極限的基本性質(zhì)第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性局部有界性局部保號性函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

第二章

第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、收斂數(shù)列的性質(zhì)

1.唯一性定理1.1

(收斂數(shù)列極限的唯一性)即若則必有若極限則極限唯一.第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日(用反證法)及且取因

N1

N+,使當n>N1時,假設即當n>N1

時,從而使當n>N1

時,證法1第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日同理,因故

N2

N+,使當n>N2時,有從而使當n>N2

時,有從而使當n>N1

時,則當n>N時,矛盾！故假設不真!第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1

證明數(shù)列是發(fā)散的.證

用反證法.假設數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在.對于則存在N,使當n>N時,有因此該數(shù)列發(fā)散.于是推得矛盾！區(qū)間長度為1這與第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.有界性例如:有界無界第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日即若使(n=1,2,…).定理2.2(收斂數(shù)列的有界性)收斂的數(shù)列必定有界.第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日證設取則當時,從而有取則有即收斂數(shù)列必有界.有第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日注有界性是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.收斂有界關(guān)系：例如,雖有界，但不收斂.數(shù)列推論無界數(shù)列必發(fā)散.第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.保號性、保序性定理2.3(收斂數(shù)列的保號性)(1)若則使當n>N

時，(<)(<)(2)若則a0.(<)()恒有且第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日對a>0,取證(1)(2)

用反證法證明.注如：第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日推論2.3(保序性)使當n>N時，恒有(2)若時,有第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日證(用反證法)取因故存在N1,

使當n>N1

時,假設從而當n>N1

時,第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日從而同理,因故存在

N2,使當n>N2

時,有則當n>N時,便有與已知矛盾,于是定理得證.當n>N1

時,第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系(1)子數(shù)列的概念稱為數(shù)列{xn}的一個子數(shù)列(或子列)。第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日例如,從數(shù)列中抽出所有的偶數(shù)項是其子數(shù)列.它的第k項是組成的數(shù)列：第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2)收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系定理2.4也收斂，且證

設的任一子數(shù)列.若則當時,有取正整數(shù)K,使于是當時,有從而有第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日注定理1°

某收斂例如，但發(fā)散.2°

若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，則原數(shù)列一定發(fā)散.例如，

發(fā)散!第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性定理2.1'

(函數(shù)極限的唯一性)2.局部有界性第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日如：(2)若則

X>0,函數(shù)f(x)有界.使得當時，第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.局部保號性

定理2.3'

(函數(shù)極限的局部保號性)(1)如果且A>0,則存在(A<0)(2)如果且存在A

0.則(A

0).據(jù)此，可由極限符號推得函數(shù)在該點鄰域內(nèi)的符號據(jù)此，可由函數(shù)在該點鄰域內(nèi)的符號推得極限符號第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日(1)如果存在X>0(或δ>0),時,恒有f(x)<g(x)(或推論2.3'(函數(shù)極限的局部保序性)時,恒有第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日問題:若f(x)<g(x),能否推出？例如:設當x>0時,有f(x)<g(x),但是不能！第二十四頁，共二十五頁，2022年，8月2