第九章總結(jié)：統(tǒng)計學習目標第九章總結(jié)：統(tǒng)計學習目標1、了解隨機抽樣2、掌握用樣本估計總體探索新知3、理解統(tǒng)計是實際應(yīng)用探索新知一、隨機抽樣

像人口普查那樣，對每一個調(diào)查對象都驚醒調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查.在一個調(diào)查中，我們把調(diào)查對象的全體成為總體，組成總體的每一個調(diào)查對象成為個體.

像這樣，根據(jù)一定目的，從總體中抽取-一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.我們把從總體中抽

取的那部分個體稱為樣本，

樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量.調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù).

1.簡單的隨機抽樣

一般地，設(shè)一個總體含有N

(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n

(1≤n<N)個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣;如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進人樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.

2.抽簽法（1）概念先給總體中的N個個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌，最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，知道抽足樣本所需要的個數(shù)（2）優(yōu)缺點優(yōu)點：簡單易行，當總體較小時，號簽攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽取，從而能保證樣本的代表性缺點：當總體較大時，費時、費力，且號簽很難被攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差，導致抽樣的不公平3.隨機數(shù)法（1）概念對總體中的N個個體編號，用隨機數(shù)工具產(chǎn)生編號范圍內(nèi)的整體隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，使與編號對應(yīng)的個體進入樣本，重復上述過程，知道抽足樣本所需要的個數(shù)，如果生產(chǎn)的隨機數(shù)有重復，即統(tǒng)一編號被多次抽到，可以剔除重復的編號并產(chǎn)生隨機數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所需要的個數(shù)（2）優(yōu)缺點優(yōu)點：簡單易行，它很好的解決了抽簽法中遇到的當總體個數(shù)較多時制簽難、號簽很難被攪拌均勻的問題缺點：當總體較大時，需要的樣本容量較大時，不太方便一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為，,

.，，則稱

==

為總體均值，又稱總體平均數(shù)，如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記

為，,

...，其中;出現(xiàn)的頻數(shù):

(i=1,

2,

....k)，則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式

=

如果從總體中抽取-一個容量為n的樣本，它們的變量值分別

為，，...

，則稱

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù).

4.分層隨機抽樣

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.

二、用樣本估計總體

1.總體取值規(guī)律的估計

為了探索-組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù).

在這個實際問題中，因為我們更關(guān)心月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來整理和表示數(shù)據(jù).與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.

1.求極差

極差式一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差

2.決定組距與組數(shù)

合適的組距與組數(shù)對發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律有重要意義.組數(shù)太多或太少，都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況組距與組數(shù)的確定沒有固定的標準，常常需要-一個嘗試和選擇的過

程。數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)，:一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)也越多.

3.將數(shù)據(jù)分組

4.列頻率分布表

5.畫頻率分布直方圖

小長方形的面積=組距×2.總體百分位數(shù)的估計

把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第80個和第81個數(shù)據(jù)分別為和.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間,

內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)=，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù),或80%分位數(shù).

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣-一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第力百分位數(shù):

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=n×p%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第力百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.總體集中趨勢的估計

（1）平均數(shù)：如果給定的一組數(shù)是，，…，則這組數(shù)的平均數(shù)為即（2）中位數(shù)：如果一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為則稱為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為則稱為這組數(shù)的中位數(shù)（3）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)4.總體離散趨勢的估計

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是,,

..

,用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差.有時為了計算方差的方差，我們還把方差寫成以下形式

由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)

不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方，取它的算術(shù)平方根，即

（2）

我們稱(2)式為這組數(shù)據(jù)的標準差.如果總體中所有個體的變量值分別為總體平均數(shù)為,則稱

為總體方差，S=為總體標準差.與總體均值類似，總體方差也可以寫成加權(quán)的形式。如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為,

其中;出現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1,

2,

.

k),則總體方差為

如果一個樣本中個體的變量值分別為樣本平均數(shù)為則稱

為樣本方差，s=

為樣本標準差.三、統(tǒng)計案例公司員工的肥胖情況調(diào)查分析

背景與數(shù)據(jù)

近年來，我國肥胖人群的規(guī)模急速增長，肥胖人群有很大的心血管安全隱患.目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是

BMI=

中國成人的BMI數(shù)值標準為:BM1<為偏瘦;≤BMI<為正常;24≤

BMI<為偏胖;BMI≥28為肥胖.概念辨析概念辨析思考思考11.“工資條里顯紅利，個稅新政人民心”，隨著2022年新年鐘聲的敲響，我國自1980年以來，力度最大的一次個人所得稅（簡稱個稅）改革至2022年實施以來發(fā)揮巨大作用.個稅新政主要內(nèi)容包括：⑴個稅起征點為5000元；⑵每月應(yīng)納稅所得額（含稅）=收入-個稅起征點-專項附加扣除；⑶專項附加扣除包括住房?子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額（含稅）計算方法及其對應(yīng)的稅率表如表：舊個稅稅率表（稅起征點3500元）新個稅稅率表（個稅起征點5000元）繳稅級數(shù)每月應(yīng)納稅所得額（含稅）=收入-個稅起征點稅率（%）每月應(yīng)納稅所得額（含稅）=收入-個稅起征點-專項附加扣除稅率（%）1不超過1500元部分3不超過3000元部分32超過1500元至4500元部分10超過3000元至12000元部分103超過4500元至9000元的部分20超過12000元至25000元的部分204超過9000元至35000元的部分25超過25000元至35000元的部分255超過35000元至55000元部分30超過35000元至55000元部分30?????隨機抽取某市1000名同一收入層級的IT從業(yè)者的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計分析，預(yù)估他們2022年的人均月收入24000元.統(tǒng)計資料還表明，他們均符合住房專項扣除；同時，他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2:1:1:1；此外，他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，贍養(yǎng)老人2000元/月等.假設(shè)該市該收入層級的IT從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的IT從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想，解決如下問題：（1）求該市該收入層級的IT從業(yè)者2022年月繳個稅的所有可能及其概率.（2）根據(jù)新舊個稅方案，估計從2022年1月開始，經(jīng)過多少個月，該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳交的個稅之和就超過2022年的月收入？【答案】（1）解：由題意，既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2:1:1:1.①既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為24000-5000-1000=18000元，月繳個稅為3000×0.03+9000×0.1+6000×0.2=2190元，其概率為25②只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為24000-5000-1000-1000=17000月繳個稅為3000×0.03+9000×0.1+5000×0.2=1990元，其概率為15③只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為24000-5000-1000-2000=16000元，月繳個稅為3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2=1790元，其概率為15④既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為24000-5000-1000-1000-2000=15000元，月繳個稅為3000×0.03+9000×0.1+3000×0.2=1590元，其概率為15（2）解：在舊政策下，該收入階層的IT從業(yè)者每月應(yīng)納稅所得額為24000-3500=20500元，故月繳個稅為1500×0.03+3000×0.1+4500×0.2+11500×0.25=4120元，在新政策下，該收入階層的IT從業(yè)者每月應(yīng)納稅所得額為2190×25每月少繳個稅4120-1950=2170元，設(shè)經(jīng)過x個月該市該收入階層的IT從業(yè)者各月少繳交的個稅之和就超過2022年的月收入，則2170x≥24000，又x∈N，解得所以經(jīng)過12個月，該市該收入階層的IT從業(yè)者各月少繳交的個稅之和就超過2022年的月收入.【考點】簡單隨機抽樣【解析】（1）根據(jù)題中給出的信息，分四種情況按照條件中的計算公式分別求出月繳個稅即可；

（2）計算兩種政策下的每月應(yīng)繳個稅額度差，然后列出不等式，求解即可得到答案．思考思考22.“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“學習強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)下圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從[8,10)和[10,12)組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會.現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發(fā)言，求[10,12)小組中至少有1人發(fā)言的概率？【答案】（1）解：設(shè)抽查人員利用“學習強國”的平均時長為x，中位數(shù)為y，x=0.05×1+0.1×3+0.25×5+0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13=6.8設(shè)抽查人員利用“學習強國”的中位數(shù)為y，0.05+0.1+0.25+0.15×(y-6)=0.5即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為，中位數(shù)為；（2）解：[8,10]的人數(shù)為2000×0.15=300人，設(shè)抽取的人數(shù)為a，[10,12]組的人數(shù)為2000×0.1=200人，設(shè)抽取的人數(shù)為b，則a300=b200=50500，解得所以在[8,10]和[10,12]兩組中分別抽取30人和20人，在抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將[8,10]組中被抽取的工作人員標記為A1，A2，A將[10,12]中的標記為B1，B2設(shè)事件C表示從[10,12]小組中至少抽取1人，則抽取的情況如下：{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{其中在[10,12]中至少抽取1人有7種，則P(【考點】分層抽樣方法，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)思考3【解析】（1）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)公式計算；

（2思考33.某次數(shù)學測試后，數(shù)學老師對該班n位同學的成績進行分析，全班同學的成績都分布在區(qū)間[95?，?145]，制成的頻率分布直方圖如圖所示.已知成績在區(qū)間[125?（1）求n；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次測試該班的數(shù)學平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示).（3）現(xiàn)從[125?，?135)，[135?，?145]兩個分數(shù)段的試卷中，按分層抽樣的方法共抽取了6份試卷.若從這6份試卷中隨機選出2份作為優(yōu)秀試卷，求選出2【答案】（1）解：由題可知：n=120.02×10=60

（2）解：x=100×0.15+110×0.25+120×0.3+130×0.2+140×0.1=118.5

（3）解：由頻率分布直方圖可知：成績分布在[125,135)有12人，在[135,145)有6人，抽取比例為618=13，所以[125,135)內(nèi)抽取人數(shù)為記[125,135)中4人為a，b，c，d，記[135,145)的2人分別為e，f，則所有的抽取結(jié)果為：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15種.恰有一份分數(shù)段在[135,145)有(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)共8種，所以，概率P=【考點】分層抽樣方法，頻率分布直方圖思考4【解析】（1）由這組[125?，?135)的頻數(shù)和頻率計算n的值即可；

（2）由頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的計算公式，得出該學校本次考試數(shù)學平均分；

（3）先根據(jù)分層抽樣計算出

[125,135)

內(nèi)抽取人數(shù)為4人，

[135,145)

抽取人數(shù)為2人，再記

[125,135)

中4人為a，b，c，d，記

[135,145)

的2思考4屆高考體檢工作即將開展，為了了解高三學生的視力情況，某校醫(yī)務(wù)室提前對本校的高三學生視力情況進行調(diào)查，在高三年級1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢數(shù)據(jù)，并得到如下圖的頻率分布直方圖.年級名次是否近視1~100101~1000近視4030不近視1020（1）若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，試估計全年級高三學生視力的中位數(shù)（精確到）；（2）該校醫(yī)務(wù)室發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關(guān)系，對抽取的100名學生名次在1~100名和101~1000名的學生的體檢數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過的前提下認為視力與學習成績有關(guān)系?（3）在（2）中調(diào)查的不近視的學生中按照分層抽樣抽取了6人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣，求在這6人中任取2人，至少有1人的年級名次在1~100名的概率.P(kK2=n(ad【答案】（1）解：由圖可知，第三組和第六組的頻數(shù)為100×0.8×0.2=16人第五組的頻數(shù)為100×1.2×0.2=24人所以前四組的頻數(shù)和為100-(24+16)=60人而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列故第一組的頻數(shù)為4人，第二組的頻數(shù)為8人，第四組的頻數(shù)為32人所以中位數(shù)落在第四組，設(shè)為x，因此有x-4.60.2=50-(4+8+16)32解得x=所以中位數(shù)是（2）解：因為K2所以K2所以K2因此在犯錯的概率不超過的前提下認為視力與學習成績有關(guān)系（3）解：依題意按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了6人中年級名次在1~100名和101~1000名的分別有2人和4人從6人中任意抽取2人的基本事件共15個至少有1人來自于1~100名的基本事件有9個所以至少有1人的年級名次在1~100名的概率為P=【考點】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，進行求解即可；

（2）由已知得K2=100×(40×20-30×10)250×50×70×30，進行計算得K2>3.841，得出在犯錯的概率不超過的前提下認為視力與學習成績有關(guān)系1.某服裝生產(chǎn)廠家研發(fā)了甲、乙、丙三種新式時裝準備投入市場銷售．甲時裝共加工了1900件，乙時裝共加工了1400件，丙時裝共加工了900件．在投入市場前，廠家采用分層抽樣的方式從三種新式時裝中選取210件在小范圍內(nèi)試銷售，則應(yīng)從乙時裝中選取開始（

）A.

90件

B.

70件

C.

60件

D.

50件2.某籃球隊有籃球運動員15人，進行投籃訓練，每人投籃100個，命中球數(shù)如下表：命中球數(shù)90959798100頻數(shù)12372則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A.

97，2