九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)計劃和全冊教案

二十一章一元二次方程

第1課時21.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程的概念；一般式aR2+bR+c=0(a^O)及其派生的概念；應(yīng)用一元二次

方程概念解決一些簡單題目.

1?通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，膜仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.踵點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解

決問題.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，萌由一元一次方程的概念

遷移到一元二次方程的概念.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：列方程.

問題(1)古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋"

笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。

有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。

借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服。

如果假設(shè)門的高為RIK,哪么，亟個門的寬為吠,長為吹，

口艮據(jù)題意，囑.

整理、化簡，得：.

二、探索新知

學(xué)生活動：請口答下面問題.

(1)上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？

(2)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

(3)有等號嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評：(1)都只含一個未知數(shù)R;(2)它們的最高次數(shù)都是2次的；(3)座6有等號，

是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個關(guān)于R的一元二次方程，陷過整理，鄙能化成如下形式aR2+bR+c=0

(a/0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個一元二次方程經(jīng)過整理化成aR2+bR+c=0(awO)后，其中aR2是二次項(xiàng)，a是二次

項(xiàng)系數(shù)；bR是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

例1,將方程3R(R-l)=5(R+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系

數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

分析:一元二次方程的一般形式是aR2+bR+c=0(a#0).因止匕，方程3R(R-l)=5(R+2)

必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號、移項(xiàng)等.

解：略

注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號.

例2.(學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練)將方程(R+1)2+(R-2)(R+2)=口化

成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)

項(xiàng).

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(R+1y+(R-2)(R+2)=1化成aR2+bR+c=O

(a/0)的形式.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)1、2

補(bǔ)充練習(xí):判斷下列方程是否為一元二次方程？

(l)3R+2=5R-3⑵R2=4⑶3R2-?=0⑷R2-4=(R+2)2⑸aR2+bR+c=0

X

四、應(yīng)用拓展

例3.求證：關(guān)于R的方程(m2-8m+17)R2+2mR+l=0,不論m取何值，該方程都是

一元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?0即可.

證明：m2-8m+17=(m-4)2+1

1.-(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,gp(m-4)2+1#0

???不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

?練習(xí)：L方程(2a—4)R2—2bR+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條

件下此方程為一元一次方程？

2.當(dāng)m為何值時方程(m+l)R/4m/-4+27mR+5=0是關(guān)于的一元二次方程

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式aR2+bR+c=0(a#0)加二次

項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

第2課時21.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程根的概念；

2.0艮據(jù)題意判定一個數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體題目.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程根的概念，會判定一個數(shù)是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決

一些具體問題.

提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；由解給出根的

概念；再由根的概念判定一個數(shù)是否是根.同時應(yīng)用以上的幾個知識點(diǎn)解決一些具體問題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：判定一個數(shù)是否是方程的根；

2.雎點(diǎn)關(guān)鍵：由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否確定是實(shí)際

問題的根.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)獨(dú)立完成下列問題.

問題1,前面有關(guān)“執(zhí)竿進(jìn)屋”的問題中,我們列得方程R2-8R+20=0

列表：

R1234567891011...

R2-8R+20...

問題2.前面有關(guān)長方形的面積的問題中,我們列得方程R2+7R-44=0即R2+7R=44

列表：R123456...

R2+7R...

老師點(diǎn)評（略）

二、探索新知

提問：（1）問題1中一元二次方程的解是多少？問題2年一元二次方程的解是多少？

（2）如果拋開實(shí)際問題，問題2中還有其它解嗎？

老師點(diǎn)評（1）'可題1中R=2與R=10是R2-8R+20=0的解問題2中,R=4是R2+7R-44=0

的解.（2）如果拋開實(shí)際問題，問題2中還有R=-ll的解.

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：R2-8R+20=0有兩個根，一個是2,另一個是10,都滿足題意；但是，問題

2中的R=-ll的根不滿足題意.因此，由實(shí)際問題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題

的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問題的解.

例1.下面哪些數(shù)是方程2R2+10R+12=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

分析：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以R=-2或R=-3是一元二

次方程2R2+10R+12=0的兩根.

例2.若R=1是關(guān)于R的一元二次方程aR2+bR+c=0(a/0)的一個根，求代數(shù)式

20RR(a+b+c)的值

練習(xí):關(guān)于R的一元二次方程(a-1)R2+R+a2-1=0的一個根為0,則求a的值

點(diǎn)撥:如果一個數(shù)是方程的根,那么把該數(shù)代入方程，一定能使左右兩邊相等，這種解決問題的

思維方法經(jīng)常用到,同學(xué)們要深刻理解.

例3.你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？

(1)R2-64=0(2)3R2-6=0(3)R2-3R=0

分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材思考題練習(xí)L2.

四、歸納小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)一元二次方程根的概念；

(2)要會判斷一個數(shù)是否是一元二次方程的根；

(3)要會用一些方法求一元二次方程的根.(“夾逼"方法；平方根的意義)

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固3、4綜合運(yùn)用5、6、7拓廣探索8、9.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第3課時21.2.1配方法

教學(xué)內(nèi)容

運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程"降次"，轉(zhuǎn)化為兩個一元一

次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程"降次"一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程aR2+c=0,根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然

后知識遷移到解a(eR+f)2+c=0型的一元二次方程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如(R+m)2=n(nN0)的方程;領(lǐng)會降次一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思

想.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如R2=n,知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形

如(R+m)2=n(n>0)的方程.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題

問題1.填空

(1)R2-8R+=(R-J2(2)9R2+12R+=(3R+戶13}R2+pR+=

(R+—產(chǎn).

問題1：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164;(2)42;(3)(1)2P-.

問題2:目前我們都學(xué)過哪些方程?二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么

不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了R2=9,根據(jù)平方根的意義，直接開平方得R=±3,如果R換元為2t+l,

即(2t+l1=9,能否也用直接開平方的方法求解呢?

(學(xué)生分組討論)

老師點(diǎn)評：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴腞,那么2t+l=±3

即2t+l=3,2t+l=-3

方程的兩根為ti=l,t2=-2

例1:解方程：(1)(2R-1)2=5⑵R2+6R+9=2⑶R2-2R+4=-l

分析：很清楚，R2+4R+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(R+2)2=1.

解：⑵由已知，得：(R+3)2=2

直接開平方，得：R+3=±^

即R+3=,R+3=-\/2

所以，方程的兩根Ri=-3+V2,R2=-3-V2

例2.市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房

面積增長率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為R.0-年后人均住房面積就應(yīng)該是10+[10R=10

(1+R)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1+R)+10(1+R)R=10(1+R)2

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為R,

貝U:10(1+R)2=14.4

(1+R)2=1.44

直接開平方，得1+R=±L2

即1+R=1.2,1+R=-1.2

所以，方程的兩根是Ri=0.2=20%,R2=-2.2

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，R2=-2.2應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？

共同特點(diǎn)：把一個一元二次方程"降次"，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為

"降次轉(zhuǎn)化思想”.

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例3.某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月

份營業(yè)額平均增長率是多少？

分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為R,同B么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是(1+R),

三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是(1+R)2.

解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為R.

那么1+(1+R)+(1+R)2=3.31

把(1+R)當(dāng)成一個數(shù),配方得：

|3

(1+R+y)2=2.56,即(R+1)2=2.56

333

R+-=±1.6,即R+-=1.6,R+-=-1.6

222

方程的根為Ri=10%,R2=-3.1

因?yàn)樵鲩L率為正數(shù)，

所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如R2=p(p>0),那么R=±7P轉(zhuǎn)化為應(yīng)用

直接開平方法解形如(mR+n)2=p(p>0),那么mR+n=±7p,達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.若p

<0則方程無解

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固1、2.

第4課時22.2.1配方法(1)

教學(xué)內(nèi)容

間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成R2=p(p?0)或(mR+n)2=p(p>0)的一元二次方程的解法，口

引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：講清"直接降次有困難，如R2+6R-16=0的一元二次方程的解題步驟.

2.雎點(diǎn)與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的"化為"的轉(zhuǎn)化方法與技

巧.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們解下列方程

(1)3R2-1=5(2)4(R-1)2-9=0(3)4R2+16R+16=9(4)4R2+16R=-7

老師點(diǎn)評：上面的方程都能化成R2=p或(mR+n)2=p(p>0)的形式，那么可得

R=±7?或mR+n=±7^(p>0).

如：4R2+16R+16=(2R+4)2,你能把4R2+16R=-7化成(2R+4)2=9嗎？

二、探索新知

列出下面問題的方程并回答：

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面三個方程的解法呢？

問題2:要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16m1場地的長和寬各是多少?

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有R

的完全平方式而后二個不具有.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，

下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：

R2+6R-16=0移項(xiàng)TR2+6R=16

兩邊力口(6/2)2使左邊配成R2+2bR+b2的形式-R2+6R+32=16+9

左邊寫成平方形式t(R+3)2=[25啤次一R+3=±5即R+3=5或R+3=-5

解一次方程TRI=2,R2=-8

可以驗(yàn)證：Ri=2,R2=-8都是方程的根，但場地的寬不能使負(fù)值，所以場地的寬為2m,常

為8m.

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.

例1.用配方法解下列關(guān)于R的方程

(1)R2-8R+l=0(2)R2-2R-g=0

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式;

(2)同上.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材P38討論改為課堂練習(xí)，并說明理由.

教材P39練習(xí)12.(11(2).

四、應(yīng)用拓展

例3.如圖，在RfACB中，NC=9@。，AC=8m,CB=6m，點(diǎn)P、Q同時由A,B麗點(diǎn)出

發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動葉前的鶻都是lm/s,01秒后APCQ口勺面積為Rf

ACB面積的一半.I

CQB

分析：設(shè)R秒后WCQ的面積為RtMBC面積的一半，”CQ也是直角三角形.。艮據(jù)已知

列出等式.

解：設(shè)R秒后WCQ的面積為RfACB面積的一半.

根據(jù)題意，得：!(8-R)(6-R)=1xlx8x6

整理，得:R2-14R+24=0

(R-7)2=25即Ri=12,R2=2

RI=12,R2=2都是原方程的根，但Ri=12不合題意，舍去.

所以2秒后WCQ的面積為RfACB面積的一半.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

左邊不含有R的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有R的完全平方形式，右邊是

非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程.

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固2.3⑴(2)

第5課時21.2.1配方法(2)

教學(xué)內(nèi)容

給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟.

通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：講清配方法的解題步驟.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，曬邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程：

(1)R2-4R+7=0(2)2R2-8R+l=0

老師點(diǎn)評：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有R的完全平方形式，不可以直接

開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題.

解：略.(2)與⑴有何關(guān)聯(lián)？

二、探索新知

討論:配方法屆一元二次方程的一般步驟：

(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1;(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變形為(R+p)2=q的形式，如果q?0,方程的根是R=-p±Vq;如果q<0,方程無實(shí)

根.

例1,解下列方程

(1)2R2+1=3R(2)3R2-6R+4=0(3)(1+R)2+2(1+R)-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個

含有R的完全平方.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)2.(31(41(51(6).

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1,配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也

可通過配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性(如例3)在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)

習(xí)二次曲線時，還將經(jīng)常用到。

六、布置作業(yè)

1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固3.(3)(4)

補(bǔ)充：(1)已知R2+R2+z2-2R+4R-6z+14=0,貝！]求R+R+z的值

(2)求證：無論R、R取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式R2+R2-2R-4R+16的值總是正數(shù)

第6課時21.2.2公式法

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元二

次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入aR2+bR+c=0(aHO)[3勺求根公式

的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

1.前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的"直接開平方法"，比如，方程

(1)R2=4(2)(R-2)2=7

提問1這種解法的(理論)依據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種"平方式等于非負(fù)數(shù)"的特殊二次方

程有效，不能實(shí)施于一般形式的二次方程。)

2.面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠"直

接開平方”的形式。)

(學(xué)生活動)用配方法解方程2R2+3=7R

(老師點(diǎn)評)略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評).

。)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1;(3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變開鄉(xiāng)為(R+p)2=q的形式,如果qNO,方程的根是R=-p±Vq;如果q<0,方程無實(shí)

根.

二、探索新知

用配方法解方程

(1)aR2-7R+3=0(2)aR2+bR+3=0

(3)如果這個一元二次方程是一般形式aR2+bR+c=0(aW0),你能否用上面配方法的步驟

求出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個問題.

問題：已知aR2+bR+c=0(a/0),試推導(dǎo)它的兩個根Ri=一"砒，

I-----2a

R2=加嚴(yán)—施(這個方程一定有解嗎?什么情況下有解？)

2a

分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c的當(dāng)成一個具體數(shù)字，根

據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項(xiàng)，得：aR2+bR=-c

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得R2+2R=-￡

aa

配方，得：R2+2R+(±)2=_￡+(±)2

alaa2a

即(R+2)2=1r-4,c

2a4a2

b2-4ac

?,-4a2>0,4a2>0,當(dāng)b2-4ac>0時>0

4a2

(R+—)2=("、4ac)

2a2a'-------

直接開平方，得：R+?=±.；4"-b±Nb2-4QC

即R=

m-------2a2^—2a

-b-i-\Jb2-4ac-b-yjb1-Aac

「?Rni=------------------,Kn2=--------------------

2、a2a

由上可知，一元二次方程aR2+bR+c=0(a/0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式aR2+bR+c=0,當(dāng)b2-4ac>0時，□

將a、b、c代入式子R=-4"就得到方程的根.(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)

2a

過的六中運(yùn)算，力口、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實(shí)數(shù)根.

例1,用公式法解下列方程.

(1)2R2-R-l=0(2)R2+1.5=-3R⑶R2-0R+；=O(4)4R2-3R+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.

補(bǔ):(5)(R-2)(3R-5)=0

三、鞏固練習(xí)

教材P42練習(xí)1.(1、(31(5)或(2)、(4)、(6)

四、應(yīng)用拓展

例2.某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于R的方程(m+1)/+2+(m-2)R-l=0提出了下列問題.

(1)若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

(2)若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.

你能解決這個問題嗎？

分析：能.(1)要使它為一元二次方程，必須滿足m2+l=2,同時還要滿足(m+1)/0.

(2)要使它為一元一次方程，必須滿足：

m-+1=1m2+1=07?Z+1=0

①八或②〈或③，

(m+1)+(/?-2)+0-2w0m-2^0

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟:1)將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號,

盡量讓a>0.2)找出系數(shù)a,b,c,注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號。3滸算b2-4ac,若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程

無解，4)若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固4.

第7課時21.2.4判別一元二次方程根的情況

教學(xué)內(nèi)容

用b2-4ac大于、等于0、小于0判別aR2+bR+c=0(a/0)的根的情況及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

掌握b2-4ac>0,aR2+bR+c=0(a/0)有兩個不等的實(shí)根,反之也成立；b2-4ac=0,

aR2+bR+c=0(a/0)有兩個相等的實(shí)數(shù)根，反之也成立；b2-4ac<0,aR2+bR+c=O(a/0)

沒實(shí)根，反之也成立；及其它們關(guān)系的運(yùn)用.

通過復(fù)習(xí)用配方法解一元二次方程的bMaoO,b2-4ac=0、b2-4ac<0各一題,汾析它

們根的情況，從具體到一般，給出三個結(jié)論并應(yīng)用它們解決一些具體題目.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：b2-4ac>0一一元二次方程有兩個不相等的實(shí)根；b2-4ac=0一一元二次方程有

兩個相等的實(shí)數(shù)；b2-4ac<0c一元二次方程沒有實(shí)根.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵

從具體題目來推出一元二次方程aR2+bR+c=0(a/0)的b2-4ac的情況與根的情況的關(guān)

系.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)用公式法解下列方程.

(1)2R2-3R=0(2)3R2-2^R+l=0(3)4R2+R+l=0

老師點(diǎn)評，(三位同學(xué)到黑板上作)老師只要點(diǎn)評(1)b2-4ac=9>0,有兩個不相等的實(shí)

根；(2)b2-4ac=12-12=0,有兩個相等的實(shí)根；(3)b2-4ac=|-4x4x11=<0,歷程沒有實(shí)

根.

二、探索新知

b2-4ac的b2-4ac的符Ri、R2的關(guān)系

方程

值號(填相等、不等或不存在)

2R2-3R=0

3R2-2>/3R+l=0

4R2+R+l=0

請觀察上表，結(jié)合b2-4ac的符號,歸納出一元二次方程的根的情況。證明你的猜想。

從前面的具體問題，我們已經(jīng)知道bMac>0(<0,=0)與根的情況，現(xiàn)在我們從求根

公式的角度來分析：

求根公式：,當(dāng)b2_4ac>0時，根據(jù)平方根的意義，J--牝c等于一個

具體數(shù)，所以一元一次方程的Ri=-"y-4"，wR【=-I-ac,即有兩個不相等的實(shí)

2a2a

根.當(dāng)b2-4ac=0時，0艮據(jù)平方根的意義4改=0,所以RI=R2==,即有兩個相等的實(shí)

2a

根；當(dāng)b2-4ac<0時,根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒有平方根，所以沒有實(shí)數(shù)解.

因此，(結(jié)論)(1)當(dāng)b2-4ac>0時一元二次方程aR2+bR+c=0(a^O)需兩個不相等

實(shí)數(shù)根即母=土亞三I,R2a2一皿

2a2a

(2謂b-4ac=0時，一元二次方程aR2+bR+c=0(a/0府兩個相等實(shí)數(shù)根即RI=R2==.

2a

(3)當(dāng)b2-4ac<0時，一元二次方程aR2+bR+c=0(a/0)沒有實(shí)數(shù)根.

例1.不解方程，判定方程根的情況

(1)16R2+8R=-3(2)9R2+6R+l=0

(3)2R2-9R+8=0(4)R2-7R-18=0

分析：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0m勺情況進(jìn)行

分析即可.

解：(1)化為16R2+8R+3=0

這里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4xl6x3=-128<0

所以，方程沒有實(shí)數(shù)根.

三、鞏固練習(xí)

不解方程判定下列方程根的情況：

31

(1)R2+10R+23=0(2)R2-R--=0(3)3R2+6R-5=0(4)4R2-R+—=0

416

(5)R2-V3R--=0(6)4R2-6R=0(7)R(2R-4)=5-8R

4

四、應(yīng)用拓展

例2.若關(guān)于R的一元二次方程(a-2)R2-2aR+a+l=0沒有實(shí)數(shù)解，求aR+3>0的解集

(用含a的式子表示).

分析：要求aR+3>0的解集，就是求aR>-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、

負(fù)或0.因?yàn)橐辉畏匠?a-2)R2-2aR+a+l=0沒有實(shí)數(shù)根，即(-2a)M(a-2)(a+l)

<0就可求出a的取值范圍.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

b2-4ac>0c一元二次方程aR2+bR+c=0(a#0)有兩個不相等的實(shí)根；b2-4ac=0——

元二次方程aR2+bR+c=0(a/0)有兩個相等的實(shí)根力2-4ac<0—一元二次方程aR2+bR+c=0

(a/0)沒有實(shí)數(shù)根及其它的運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固6綜合運(yùn)用9拓廣探索1、2.

第8課時21.2.3因式分解法

教學(xué)內(nèi)容

用因式分解法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法一因式分解法解

一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程.

2.雎點(diǎn)與關(guān)鍵：讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題簡

便.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）解下列方程.

（1）2R2+R=0（用配方法）（2）3R2+6R=0（用公式法）

老師點(diǎn)評：（1）配方法將方程兩邊同除以2后，R前面的系數(shù)應(yīng)為;,；的一半應(yīng)為《,

因此，應(yīng)加上（））2,同時減去（。）2.（2）直接用公式求解.

二、探索新知

（學(xué)生活動）請同學(xué)們口答下面各題.

（老師提問）（1）上面兩個方程中有沒有常數(shù)項(xiàng)？

（2）等式左邊的各項(xiàng)有沒有共同因式？

（學(xué)生先答，老師解答）上面兩個方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解：

因此，上面兩個方程都可以寫成：

（1）R（2R+1）=0（2）3R（R+2）=0

因?yàn)閮蓚€因式乘積要等于0,至少其中一個因式要等于0,也就是（1）R=0或2R+l=0,

所以Ri=0,R2=4-

2

（2）3R=0或R+2=0,所以Ri=0,R2=-2.（以上解法是如何實(shí)現(xiàn)降次的?）

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使

方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次，這

種解法叫做因式分解法.

例1.解方程

13

(1)10R-4.9R2=0(2)R(R-2)+R-2=0(3)5R2-2R--=R2-2R+-

44

(4)(R-1)2=(3-2R)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個一次因式乘積。)

練習(xí)：1.下面一元二次方程解法中，正確的是().

A.(R-3)(R-5)=10x2,.-.R-3=10,R-5=2,.-.Ri=13,R2=7

23

B.(2-5R)+(5R-2)2=0,(5R-2)(5R-3)=0，,Ri=1,R2=j

C.(R+2)2+4R=0,.-.Ri=2,R2=-2

D.R2=R兩邊同除以R,得R=1

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)1、2.

例2.已知9a2-4b2=0,求代數(shù)式：_2_g勺的值.

baab

分析：要求2-2一二￡的值，首先要對它進(jìn)行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b

baab

的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發(fā)生錯誤.

解:原式，"丁竺

aba

,.19a2-4b2=0

(3a+2b)(3a-2b)=0

3a+2b=0或3a-2b=0,

a=-2b或a=^b

33

當(dāng)a=4b時，原式=-4=3

3乙b

當(dāng)a=gb時，原式=-35

四、應(yīng)用拓展

例3.我們知道R2-(a+b)R+ab=(R-a)(R-b),那么R2-(a+b)R+ab=0就可轉(zhuǎn)化

為(R-a)(R-b)=0,請你用上面的方法解下列方程.

(1)R2-3R-4=0(2)R2-7R+6=0(3)R2+4R-5=0

分析二次三項(xiàng)式R2<a+bR+ab的最大特點(diǎn)是R2項(xiàng)是由RR而成，常數(shù)項(xiàng)ab是由氣-b)

而成的，而一次項(xiàng)是由-a-R+(-b-R)交叉相乘而成的.根據(jù)上面的分析，戢們可以對上面的

三題分解因式.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、葉字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再分別使各一次因式等

于0.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固5綜合運(yùn)用8、10拓廣探索11.

第9課時一元二次方程的解法復(fù)習(xí)課

教學(xué)內(nèi)容習(xí)題課

教學(xué)目標(biāo)

能掌握解一元二次方程的四種方法以及各種解法的要點(diǎn)。會根據(jù)不同的方程特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)?/p>

方法，是解題過程簡單合理，通過揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思想方法。

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：會根據(jù)不同的方程特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，是解題過程簡單合理。

2.難點(diǎn)：通過揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思想。

教學(xué)過程

1,用不同的方法解一元二次方程3R2-5R-2=0(配方法，公式法，因式分解發(fā))

教師點(diǎn)評：三種不同的解法體現(xiàn)了同樣的解題思路——把一元二次方程"降次"轉(zhuǎn)化為一

元一次方程求解。

2把下列方程的最簡潔法選填在括號內(nèi)。

(A)直接開平方法(B)配方法(C)公式法(D)因式分解法

(1)7R-3=2R2()(2)4(9R-1)2=25()⑶(R+2)(R-l)=20()

(4)4R2+7R=2()(5)2(0.2t+3)2-12,5=0()(6)R2+2V2R-4=0()

說明:一元二次方程解法的選擇順序一般為因式分解法、公式法，若沒有特殊說明一般不采

用配方法。其中，公式法是一般方法，適用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方

法，在解符合方程左邊易因式分解，右邊為0的特點(diǎn)的一元二次方程時，非常簡便。

3.將下列方程化成一般形式，在選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

(l)3R2=R+4(2)(2R+l)(4R-2)=(2R-l)2+2(3)(R+3)(R-4)=-6(4)(R+l)2-2(R-l)2=6R-5

說明：將一元二次方程化成一般形式不僅是解一元二次方程的基本技能，而節(jié)能為揭發(fā)的選

擇提供基礎(chǔ)。

4.閱讀材料，解答問題：

材料：為解方程(R2-l)2-5(R2-l)2+4=0,我們可以視(R2-1)為一個整體，然后設(shè)R2-1=R,

原方程可化為R2-5R+4=0①解得RI=LR2=4。當(dāng)Ri=l時，R2-l=l即R2=2,R=±0.

當(dāng)R2=4時，R2-l=4即R2=5,R=±45。原方程的解為Ri=&Rz=-&氏=g

R4=-V5

解答問題：(1)填空：在由原方程得到①的過程中利用法，達(dá)到了降次的目的，體

現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。(2)解方程R4—R2—6=0.

5.小結(jié)(1)說說你對解一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程的認(rèn)識

(消元、降次、化歸的思想)

(2)三種方法(配方法、公式法、因式分解法)的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次.

②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到.

③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程.

區(qū)別：①配方法要先配方，再開方求根.

②公式法直接利用公式求根.

③因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,的分別使各一次因式等于

0.

作業(yè)P58復(fù)習(xí)題221.

21.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【教學(xué)設(shè)計總意圖］：本課是一節(jié)公式定理的新知課第一課時，曾在舊版的教材中占據(jù)很重要的

位置，不但在中考中體現(xiàn)，延伸到高中的數(shù)學(xué)教學(xué)也有廣泛的應(yīng)用.本冊教材又將曾一度刪去的

內(nèi)容恢復(fù)，可見根系關(guān)系的重要.它為進(jìn)一步解決一元二次方程、二次函數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問題

提供一些新的思路.但本課畢竟是第一課時，讓學(xué)生體會公式基本內(nèi)容，在頭腦中形成積極印象

很關(guān)鍵.所以從絕大多數(shù)同學(xué)掌握的知識程度出發(fā)，針對本班學(xué)生的特點(diǎn)本課在(awO,b2-4ac

20)的前提條件下設(shè)計，所有的一元二次方程均有解.

教學(xué)目標(biāo)：L理解根系關(guān)系的推導(dǎo)過程；

2、掌握不解方程，應(yīng)用根系關(guān)系解題的方法；

3、體會從特殊到一般，再有一般到特殊的推導(dǎo)思路

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用根系關(guān)系解決問題；

教學(xué)難點(diǎn)：根系關(guān)系的推導(dǎo)過程

教學(xué)流程：引入新知，推導(dǎo)新知，鞏固新知，應(yīng)用新知，

教學(xué)過程：

一、前2天悄悄地聽到咱班的鄭帥和董沐青的一段對話，內(nèi)容如下：

鄭：我說董沐青，我有一個秘密，你想聽嗎？

董：什么秘密?

鄭：你知道咱們可爰的張老師年齡到底有多大嗎？

董：哦？

鄭：呵呵，這絕對是個秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：她的年齡啊是方程R2-12R

+35=0的兩根的積，回去你把2根求出來就知道了.

董：咳，你難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還告訴你，張老師的年齡啊

還是方程R2-35R-200=0的2根的和呢.

鄭：哈哈，你太有才了。對了，咱們應(yīng)該也讓同學(xué)猜一猜，不解方程，能不能求出張老師

的年齡.

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)一個情境：學(xué)生自我娛樂的同時自我探討數(shù)學(xué)知識,本班學(xué)生活躍，他們自己

在平時也會開一些類似的玩笑.希望這一次能夠激起班級進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

二、求出下列方程的2根，計算2根和與2根積的值，并猜想2根和、2根積與一元二次方程

各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

序號一元二次方程R2

RiRi+RsRIR2

(1)R2-5R+6=02356

131

(2)2R2-3R+1=0一—一

2122

212

(3)3R2+R-2=0—_-_一

3-133

【設(shè)計意圖】二次項(xiàng)系數(shù)為1有1題；二次項(xiàng)系數(shù)不為1有2題，系數(shù)性質(zhì)符號各有不同.讓學(xué)生

盡量體會與猜想2根和、2根積與系數(shù)之間的關(guān)系.

三、引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明：

Ri和R2是一元二次方程aR2+bR+c=0(a/0,b2-4ac>0)

bc

RI+R=--,RIR=-注意：負(fù)號不能漏寫

2aa2

【設(shè)計意圖】學(xué)生在已有公式法解一元二次方程的知識基礎(chǔ)上，可以最快速度說出Ri和R2的

值，接下來將字母系數(shù)表示的Ri和R2的值代入相應(yīng)的代數(shù)式R1+R2和RIR2得出根系關(guān)系

的結(jié)論，憑借學(xué)生自己的現(xiàn)有能力可以解決證明過程.還可以讓學(xué)生體會，數(shù)學(xué)知識的一些結(jié)論

是在計算的過程中產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中那一系列的字母并不是高不可攀.

四、應(yīng)用

第一組習(xí)題：不解方程，求下列方程的2根和與2根積

(1)R2-3R+1=0

(2)3R2-2R-2=0

(3)2R2-3R=0

(4)3R2=1

【設(shè)計意圖】新知產(chǎn)生后，直接應(yīng)用新知是學(xué)生的模仿階段，也是本課教學(xué)最基本的知識目標(biāo),

這時需要強(qiáng)化記憶，除設(shè)計第1組習(xí)題外還設(shè)計板書例題和第2組習(xí)題.第一組習(xí)題小評時，可

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)用根系關(guān)系解決2根和與2根積的問題不需求出復(fù)雜的2根，同時滲透著整體

代入的數(shù)學(xué)方法，為例2鞏固知識奠定基礎(chǔ).

例2:已知：

Ri和R2是一元二次方程R2-4R+1=0的2根，求下列代數(shù)式的值

11

(1)-+-

X1X2

(2)R12+R22

2

(3)(RI-R2)

X2Xl

學(xué)生練習(xí)：(1)—+一

XlX2

(2)(R1+1)(R2+1)

【設(shè)計意圖】本例對絕大多數(shù)同學(xué)來說是可以掌握的內(nèi)容，也是研究根系關(guān)系應(yīng)掌握的內(nèi)容，

還可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會整體代入的數(shù)學(xué)思想方法.

五、本課小結(jié)：

六、課后作業(yè)：

第10課時21