eq\f(1，2）.所以不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（t\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0〈t〈\f(1，2)））)).eq\a\vs4\al(利用奇偶性與單調(diào)性解抽象不等式的四個(gè)步驟，1轉(zhuǎn)化:利用奇偶性轉(zhuǎn)化成fM>fN的形式。，2確定：確定函數(shù)的單調(diào)性。,3去“f"：去掉“f"，轉(zhuǎn)化為M〉N或M〈N的形式.,4求解:解不等式組。）［變式訓(xùn)練3]（1）定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,＋∞）上是增函數(shù)，若f（a）〈f（b），則一定可得（C)A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．|a｜〈｜b｜ D．0≤a〈b或a>b≥0解析：因?yàn)閒（x）＝f(｜x|)，所以由f（a）<f(b)得f（|a｜）<f(｜b｜)，又f(x）在［0，＋∞)上是增函數(shù)，所以｜a｜<｜b｜，選C。(2）奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù),在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為－1,則f（6)＋f(－3）的值為(C)A．10 B．－10C．9 D．15解析:由已知得,f（6)＝8,f(3)＝－1，又∵f(x）是奇函數(shù)，∴f(6）＋f(－3)＝f（6)－f（3)＝8－（－1)＝9，故選C.1．已知函數(shù)f（x)＝x2＋(2－m）x＋m2＋12為偶函數(shù)，則m的值是(C）A．4 B．3C．2 D．12．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(3）＝0，則使得f(x）>0的x的取值范圍是(D)A．(－∞，3)B．(－2,2）C．（－3,3)D．(－∞，－3)∪（3，＋∞)3．已知f（x）是偶函數(shù),當(dāng)x〈0時(shí)，f（x)＝x（x＋1），則當(dāng)x〉0時(shí)，f(x）等于（A）A．x（x－1） B．x（x＋1)C．－x(x－1) D．－x(x＋1)4．已知f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4