5.2向量空間的定義和基本性質(zhì)授課題目：5.2性空間的定義和基本性質(zhì)教學(xué)目標：理解并掌握線性空間的定義及基本性質(zhì)授課時數(shù)：3學(xué)時教學(xué)重點：線性空間的定義及基本性質(zhì)教學(xué)難點：性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論的證明教學(xué)過程：一、線性空間的定義引例―――定義生的背景例子．設(shè)

n,,b

則向量的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下述運算.（1

（2

(

)（3，對

（（5

a

（6

()

（7

(b

（8）

1

這里

F

n

,a向空間的定義－抽象出的數(shù)學(xué)本質(zhì)設(shè)V是個非空集合，其中的元素稱為向量。記作

是個數(shù)域b,F

如果在集合V中定義了一個叫做加法的代數(shù)運算，且定義了F到V一個叫做純量乘法的代數(shù)運.F中素

與V中

的乘積記作

a

果法和純量乘法滿足：）

）

(

)）

對

（找出

元））

，

ˊ

V使得

ˊ

稱為負量（找出負元））

）

(a

）

(b/

）

V是F上一個線性空間，并稱基數(shù)域.進一步的例子――加深定義的理解例：復(fù)數(shù)域C對數(shù)的加法和實數(shù)復(fù)數(shù)的乘法作成實數(shù)域上線性空.例：任意數(shù)域F可作它自身的線性空間例3

}

其加法定義為

數(shù)乘定義為

則V是數(shù)域上線性空間注V={0}對普通加法乘法是數(shù)域F上線性空間,稱零空間.例：設(shè)F是有理數(shù)域，V是正實數(shù)集合，規(guī)定

(

,F練習(xí)集合V對定的

是否作成數(shù)域的線性空間？F,(a,)(b,b,11,,a),122a(,aa)(0,0,,0)1n

b)n解顯V對

滿足條件1—7對意的(a,,1

,)Fn

n有

(,a1

,a)(0,0,,0),a),n12n故集合V對定的不作成數(shù)域的線性空間由此例可以看出線空間定義中的條件8)獨立的它能由其他條件推二、線性空間的簡單性質(zhì)、線性空間V的加法和純量乘法有以下基本性）V的零向量唯一，V中個向量的負向量是唯一.）

證明：1）設(shè)

,01

2

是V的個零向量，則

11

2

設(shè)

,1

2

是

的負向量,則于是

121222

2*于向量的唯一性,以我們把的唯一負向量作）因

所以

）*們定:

有/

定理對F的意數(shù)a,V中意向量

則

(aa或

特別地

(

)證明因為

0(0所以0.

類似地可證

0.因為

(0以a是的負向量,即(

同理可證

(

設(shè)

0,

如

果

則

有

F,

于

是

(

.

((

(a注線空間的定義中

與定理的質(zhì)3)在其他條件不變的情況下等事實上由性空間的定義可推出定理的質(zhì)3).反之由性間定義中的條件1)—及定理5.2.2的質(zhì)）可推得

因為

0,由性質(zhì)）

課堂討論題：檢驗以下集合對于指定的線性運算是否構(gòu)成相應(yīng)數(shù)域上的線性空間：）起點在原點，終點在一條直線上的空間向量的全體作成的集合V，通常集合向量的加法及數(shù)乘運算；）

x,x)112

}ni,x,212

,x)xn12

}ni按通常數(shù)域Fn維量的加法及乘法運算；）

{Tr)F}3/

域上n}按通常數(shù)域F矩陣的加法及乘法運算；）

ax513

3

2

2n

F}ix62

2

xn

n

01

}i按通常數(shù)域F多項式的加法及數(shù)乘運算；）全體實數(shù)的合按通常數(shù)的加法與乘法運算是否構(gòu)成復(fù)數(shù)域C線性空間？全體復(fù)數(shù)域的合按通常數(shù)加法與乘法運算是否構(gòu)成實數(shù)域上線性空間）數(shù)域上方陣全體，按通常數(shù)與矩陣乘法，但加法定義為ABA三、子空間、子空間的定義定義：子空間的定義V是F上個線性空間是V的個非空子集，如果W對V的加法和VV的量乘法，也作成的一個線性空間，則稱W是V的空間。例：[x]是F[x]的空間例：V它本身的一個子空{(diào)0}也是V子空.V和空間叫做V的凡子空間，V的他子空間叫做V的子空間、子空間的判斷：設(shè)V是域上線性空,是V的個非空子集是V的子空間的充要條件：（1

有（2

,

有

證明：W對法封閉即任意

有W對量乘法即任意

F

有a證明:必要.設(shè)是V子空間則V的法是W的代數(shù)運,從WV的法封閉;另外也封閉

F

到V的量乘法也是F到W的量乘法,因W對量乘法充分性由對V加法封閉對

F

到V的純量乘法封閉所V的法是W的代數(shù)運算,

F

到V的純量乘法也是

F

到V純量乘法的代數(shù)運.線空間定義中的算律5),7),8)對V中意向量成,自對W的量也成立由W對純量乘法的封閉性和定理對于

,0

所V中的零向?qū)儆赪,它自然也是W的零向量,并且

/

因條件3)條件也成立故W是

V的空.推論：是V一個非空子集，則是V子空間的充要條件：F有a、生成子空間例：設(shè)

,1

,2

n

是數(shù)域F上線性空間V的組向.,){|F}1n12nni則

1

,,2

)n

作為V的個子空上取i,),于iL,,12

所以

,12

)n又因b)(aab))a))L,

,

)

(a112

)nnaa))122

aa)Ln

,,2

),n以1

,2

,

)作成的一nL,)由,1212間,,,,元.12n、子空間的交與并Th4:,W是V的個子空間，則W1

1

W仍V的子空間.(

1

W是為V的子空間.)證明:因為W,W是V的個子空1

W,而WW,于1212W1

.意,bF,,1有

a1

2,而

W1所以

W12

是V的空間.推廣：若，1

W

n

是V的空間，則

(i)i

也是V子空間/

例：A是一個n階陣（）={B

[F]n

|AB=BA}則S（A）

[]n

的一個子空間.證IAAI

ISA(),是ABBA，ABB2112又()2AlB2kBlB)A2kBlB)

兩個子間的并則不一定是子空（={

}例：V，是的兩子空，證V是的子間的要條是或.212121證（分性）V