湖北黃崗中學高考數學二輪復習考點解析11:平面向量及其

運用考點透析

【考點聚焦】

考點1:向量的概念、向量的加法和減法、實數與向量的積.

考點2：向量的坐標運算、平面向量的數量積.

考點3：向量的模與角的計算。.

【考點小測】

[(浙江卷)設向量滿足a+Z+c=d,aJL&Ja|=l,|b|=2,則?2=

(A)l(B)2(C)4(D)5

2.(2003年天津高考題)。是平面上一定點，4、B、C是平面上不共線的三個點，動點。滿

^OP-OAI,1(IHI)'2G[0，+°O)，則尸的軌跡一定通過歐的()

\AB\\AC\/

(A)外心(B)內心(C)重心(D)垂心//X

3.(廣東卷)如圖1所示，。是AJBC的邊上的中點，則向量麗=

B

A.-BC+-BAB.-BC--BAC.BC--BAD.BC+-&4圖〔

2222

4.(湖南卷)已知|￡卜2出|0,且關于x的方程X?+|￡|x+0有實根，則Z與否的

夾角的取值范圍是()A.[0,2]B.[2,p]C.[2,型]D.[2,p]

63336

5.(全國卷I)已知向量久6滿足同=1,網=4,,且ab=2,則4與b的夾角為

.nC兀C兀C冗

A.—B.—C.—D.—

6432

6.(山東卷)設向量0=(1,-2)力=(一2,4卜=(一1,一2),若表示向量4/,42c,2(a-c),d的有

向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d為

(A)(2,6)(B)(-2,6)(C)(2,-6)(D)(-2,-6)

7.(上海卷)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是()

(A)AB=DC；(B)AD+AB=AC；

(C)AB-AD=BD-,(D)AD+CB=0.

8.(北京卷)若三點Z(2,2),8(a,0),C(0,b)(abw0)共線，則的值等于_______.-

ab2

9.(2005年全國卷H)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量—(4,-3)(即點P的運

動方向與v相同，且每秒移動的距離為覘個單位.設開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒

后點P的坐標為(10,-5)

10.(湖南卷)已知直線辦+by+c=0與圓O：f+J=i相交于人、B兩點，且|AB尸JL

■—]

則CM-OB=.——

2

【典型考例】

【考型1】向量的有關概念與運算

此類題經常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復習中要充分理解平面向量的相關概念，熟練

掌握向量的坐標運算、數量積運算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件.

例1：已知Q是以點4(3,-1)為起點，且與向量5=(-3,4)平行的單位向量，則向量。的終點坐

標是.

思路分析：與Q平行的單位向量e=±旦

方法,：設向量。的終點坐標是(x,y),則。=(x-3,y+l),則題意可知

_1218

X=121189

4(x-3)+3(y+1)=0］或■

解得55555

(X—3)2+(y+D1

y=Ty

134

方法二與向量6=(-3,4)平行的單位向量是土g(-3,4),故可得Q=±(-g,g),從而向量a

的終點坐標是(x,y尸。一(3,-1),便可得結果.

點評：向量的概念較多，且容易混淆，在學習中要分清、理解各概念的實質，注意區(qū)分

共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念.

例2：已知|a|=l,|〃|=l,?與1的夾角為60°,x=2a一4則x與y的夾角的余弦是

多少？

思路分析：要計算x與y的夾角0,需求出的值.計算時要注意計算的準確性.

解：由已知|a|=|b|=l,a與b的夾角a為60°，得a?Z>=|a|步|cosa=g.0

要計算x與y的夾角仇需求出|r|,[y|,的值./1

肝=3=(2?—6)'=4?2—4??)+/=4—4Xg+1=3,y\

222221―60°\

\yr=y=(3b-a)=9b--6b?a+a2=9~6X-+1=7.產------

2A8

x,y=(2a—b),(3Z>—a)=6a,b—2a~—3b~+a?b

—la,b~2a2—3b2=7X——2—3=——,

22

3J21

Xx?j=|r||y|co50,即一一=VJXV7cos仇cosO=-.....

214

點評：①本題利用模的性質?『=/，②在計算xy的模時，還可以借助向量加法、減法的

幾何意義獲得:如圖所示，設方="AC=a,AD=2a,ZBAC=60°.由向量減法的幾何意義,

得麗=7萬一萬=加一尻由余弦定理易得|而|=百，即國=百，同理可得[y[=J7.

【考型2]向量共線與垂直條件的考查

例3.平面直角坐標系中，0為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(-l,3),若點C滿足

0C=a0A+p0B,其中a,[3GR且a+0=l,求點C的軌跡方程。.

解：(法一)設C(x,y),則OC=(x,y),由OC=(x,y)=a(3,l)+伙-1,3)=(3a/,a+3在)

二,=3"一"，(可從中解出a、尸)又?.七+夕=1消去a、夕得x+2y-5=0

y=a+3/3

(法二)利用向量的幾何運算，考慮定比分點公式的向量形式，結合條件知：A,B,C三

點共線，故點C的軌跡方程即為直線AB的方程x+2y—5=0,

例4.已知平面向量a=(JL-1),b=(JL,正).(1)若存在實數攵和，，便得x=a+(P—3)b,

22

j=-Aa+/b,且x_Ly,試求函數的關系式k=%t)：(2)根據(1)的結論，確定k=f(t)的單調區(qū)

間.

思路分析：①欲求函數關系式k=f(t),只需找到k與t之間的等量關系，k與t之間的

等量關系怎么得到？②求函數單調區(qū)間有哪些方法？(導數法、定義法)導數法是求單調

區(qū)間的簡捷有效的方法？

A”，、、+產—2后-3V3Z2-2V3-2

解：(1)法一：由題意知x=(------------------,-----------------------),

22

I

y=(-t—k,1+k),又x_Ly

22

22

乂t-2V3-3z1尻、.V3/-273-26,

故力?產-----------X(—t—V3k)+----------------------X(——t+k)=0.

2222

.1,3

整理得：t—3t—4k=0,即k=—t——t.

44

]A/3

法二：■=(百，—1),b=(—,；?.同=2,例=1且a_Lb

13

Vx±j,Ax-j=0,即一kk『+t(t2—3)例2=0,?..t3—3t—4k=0,即k=—t3—

1333

(2)由(1)知：k=qt)=-t3--t.?*'=10)=-t3--,

4444

令k'VO得一令k'>0得t<一l或t>l.

故k=Rt)的單調遞減區(qū)間是(一1,1),單調遞增區(qū)間是(-8,-1)和(1,+8).

點評：第(D問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的

坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量垂直

的充要條件，其過程要用到向量的數量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的(但運算

過程大大簡化，值得注意).第(2)問中求函數的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識

交匯點處的綜合運用.

例5：已知平面向量5=(、回，-1),b=(-,—),若存在不為零的實數k和角a,

22

使向量己=萬+(sina-3)6,2=-k5+(sina歷,且5，2,試求實數k的取值范圍.

139

解：由條件可得：k=—(sina——)2——，而一iWsinQW1,

4216

...當sina=-1時，k取最大值1；sina=1時，k取最小值一

2

又：。).?.k的取值范圍為［-p0)U(0,i］.

點撥與提示：將例題中的t略加改動，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查

了向量與三角函數、不等式綜合運用能力.

例6：已知向量Z=(1,J5)石=(一、歷,1),若正數k和t使得向量

(=)+(/2+1)加］=—左)+”垂直，求k的最小值.

t

解：xA.y<^>x-y=0即［a+(/2+1)/>］?(-ka+-/))=0

~*2+1■>2I->—)->-*

o-ka+--------b+-。?6-%(廠+1)。?6=0

tt

*/a=(1,V2),b=(—V2,l),.\\a|=V3,\b|=V3

a，b=-ypl+V2,代入上式一3k+3-———=/+—>2

tt

當且僅當t=L即t=l時，取“=”號，即k的最小值是2.

t

【考型3】向量的坐標運算與三角函數的考查

向量與三角函數結合，題目新穎而又精巧，既符合在知識的“交匯處”構題，又加強

了對雙基的考查.

例7.設函數f(x)=a?b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,JJsin2x),x￡R.(1)若f(x)=l

—月/可一?，y],求X；⑵若函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)(|m|<y)

平移后得到函數卜=?)的圖象，求實數m、n的值.

思路分析：本題主要考查平面向量的概念和計算、平移公式以及三角函數的恒等變換等

基本技能，

解：(1)依題設，f(x)=(2cosx,1)?(cosx,V3sin2x)=2cos2x+V3sin2x=1+2sin(2x+—)

6

由1+2sin(2x+—)=1—V3,得sin(2x+工尸----

662

71,)兀乃,、兀一57C,7TTC冗

——————,?——W2x+——W—,/.2r+——=———,HPx=——

33266634

(2)函數歹=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)平移后得到函數y=2sin2(x—m)+n的圖

象，即函數y=f(x)的圖象.

由(1)得f(x)=2sin2(x++1,.[加[V],m——n=l.

點評：①把函數的圖像按向量平移，可以看成是C上任一點按向量平移，由這些點平移

后的對應點所組成的圖象是C',明確了以上點的平移與整體圖象平移間的這種關系，也

就找到了此問題的解題途徑.②一般地，函數y=f(X)的圖象按向量a=(h,k)平移后的函數

解析式為y—k=f(x—h)

例8：已知。=(cosa,sina),b=(cosf^sin/i)(0<a<fi<7r),(1)求證：與a-A互相垂直；

(2)若加+力與。用的模大小相等伏目/WO),求￡一a

解：(1)證法一：Va=(cosa,sina),b=(cos。,sin。)

?\a+b=(cosa+cos夕,sina+sinp},a-b=(cosa-co鄧,sina-sinp)

.?.(a+5).(Q-0)=(cosa+cos廳,sina+sinQ?(cosa-cosB，sina-sinfi)

=co/a-co/隊si/a-sirrp=Q

.*.(a+b)A-(a-b)

證法二：Va=Qcosa,sina),b=(cosQc加液)，同=1,\b\=1

(a+b)(a-b)=a2-/>2=|a|2-|Z>|2=0；.(a+b)_L(a?b)

證法三:,：a=Qcosa,sina)J)=(co鄧原呻)A|a|=l,

記。4=a,OB=b,則1041=|051=1,

又，。、A.8三點不共線.

由向量加、減法的幾何意義，可知以。403為鄰邊的平行四邊形04cB是菱形，其

中OC=a+b,BA=a-b,由菱形對角線互相垂直，知(a+Z>)J_(Q-b)

(2)解:由已知得阿+〃與|a-泌I,

又\ka+b\~=(kcosa+cos^)2+(ksina+sin/i)2=ki+\+2kcos(fi—(i),

\ka+b\2~(cosa-kcos/3)l+(sina-ksin^')2=k1+1-2kcos(J3~a),

2kcos(fi—a)=-2kcos(fi—a)

又?：k豐0:.cos田一*=0

71

0<a<fi<7t0<0—a<n,a=一

注：本題是以平面向量的知識為平臺，考查了三角函數的有關運算，同時也體現(xiàn)了向

量垂直問題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據數量積的定義證明，二是利用

數量積的坐標運算來證明，三是利用向量運算的幾何意義來證明.

【考型4］向量運算的幾何意義與解析幾何

由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合

與轉換的橋梁和紐帶，文科應重視由向量運算的幾何意義求圓的方程和橢圓方程。

例9：設G、H分別為非等邊三角形ABC的重心與外心,A(0,2),B(0,一2)且麗=LAB(X

GR).(I)求點C(x,y)的軌跡E的方程；(II)過點(2,0)作直線L與曲線E交于點M、N

兩點，設浜=而+而，是否存在這樣的直線L,使四邊形OMPN是矩形？若存在，求

出直線的方程；若不存在，試說明理由.

思路分析：(1)通過向量的共線關系得到坐標的等量關系.(2)根據矩形應該具備的充要條

件，得到向量垂直關系，結合韋達定理，求得k的值.

Y*U.Y*

解：(1)由已知得Gig,：),又GH=24B,；.飛,0)

22

VCH=HA.?.(工一力2+/=($2+4即會+寧=](*彳±2百)

(2)設/方程為尸k(x-2),代入曲線E得(3k2+l)x2-12kx+12(k2-l)=0

設N(xi，pi),M(x2,及)，則A+X2=7V5x2=——；--

3k~+13k+1

"：OP=ON+OM,：.四邊形OMPN是平行四邊形.

若四邊形OMPN是矩形，則麗，兩

12(公—1)+尸J2(比2—1)_24/

+4)=0Wk=±V3

x2+y｝力=03上2+1'3左2+13二+1

...直線1為：尸y=±JJ(x-2)

點評：這是一道平面幾何、解析幾何、向量三者之間巧妙結合的問題.

例10：已知橢圓方程±+y2=1,過B(-1,0)的直線/交隨圓于C、D兩點，交直線x=

4

—4于E點，B、E分CZ)的比分入1、入2.求證：入1+入2=0

解：設/的方程為y=k(x+l),代入橢圓方程整理得

(4k2+l)x2+8kx+4(k2~l)=0.

8k24k2-4

設C(xi,y),DG2J2),則Xi+%2=一

24k2+VX'X2-412+1

由。8=48。得(―1—X]，—y)=4(乙+)

v+1.一-*

所以一1一天=4(^2+1),4=—1—.同理，記E(—4/Q,CE=；l2E。

X.+1

得一4一天=/l,(x,+4),42=-^^A2.+22=_^L±1_A11

2222

'x2+4'x2+lx2+4

2受+5(：+x[+8其中2可2+53+川+8=2?竺二-5?半+8=0,

121222

(x2+l)(x2+4)4k+\4k+\

4+A，2=o.

例U：給定拋物線C:4=&,F是C的焦點，過點F的直線/與C相交于A、B兩點.設/的斜率為1,

求方與無夾角的余弦。

解：C的焦點為F(1,0),直線，的斜率為1,所以/的方程為y=x—l,

將y=x—1代入方程y2=4x,并整理得x?—6x+1—0

設A),B(》2,y2),則有M+X2=6,XIX2=1,

從而。4,OB—xiXs+j^ij1?—2XIX2—(xi+xz)+1——3

\OA\'\OB\Jx：+」?Jx；=A/41,

c°s@，麗=麗西=一迥

\/網網41

例12.已知點G是4ABC的重心,A(0,-l),B(0,1),在x軸上有一點M,滿足|而又|=|疏

GM=XAB(九GR).⑴求點C的軌跡方程；

⑵若斜率為〃的直線/與點C的軌跡交于不同兩點P,Q,且滿足|而|=|麗1，試求左

的取值范圍.

［分析］本題依托向量給出等量關系，既考查向量的模、共線等基礎知識，又考查動點

的軌跡，直線與橢圓的位置關系.通過向量和解析幾何間的聯(lián)系，陳題新組，考查基礎知識

和基本方法.按照求軌跡方程的方法步驟，把向量問題坐標化，幾何問題代數化.

XV,‘一

解：⑴設C(x,y),則：GM=2LAB(九GR),；.GM〃AB,

又M是x軸上一點，則M(§,0).X|MA|=|MC|,

(0+1)2=J(1_x)2+y2,整理得、_+y2=l(x*0),即為曲線C的方程.

⑵①當kO時，/和橢圓C有不同兩交點P,Q,根據橢圓對稱性有I而1=1麗].

②當kWO時，可設/的方程為尸kx+m,

y=kx+m

2

聯(lián)立方程組\x,消去乃整理行1)=0(*)

S=i

???直線/和橢圓C交于不同兩點，

/.A=(6*m)2-4(1+3^2)X(m2-1)>0,即1+3必—n?>。.(1)

設P(X]J1),Q(T2j2)，則Xl,、2是方程(*)的兩相異實根，.'-XI+x2=—2

…山一一口X1+x)3km,m

則PQ的中點N(x()jo)的坐標是x()=-----^=-------，Vo=Exo+m=-------

2l+3k2l+3k2

3kmm

E[JN(1+31?'1+31?)

m.

----+l+3k2

又|AP|=|AQ|,AAN1PQ,：.k-k^=k-1+登一——=-1,/.m=------

3km2

―1+31?

1i網21.北2

將m=^—~~代入(1)式，得1+3F—(L_L.)2>O(kWO),

22

即F<1,/.A：e(-l,O)U(O,1).

綜合①②得，上的取值范圍是(一1,1).

對題目的要求：有較大的難度，有特別的解題思路、演變角度，要有一定的梯度.

【課后訓練】

1.已知向量a=(1,2)/=(-2,-4),|c|=括,若(a+6)-c=/,則a與第J夾角為()

A30°B60°C120°D150°

2.已知點MI(6,2)和M?(1,7),直線尸nx-7與線段M1M2的交點分有向線段M1M2

的比為3：2,則的值為()

3.已知a,b是非零向量且滿足(a-2b)±a,(b-2a)lb,則a與b的夾角是()

7T7T2兀57r

A-B-C—D—

6336

4.已知向量OB=(2,0),向量0C=(2,2),向量CA=(0cosa,J^sina),則向量OA

與向量麗的夾角的范圍為()

Tt「兀5兀_157171rr兀57tr

Ar[0,-]BL—，—」C[r—，一]D,——]

44121221212

5.設坐標原點為O,拋物線丁=級與過焦點的直線交于A,B兩點，則OA?OB=()

33

ABC3D-3

44

6.O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足麗=6云+入()，

九e[0,+8),則點P的軌跡一定通過4ABC的()

A外心B內心C重心D垂心

7.點尸在平面上作勻速直線運動，速度向量v=(4,-3)(即點P的運動方向與v相同，且

每秒移動的距離為M個單位).設開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后點P的

坐標為()

A(-2,4)B(-30,25)C(10,-5)D(5,-10)

8.已知向量“We,\e\=\,對任意/6R,恒有|。一?冽a-e|,則()

—?—*—?—?—?—>—?—?-*—*—?

AaA.eBaL(a—e)CeA-(a—e)D(a+e)±(o—e)

9.P是△ABC所在平面上一點，若方?麗=麗?正=正?百，則P是aABC的(D)

A外心B內心C重心D垂心

10.△ABC中，^a4+b4+c4=2cz(a2+b2),則NC度數是：

A60°B45°或135°C120°I)30°

11.已知向量a=(cos0,sin。)，向量b=(JJ,—l),則|2a—b|的最大值是

12.把函數y=2f—4x+5的圖像按向量a平移，得到產2f的圖像，且a，b,c=(l,-1),b-c=4,

貝IIb=____________

13.已知平面上三點Z、B、C滿足||=3,|BC|=4,|CA|=5,則

AB?BC+BC?CA+CA?AB的值等于.

14.在中，O為中線AM上一個動點，若AM=2,

則OA?(OB+OC)的最小值是.

15.已知向量a=(sin。，1),b=(l,cos。)，

(I)若aLb,求6；(II)求Ia+bI的最大值.

16.06年江西卷)如圖，已知aABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是

邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G,

兀2%

設NMGA=a(—<a<-―-)

33

(1)試將aAGM、AAGN的面積(分別記為，與S?)

表示為a的函數

(2)求卜=4十—I的最大值與最小值

22

S.S2

17.已知定點F(l,0),動點P在夕軸上運動，過點P作PM交x軸于點M,并延長MP至

點N,且麗?麗=0,麗=麗.(1)求動點N的軌跡方程；

⑵直線/與動點N的軌跡交于A、B兩點，若萬L礪=-4且4后<|/8區(qū)4廊，

求直線/的斜率的取值范圍.

18.已知兩點M(-l,0),N(1,0),且點P使麗?麗，1PMPN,麗?而成公差小

于零的等差數列.(I)點P的軌跡是什么曲線？

(H)若點P坐標為(X。、為)，記。為麗與樂的夾角，求tan。.

答案與提示：

一5

1.C提示：設3=(x,y),m(5+/))-c=(-1,-2)\x,y)=-x-2y=-9又

1=逐，所以不工=x+2y=|方|?|萬|?cosa,得cosa=—g,a-120°,

33

6+-xl2+-x7

2.D提示：設交點M(xy),x=—七一=3,y=—、一=5,代入直線方程可得.

1+-1+-

22

3.B提示：a?-2b?a=0且b'—2a?b=0,相減得IaI=IbI,代入其中一式即可.

4.D提示：點C的軌跡是以(2,2)為圓心，、后為半徑的圓.

5.B提示：設A(xiji)，B(》242)，OA?OB=/》2+乃力=攵牛I+%??？，將直線

方程尸k(x—0.5)代入拋物線方程消去x可得為力.

6.B提示：=表示N6方向上的單位向量，表示ZC方向上的單位向量,

\AB\\AC\

ABAC

Fr+Wr在/BAC的平分線上，故P點的軌跡過三角形的內心.

|AC||AC|

7.C提示：設5秒后點P運動到點A,則方=所+厲=57=(20,—15),

.,.04=(20,-15)4-(-10,10)=(10,-5).

8.c提示：由|￡一八|》I￡一"I得I￡一八|￡一"「，展開并整理得

/一2ae/+2ae-l?0,由/e火,得=(-2i/e)2+4-Sae<0,得e(a-e)-0,即

aA.(a-e).

9.D提示：由西?麗=麗?記得莎?麗一麗?正=0.

即麗?(西-定)=0,即麗CA^O,則尸8J,C4同理均1BC,PC1AB

所以P為A48C的垂心.

10.B提示:Sa4+b4+c4=2c2(a2+b2)W：a'+b'+c'—2a2cJZtfV+Za'bJ2a2b;即(a'PcTuZab

a2+b2-c2=±V2ab,"十'-----—=±-=COSC

11.4

12.(3,-1)

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