PAGEPAGE4河北安平中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科寒假作業(yè)十三2019年2月14日選擇題1．對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得()A．a(chǎn)?α，b?αB．a(chǎn)?α，b∥αC．a(chǎn)∥α，b⊥αD．a(chǎn)?α，b⊥α2．如圖所示，點(diǎn)S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分別是SC和AB的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是()A．1B．eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D．eq\f(1,2)3.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)MA．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面4．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有以下四個(gè)命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個(gè)命題是()A．①②B．③④C．②④ D．①③5.正四棱錐(頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12,底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2,則側(cè)面與底面所成的二面角為()A30° B45° C60°D90°6．已知互相垂直的平面α、β交于直線l.若直線m、n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥l D．m⊥n7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC與MN所成的角為()A．30°B．45°(C)60° (D)90°8．已知A，B，C，D是空間不共面的四個(gè)點(diǎn)，且AB⊥CD，AD⊥BC，則直線BD與AC()A．垂直B．平行C．相交 D．位置關(guān)系不確定二、填空題9.如圖,點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)命題:①三棱錐AD1PC的體積不變;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題的序號(hào)是.

10．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)___.三、解答題11.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.(1)求證:平面PCD⊥平面PAD;(2)在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PAD,若存在,確定點(diǎn)E位置;若不存在,說(shuō)明理由.12．如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長(zhǎng)為a，E是PC的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥面BDE；(2)求證：面PAC⊥面BDE；(3)若二面角E－BD－C為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．13．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\x\to(CD)所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點(diǎn).(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說(shuō)明理由．河北安平中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科寒假作業(yè)十三答案1.解析：已知兩條不相交的空間直線a和b，可以在直線a上任取一點(diǎn)A，使得A?b.過(guò)A作直線c∥b，則過(guò)a，c必存在平面α且使得a?α，b∥α.答案：B2.解析：取SA的中點(diǎn)H，連接EH、FH(圖略)．因?yàn)镾B⊥AC，則EH⊥FH，在△EFH中，應(yīng)用勾股定理得EF＝eq\r(2).答案：B3.解析：連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A，C，C1，A1四點(diǎn)共面，所以A1C?面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C，所以M∈又M∈面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在面ACC1A1與面AB1D1的交線上，所以A，M，O4.解析：若α∥β，l⊥α，則l⊥β，又m?β，所以l⊥m，故①正確；若α⊥β，l⊥α，m?β，則l與m可能異面，所以②不正確；若l∥m，l⊥α，則m⊥α，又m?β，則α⊥β，所以③正確；若l⊥α，l⊥m，m?β，則α與β可能相交，故④不正確．綜上可知，選D.5.解析:如圖,在正四棱錐SABCD中,SO⊥底面ABCD,E是BC邊中點(diǎn),則∠SEO即為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角.由題易得SO=3,OE=,tan∠SEO=,所以∠SEO=60°,故選C.6.[解析]選項(xiàng)A，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m∥l；選項(xiàng)B，只有當(dāng)m⊥β時(shí)，m∥n；選項(xiàng)C，由于l?β，∴n⊥l；選項(xiàng)D，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m⊥n，故選C．7.[解析]如圖，連接A1C1、BC1、A1B．∵M(jìn)、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)∴MN∥BC1．又A1C1∥AC∴∠A1C1B為異面直線AC∵△A1BC1為正三角形∴∠A1C1B＝60°.故選C．8.[解析]過(guò)點(diǎn)A作AO⊥平面BCD，垂足為O，連結(jié)BO∵AB⊥CD，由三垂線定理可得BO⊥CD．同理DO⊥BC，∴O為△ABC的垂心所以CO⊥BD，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面ADC，所以BD⊥AC．故選A．9解析:如圖,對(duì)于①,容易證明AD1∥BC1,從而BC1∥平面AD1C,故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離均相等,所以以P為頂點(diǎn),平面AD1C為底面的三棱錐的體積不變,即三棱錐AD1PC的體積不變,①正確;對(duì)于②,連接A1B,A1C1,容易證明A1C1AC,由①知,AD1∥BC1,所以平面BA1C1∥平面ACD1,從而由線面平行的定義可得,②正確;對(duì)于③由于DC⊥平面BCC1B1,所以DC⊥BC1,若DP⊥BC1,則BC1⊥平面DCP,BC1⊥PC,則P為中點(diǎn),與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,連接DB1,由DB1⊥AC且DB1⊥AD1,可得DB1⊥平面ACD110[解析]如圖，連接OA，OB．由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r∴三棱錐S－ABC的體積V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)SC·OB)·OA＝eq\f(r3,3)即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π．11(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.①又因?yàn)锳B⊥AD,AB∥CD,所以CD⊥AD.②由①②可得CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.(2)解:當(dāng)點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PAD.證明如下:設(shè)PD的中點(diǎn)為F,連接EF,AF,易得EF是△PCD的中位線,所以EF∥CD,EF=CD.由題設(shè)可得AB∥CD,AB=CD,所以EF∥AB,EF=AB,所以四邊形ABEF為平行四邊形,所以BE∥AF.又BE?平面PAD,AF?平面PAD,所以BE∥平面PAD.12解(1)證明：連接OE，如圖所示．∵O，E分別為AC，PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA.∵OE?面BDE，PA?面BDE，∴PA∥面BDE.(2)證明：∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE.(3)如圖所示，取OC中點(diǎn)F，連接EF.∵E為PC中點(diǎn)，∴EF為△POC的中位線，∴EF∥PO.又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，∴EF⊥BD.∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥面EFO，∴OE⊥BD.∴∠EOF為二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,4)AC＝eq\f(\r(2),4)a，∴EF＝OF·tan30°＝eq\f(\r(6),12)a，∴OP＝2EF＝eq\f(\r(6),6)a.∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(6),18)a3.13[解析](1)由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因?yàn)镸為eq\o\ac(CD,\s\