函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性教案第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日一、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理1.

推論:例1.解：第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日又如,內(nèi)可導(dǎo),且等號只在處成立,故內(nèi)單調(diào)增加.第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日例2.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日把函數(shù)的定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2．求出導(dǎo)函數(shù)的零點、和導(dǎo)數(shù)不存在的點(不可導(dǎo)點)3．以導(dǎo)數(shù)等于零的點、不可導(dǎo)點為分點，并確定導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)在每個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性?？偨Y(jié)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟:第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日解:練習(xí)1：P1533(3)第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日例3.

證明時,成立不等式證:令從而因此且證證明第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日*證明令則從而即第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日例3.

證明時,成立不等式證:令且從而因此第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日利用單調(diào)性證明不等式的步驟：①將要證的不等式作恒等變形（通常是移項）使一端為0,另一端即為所作的輔助函數(shù)f(x).②求,驗證f(x)在指定區(qū)間上的單調(diào)性.③與區(qū)間端點處的函數(shù)值作比較即得證.第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日練習(xí)2：P1535(3)

證明:

當(dāng)時證明：sinxtanx2x.

設(shè)

f(x)sinxtanx2x

則f(x)在內(nèi)連續(xù)

f

(x)cosxsec2x2,從而f(x)在內(nèi)單調(diào)增加

因此當(dāng)時

f(x)f(0)0sinxtanx2x0

也就是sinxtanx2x

f

(0)0,從而f(x)在內(nèi)單調(diào)增加

所以f

(x)f

(0)=0

且第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日定義.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點.拐點第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日例4.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日對應(yīng)例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日1．寫出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2．求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點3．判斷或列表判斷確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點的步驟第十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日解:練習(xí)2：P1539(5)第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日凹凸拐點是拐點.曲線在上是凹的,上是凸的.故點在第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日作業(yè)P1523(1),(3);5(1),(3);8(1),(3);9(1),(2);預(yù)習(xí)：第五節(jié)，第六節(jié)第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及

;

;第五節(jié)第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線證明：備用題第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.=第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日證明:當(dāng)時,有證明:令,則是凸函數(shù)即2.(自證)第五節(jié)第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日例4.解：第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第三十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日

證明:

例6.

當(dāng)時證明：sinxtanx2x.

設(shè)

f(x)sinxtanx2x

則f(x)在內(nèi)連續(xù)

f

(x)cosxsec2x2

因為在

內(nèi)cosx10cos2x10

cosx0

所以f

(x)0

從而f(x)在內(nèi)單調(diào)增加

因此當(dāng)時

f(x)f(0)0sinxtanx2x0

也就是sinxtanx2x

第三十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日

證明:

例6.

當(dāng)時證明：sinxtanx2x.

設(shè)

f(x)sinxtanx2x

則f(x)在內(nèi)連續(xù)

f

(x)cosxsec2x2

因為在

內(nèi)cosx10cos2x10

cosx0

所以