第一次月考考點示例南頭中學2023-2023學年第一學期第一次月考考點示例袁作生注意：第2頁，倒數(shù)第3行，答案修改為第6頁，第7題修改為數(shù)列的題型與方法比較多，必須多操練才能形成基本技能一．解三角形1．在中，，則的面積等于A．B． C． D．，所以選B2．在中,所對的邊分別為，若,則A．B．C． D．由正弦定理得，，故選C3．在中，，，則一定是A．等腰三角形B．等邊三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形由和條件得，故為等邊三角形，選B4．在中，，，則外接圓的直徑=，，注明：考查面積公式，余弦定理正弦定理（知道怎么計算圓的直徑嗎？）5．兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于,燈塔在觀察站的北偏東,燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（）A.B.C.D.三角形中，，，則，故選D6．已知的周長為若的面積為則角的度數(shù)為 A．B． C．D．由正弦定理和條件得，，所以，由，，，，故選C7．在中，分別為的對邊，若，則__8．在中，內(nèi)角對邊的長分別是，已知，。（1）若的面積等于，求；（2）若，求的面積。8.（1），，；（2），，9．某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東，距離為nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西，距離為nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東，求：（1）A處與D處之間的距離；（2）燈塔C與D處之間的距離.解（1）三角形ABD中，A=750，D=600，B=450，則（2）三角形ACD中，192二．等差與等比數(shù)列的概念1．已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，則在“（1）；（2）；（3）；（4）”這四個數(shù)列中，成等比數(shù)列的個數(shù)是A．B．C．D．解析（1）（為常數(shù)），故成等比數(shù)列；（2）（為常數(shù)），故成等比數(shù)列；（3）（為常數(shù)），故成等比數(shù)列；（4）舉反例：，不成等比數(shù)列．2．已知數(shù)列中，，，若，則A．B．C．D．是等差數(shù)列，3．數(shù)列中，，，則通項是等差數(shù)列，首項為，4．如果成等比數(shù)列，那么A． B．C．D．及與同號（為什么？）5．若等比數(shù)列中，，，則與的等比中項是．，，，則與的等比中項是6．設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖像上.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.解：（1）由條件，,即（2）為常數(shù)又，所以是等差數(shù)列-7．設(shè)是兩個等比數(shù)列，公比分別為，令，，試問數(shù)列是不是等比數(shù)列？解：是等比數(shù)列，這是因為（為常數(shù)）當時為等比數(shù)列，這是因為（為常數(shù)）當時，若為等比數(shù)列，則矛盾，故不為等比數(shù)列三．等差與等比數(shù)列的基本量1．若在等差數(shù)列中，，則通項公式=______________，2．在等比數(shù)列中，如果，則公比=，首項=，通項．，8，3．已知為等差數(shù)列，為的前項和，，則的值為A．B．C．D．思考1（用性質(zhì)）：；思考2（用基本量），4．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則A． B．C． D．思考：5．在等比數(shù)列中，已知，，，則A．B．C．D．6．在等比數(shù)列中，已知，，則___，_．，7．（1）在等差數(shù)列中，已知，求及.（2）在等比數(shù)列中，，求解：當時，，無解當時，解得，故注意對進行討論四．等差與等比數(shù)列的性質(zhì)1．類比是一個偉大的引路人。我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論，類似的得出等比數(shù)列的兩個結(jié)論：等差數(shù)列等比數(shù)列若，則數(shù)列為等差數(shù)列若，則數(shù)列為等比數(shù)列，，2．等比數(shù)列中，，，則___，又與同號（），3．已知為等比數(shù)列，且，那么又故4．在等差數(shù)列中，已知，那么A． B．C． D．思考（性質(zhì)）1：，思考（基本量）2：，5．在等比數(shù)列中，已知，那么A． B．C． D．思考（性質(zhì)）1：，思考（基本量）2：（仿4題做）6．在等差數(shù)列中，前項和為，，，則10，7．等差數(shù)列的前項和為，前項和為，則它的前的和為A．B． C． D．成等差數(shù)列，即得：8．在等比數(shù)列中，公比，且，則A．B． C． D．得：五．數(shù)列的性質(zhì)與最值1．若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則下列命題中是真命題的是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則所以2．等差數(shù)列中，是它的前項和之和，且，則①比數(shù)列的公差②一定小于③是各項中最大的一項④一定是中的最大值其中正確的是=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④（填入你認為正確的所有序號）由得：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③由=1\*GB3①得：是各項中最大的一項=4\*GB3④前七項為正數(shù)，第八項開始為負數(shù)3．已知為等差數(shù)列，，其前項和為，若，（1）求數(shù)列的通項；（2）求的最小值，并求出相應(yīng)的值.（1）得：，（2）令得：即數(shù)列前六項為負數(shù)，第七項開始為正數(shù)當時有最小值，最小值為六．數(shù)列的通項公式1．數(shù)列滿足，且，則等于 A．B． C． D．由得：，把以上式子相加得：所以2．已知數(shù)列，，，則的值為A．B．C．D．，，（差分法也可用下面的累加法）3．在數(shù)列中，，，則A． B．C． D．解：，，…，（累加也可用上面的差分法）4．已知數(shù)列滿足，當_________時，思考1：倒推法：，，思考2：設(shè)，由得，及知5．在數(shù)列中，，則等于_______.思考1（特殊到一般）：，猜想：思考2（轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列）等差，，6．數(shù)列的前項和為（）,則它的通項公式是_______.解題思路：（分段函數(shù)）7．若數(shù)列滿足，則此數(shù)列是A．等差數(shù)列B．等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列8．如果數(shù)列的前項和為，則這個數(shù)列的通項公式是A．B．C．D．把中的換成得，兩式相減得，等比，又，故解題規(guī)律：利用把含有遞推式問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，同學們把這種解決問題方法搞熟，如八的20題22題9．已知數(shù)列滿足.若，則_____________.解：由得兩式作差得)，由已知可得，，七．數(shù)列的求和（1）裂項相消1）；；2）3）4)（2）倒序相加（3）錯位相減（4）分組求和1．在數(shù)列中，且，則．用裂項相消法求和，2．求數(shù)列前項和，用裂項相消法求和求得3．用裂項相消法求和第項令得4．數(shù)列，，，，，……的前項和=思路（錯位相減法）兩式相減得5．已知數(shù)列中，前項和為，且點在直線上，則=A．B．C．D．解：在直線上，，是等差數(shù)列，又故，，下面用裂項相消法求和6．已知數(shù)列的，則=______7．_____倒序相加：設(shè)則8．如圖，在面積為1的正內(nèi)作正，使，，，依此類推，在正內(nèi)再作正，……。記正的面積為，則。設(shè)，則，由余弦定理可以計算出，故，可知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，說明：將實際問題抽象、概括為等差、等比數(shù)列問題，是數(shù)列這一章的基本要求類似問題如三角形數(shù)列、柯克島，謝爾賓斯基三角形（見課本）如（1．觀察下圖中黑色三角形的個數(shù)，按照這樣的規(guī)律，第個圖形中黑色三角形的個數(shù)是_____答案：2．如圖，將一個邊長為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）……試用表示出第個圖形的邊數(shù).答案：）9．（1）求和（個3）解：用分組求和法求和（2）求和思路（錯位相減法）兩式相減的（3）已知，求數(shù)列的前項和用分組求和法求和10．已知函數(shù)。（1）證明：（2）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)，恒成立，試求的最大值。解：（1）證明：……4分（2）解：由（1）可知，即……………6分……7分又……①……②①+②得……9分（3）解：……③對任意……④由③④得………11分………………12分所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。關(guān)于遞增，當，且時，。…13分由題意，即，所以的最大值為6。………………14分八．數(shù)列綜合題1．如圖是一個面積為的三角形，現(xiàn)進行如下操作.第一次操作：分別連結(jié)這個三角形三邊的中點，構(gòu)成個三角形，挖去中間一個三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標簽“”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時在挖去的個三角形上都貼上數(shù)字標簽“”；第三次操作：連結(jié)剩余的各三角形三邊的中點，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標簽“”；……，如此下去.記第次操作后剩余圖形的總面積為.①①②（1）求、；（2）欲使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問至少經(jīng)過多少次操作?（3）求第次操作后,挖去的所有三角形上所貼標簽上的數(shù)字和.1．（本小題滿分14分）（本小題主要考查等比數(shù)列、不等式及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）解：（1）求,……………（4分,每個2分）（2）因為是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,所以=…………（6分）由,得…………（7分）因為,所以當n=5時,……（8分）所以至少經(jīng)過5次操作,可使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的……（9分）（3）設(shè)第n次操作挖去個三角形,則｛｝是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,即……………（11分）所以所有三角形上所貼標簽上的數(shù)字的和=……（12分）則,兩式相減,得==,故=……………（14分）2．在等比數(shù)列中，，公比，，且是與的等比中項。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，當最大時，求的值.解：（1），又，所以由是與的等比中項，得，注意到，可求得，，（2），，當時，，當時，，，當時，故當或時，最大20．已知正整數(shù)列的前項和為,且對任意的正整數(shù)滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（）（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.（1）思考1：又知，所以，等差，思考2：，兩式相減得又，所以，數(shù)列等差，，（2）思考方法（裂項相消）：21．設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且解得，．所以，．----------------6分（2）．，①，②②－①得，．----------------12分22．已知數(shù)列的前項和和通項滿足（是常數(shù)且）。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當時，試證明；（3）設(shè)函數(shù)，，是否存在正整數(shù)，使對都成立？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.解：（1）當時，∴，由得∴數(shù)列是首項、公比為的等比數(shù)列，∴--------4分(2)由（1）知當時，-----5分，∴----------------------------6分即---------------------------------------7分（3）∵＝＝-----------------------9分∵---------------------------10分∴＝----12分由得-------()∵()對都成立∴∵是正整數(shù)，∴的值為1,2,3。∴使對都成立的正整數(shù)存在，其值為：1，2，3