第四章晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)本章主要內(nèi)容：第一節(jié)晶格振動的經(jīng)典處理第二節(jié)第三節(jié)簡諧晶體的量子理論第四節(jié)晶格比熱第五節(jié)聲子態(tài)密度第六節(jié)晶格振動譜的實驗測定第七節(jié)非簡諧效應(yīng)

4.0.序言

在前幾章的學(xué)習中,我們主要討論了T=0K時,理想晶體中價電子的行為.對于組成晶體的原子或離子實的運動沒有考慮,盡管我們在第二章討論了構(gòu)成晶格的原子或離子實在晶體中的分布情況,但仍然假定了這些原子或離子實在晶體中是固定不動的—屬于靜止晶格的模型。

靜止晶格的模型對于解釋主要由導(dǎo)電電子決定的平衡態(tài)性質(zhì)和輸運性質(zhì)方面,相當成功.但是,按照上述理想的模型,在周期勢中運動的電子不會受到散射作用,因而導(dǎo)致熱導(dǎo)和電導(dǎo)趨于無窮大,這與實際情況不相符.此外,對于絕緣體的許多物理性質(zhì)也無法解釋。

晶格振動的強弱依賴于溫度,它在晶體熱力學(xué)中起重要作用.晶體的比熱、熱膨脹和熱導(dǎo)等熱學(xué)性質(zhì)直接依賴于晶格振動,晶體的光吸收和光發(fā)射等光學(xué)性質(zhì)也與晶格振動有關(guān).此外,通過晶格振動的相互作用,電子和電子之間還會產(chǎn)生不同于庫侖力的相互作用,形成所謂的庫柏對,產(chǎn)生超導(dǎo)電性。

實際上，在有限的溫度下，組成晶體的原子并非固定于格點位置，而是以格點為平衡位置作熱振動，稱為晶格振動。顯然，晶格振動將使晶體勢場偏離嚴格的周期性，從而對布洛赫電子產(chǎn)生散射作用，并影響到與電子有關(guān)的輸運性質(zhì)。愛因斯坦開創(chuàng)了固體比熱容量子理論的先河.但是由于該模型過于簡單,所以,超過某一溫度范圍,它對任何材料都不能給出正確結(jié)果.1913年,波恩(M.Born)和卡門(VonKarman)在他們發(fā)表的“關(guān)于比熱容理論”的論文中,考慮到周期性晶格模型,提出晶格系統(tǒng)的運動不易用個別原子的振動去描述。

1907年,愛因斯坦(A.Einstein)把晶體中的原子看成一些具有相同頻率E并能在空間自由振動的獨立振子.每個振子的能量以

為單位量子化(普朗克(M.Planck)的量子假設(shè)),得到溫度趨于絕對零度時,比熱容趨于零的結(jié)論.波恩和卡門認為晶格系統(tǒng)要用具有一定波矢、頻率和偏振的行波來表示,稱為系統(tǒng)的“簡正?！?normalmode),每個波的能量與具有相同頻率的諧振子一樣是量子化的.與晶體相聯(lián)系的波的頻率不是單一頻率,而是具有一定的頻率分布,這個頻率分布按復(fù)雜的規(guī)律依賴于原子間的相互作用.其實,1912年,德拜(P.Debye)也發(fā)表了一篇“關(guān)于比熱容理論”的論文,他把晶格振動的“簡正?！笨醋魉坪跏且粋€連續(xù)的、各向同性的介質(zhì)中的波,而不是集中在一些分立格點上振動的波.德拜模型雖然表面上不如波恩和卡門模型,但是由于德拜模型簡介有效,實際上更加成功.第三章我們曾給出了體系的總的哈密頓，假定晶體體積,含有N個帶正電荷Ze的離子實，Z為單原子的價電子數(shù)目，因而，晶體中有NZ個價電子。即：N個離子實，每個離子實帶正電荷Ze，其位矢用表示；NZ個價電子,簡稱為電子,其位矢用表示。則系統(tǒng)的哈密頓為：按照絕熱近似或稱為玻恩—奧本海默(Born-Oppenheimer)近似

認為電子體系的運動總能跟上離子實的運動。因而，絕熱近似下系統(tǒng)總的波函數(shù)可以寫成電子部分和離子實部分的乘積。亦即：其中為描述電子的波函數(shù)，認為離子實仍位于平衡位置；為離子實部分。從而，系統(tǒng)的薛定諤方程變?yōu)?對薛定諤方程兩邊左乘，并對電子坐標積分，得：所以

εe是電子系統(tǒng)哈密頓量的本征值。將體系的總能量寫成電子部分εe和離子實部分εn之和，則晶格的薛定諤方程為其中，離子實之間的相互作用勢：離子實之間的關(guān)聯(lián)作用，使方程變成多體問題。本章首先從簡諧晶體的經(jīng)典運動討論起，建立離子實的運動方程,得到晶格振動“簡正模”(normalmode)的能量和頻率并討論其色散關(guān)系(即能量或頻率隨波矢的變化)。對于這樣的多體問題，本章將利用離子實對平衡位置偏離很小這一事實，對這種偏離作級數(shù)展開。級數(shù)展開后，首先只保留到第一個非零項(2次項)，即簡諧近似(harmonicapproximation)，相應(yīng)的晶體稱為簡諧晶體。本章重點：一、簡諧近似，一維單、雙原子鏈中格波的色散關(guān)系，聲學(xué)支和光學(xué)支；二