*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積

第八章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;例1.

證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得例2.

已知三點(diǎn)AMB.解:則求故為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過(guò)一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的體積:的夾角為且為單位向量二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見(jiàn)上冊(cè)P355～P358)例4.已知三點(diǎn)角形

ABC

的面積.解:

如圖所示,求三一點(diǎn)M

的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:

在軸l

上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l

上任取一點(diǎn)O,作它與則點(diǎn)M離開(kāi)轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑*三、向量的混合積（不考）1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:

已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故例7.

已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四點(diǎn)共面,求點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z

所滿足的方程.解:

A、B、C、M

四點(diǎn)共面展開(kāi)行列式即得點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程AM、AB、AC

三向量共面即內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:混合積:2.向量關(guān)系:（不考）（不考）思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:證:由三角形面積公式所以因