四、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積第五節(jié)一、元素法三、平面曲線的弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

第五章二、平面圖形的面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題一、元素法abxyo機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束元素法的一般步驟：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束這個(gè)方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等．二、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束選取

x

作積分變量?例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積(P249A4).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)

從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線解:點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束到2

所圍圖形面積.三、平面曲線的弧長(zhǎng)定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長(zhǎng),即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則稱(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(P169)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長(zhǎng).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下垂懸鏈線方程為例8.

計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤≤2一段的弧長(zhǎng).解:(P195例2.14(3))小結(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上連續(xù),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例11.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:

可否選擇y

作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束柱殼法設(shè)平面圖形A

由與所確定,求圖形A繞直線x＝2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.提示：選x為積分變量.旋轉(zhuǎn)體的體積為例12：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若選y為積分變量,則例13.

求曲線與x

軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94考研)解:

利用對(duì)稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限