第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（共2課時(shí)）（第1課時(shí)）本節(jié)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》（人民教育出版社A版教材）高中數(shù)學(xué)必修5第三章第一節(jié)不等關(guān)系與不等式第2課時(shí)的內(nèi)容，主要講解不等關(guān)系及不等式的性質(zhì)及其運(yùn)用；現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，數(shù)學(xué)中，我們用不等式來(lái)表示不等關(guān)系。不等式的性質(zhì)是解決不等式問(wèn)題的基本依據(jù)，凡是不等式的變形、運(yùn)算都要嚴(yán)格按照不等式的性質(zhì)進(jìn)行。因此，不等式的性質(zhì)是學(xué)習(xí)本章后續(xù)內(nèi)容和選修4-5不等式選講的重要保障；本節(jié)通過(guò)類比等式的性質(zhì)，猜想并證明不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式，是體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化，類比等數(shù)學(xué)思想，和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯推理能力的良好素材。在高中數(shù)學(xué)中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與高中數(shù)學(xué)幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，尤其與函數(shù)、方程等聯(lián)系緊密，因此，不等式才成為高考中經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)、重點(diǎn)，有時(shí)也是難點(diǎn)．課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過(guò)具體情景，讓學(xué)生感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在的不等關(guān)系，理解和掌握列不等式的步驟；B.能靈活用作差法比較兩個(gè)數(shù)與式的大小，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；C.培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力；1.數(shù)學(xué)抽象：在實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，并表示出不等關(guān)系；2.邏輯推理：作差法的原理；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用作差法比較大?。?.直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；5.數(shù)學(xué)建模：能夠在實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建不等關(guān)系，解決問(wèn)題；1.教學(xué)重點(diǎn)：將不等關(guān)系用不等式表示出來(lái)，用作差法比較兩個(gè)式子大??；2.教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際情景中建立不等式(組)，準(zhǔn)確用作差法比較大??；多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)四、小結(jié)1.不等式與不等關(guān)系(1)不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn).①不等符號(hào)>,<,≥,≤或≠.②所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.(2)不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.2．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b大小的依據(jù)文字語(yǔ)言符號(hào)表示如果a>b，那么a－b是；如果a<b，那么a－b是；如果a＝b，那么a－b，反之亦然a>b?________a<b?________a＝b?_________五、作業(yè)1.習(xí)題1,2,3,4題2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容生學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)；鞏固今天所學(xué)內(nèi)容題培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，也為下一節(jié)學(xué)習(xí)不等式性質(zhì)做準(zhǔn)備等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第2課時(shí)）教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)證明:∵a>b,∴a-b>0.由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a.同理可證,如果b<a,那么a>b.跟蹤訓(xùn)練.1.與m≥(n-2)2等價(jià)的是().<(n-2)2 B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m答案:C(2)傳遞性你能證明嗎？(3)加法法則證明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.(4)乘法法則證明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根據(jù)同號(hào)相乘得正,異號(hào)相乘得負(fù),得當(dāng)c>0時(shí),(a-b)c>0,即ac>bc;當(dāng)c<0時(shí),(a-b)c<0,即ac<bc.歸納總結(jié)：1.該性質(zhì)不能逆推,如ac>bca>b.>bc?a>b,c>0或a<b,c<0.3.不等式兩邊僅能同乘(或除以)一個(gè)符號(hào)確定的非零實(shí)數(shù).(5)加法單調(diào)性證明:a>歸納總結(jié)：1.此性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加,即兩個(gè)或兩個(gè)以上的同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向.2.兩個(gè)同向不等式只能兩邊同時(shí)分別相加,而不能兩邊同時(shí)分別相減.3.該性質(zhì)不能逆推,如a+c>b+da>b,c>d.(6)乘法單調(diào)性證明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc.∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.歸納總結(jié)：1.這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,這就是說(shuō),兩個(gè)或更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.>b>0,c<d<0?ac<bd;a<b<0,c<d<0?ac>bd.3.該性質(zhì)不能逆推,如ac>bda>b,c>d.(7)正值不等式可乘方性質(zhì)(7)可看作性質(zhì)(6)的推廣:當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),由a>b可得an>bn.跟蹤訓(xùn)練：1.給出下列結(jié)論：①若ac>bc，則a>b；②若a<b，則ac2<bc2；③若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則a>b；④若a>b，c>d，則a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，則ac>bd.其中正確結(jié)論的序號(hào)是___③_.解析①當(dāng)c>0時(shí)，由ac>bc?a>b，當(dāng)c<0時(shí)，由ac>bc?a<b，故①錯(cuò)．②當(dāng)c≠0時(shí)，由a<b?ac2<bc2，當(dāng)c＝0時(shí)，由a<beq\o(?,/)ac2<bc2，故②錯(cuò)．③∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·ab，即b<a，∴a>b，故③正確．④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，兩不等式不等號(hào)的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d錯(cuò)誤．⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,0>c>d))?ac<bd，但eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,0>c>d))eq\o(?,/)ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,c>d>0))eq\o(?,/)ac>bd.反思利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法:(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷.要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能憑想象捏造性質(zhì).(2)特殊值法.取特殊值時(shí),要遵循如下原則:一是滿足題設(shè)條件;二是取值要簡(jiǎn)單,便于驗(yàn)證計(jì)算.典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟蹤訓(xùn)練：1．若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(ad＋bd,bd)≤eq\f(bc＋bd,bd)，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).歸納總結(jié)：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．典例解析：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍例2已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范圍．解析∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).兩式相加，得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).又∵α<β，∴eq\f(α－β,2)<0.∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0.規(guī)律總結(jié)：求取值范圍的問(wèn)題要注意解題方法是否符合不等式的性質(zhì)，是否使范圍擴(kuò)大或縮?。櫽?xùn)練1.已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范圍：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).解析(1)∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；(2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1；(3)∵3<b<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，又1<a<2，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(2,3).通過(guò)學(xué)生熟悉的等式性質(zhì)出發(fā)，設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)不等的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示不等式的性質(zhì)。由不等式七個(gè)性質(zhì)的分析與證明，體會(huì)證明不等式的基本方法；培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)及時(shí)歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；通過(guò)練習(xí)鞏固不等式的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，提高思維的靈活性和速度。通過(guò)典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生明確問(wèn)題模型，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。四、小結(jié)不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?____?2傳遞性a>b，b>c?_____?3可加性a>b?a＋cb＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?acbcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?acbc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c