高中數(shù)學(xué)一題多解經(jīng)典題型匯編【典例1】設(shè)A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是（）A．B．C．D．解法一：運(yùn)算法A.，A錯誤B.或，B錯誤C.，又，C正確D.，D錯誤解法二：特殊值法由題意，不妨設(shè)，則A.，A錯誤B.，B錯誤C.，C正確D.，D錯誤解法三：韋恩圖法如右圖所示，通過韋恩圖直接判斷選項的正誤.◆

方法解讀

◆解法一：應(yīng)用這種解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本運(yùn)算法則，比較抽象也有難度。解法二：通過取特殊值后，使各式的運(yùn)算結(jié)果一目了然，更便于判斷，因此該方法比較簡單。解法三：韋恩圖更加地形象直觀，能夠快速、準(zhǔn)確的作出判斷，此法它利用了數(shù)形結(jié)合的思想?！镜淅?】已知（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對于的點(diǎn)位于第象限.解法一：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法第四象限.解法二：利用相等復(fù)數(shù)法（待定系數(shù)法）設(shè)復(fù)數(shù)，則第四象限.◆

方法解讀

◆解法一：先通過解方程得出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系判斷出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限，該方法比較直接。解法二：復(fù)數(shù)有固定的表達(dá)形式，有時不妨假設(shè)出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，然后再利用待定系數(shù)法解出a，b的值，這種方法在有些時候非要有用?！镜淅?】若變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值是．解法一：解方程法將原式的不等號看成等號，得由①②，得由①③，得由②③，得比較的大小，得z=3x+y的最大值是2.解法二：作圖法由圖可知，只有當(dāng)待定直線過點(diǎn)時，直線的截距才最大，即.◆

方法解讀

◆解法一：解方程法雖然來得快，但是并不是所有線性規(guī)劃題型都適用，具有一定的局限性。解法二：作圖法比較直觀，但是很多同學(xué)作圖不規(guī)范、區(qū)域找不準(zhǔn)也容易造成丟分。因此一定要掌握好作圖法的精髓，避免不必要的丟分?！镜淅?】當(dāng)時，函數(shù)的最大值是．解法一：二次函數(shù)圖像法.解法二：均值不等式法由不等式知當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立故.解法三：單調(diào)性法（求導(dǎo)法）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.◆

方法解讀

◆解法一：二次函數(shù)圖像法在初中階段就已經(jīng)深入學(xué)習(xí)，要用此法一定要充分掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，知道如何求二次函數(shù)的對稱軸，最值等方法。解法二：觀察該函數(shù)的結(jié)構(gòu)，可用均值不等式求其最值。但是用均值不等式求最值一定要注意三個前提條件“一正、二定、三相等”，如果無法取到等號那討論將失去意義，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)特別注意。解法三：通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，再將函數(shù)的極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，從而得到最值。【典例5】已知，且，則.解法一：解方程組法①又②即解得或由，.解法二：整體代入法①又②原式=.解法三：萬能公式法解得.◆

方法解讀

◆解法一：解方程組法是非常常規(guī)的方法，是大多數(shù)同學(xué)普遍使用的方法。但是應(yīng)用該方法計算相當(dāng)繁瑣，而且不易計算。解法二：觀察所求式子的結(jié)構(gòu)，采用整體代入法是本題的技巧，但是該方法不是所有題目都適用，同學(xué)們要靈活的運(yùn)用，不能死記硬背，機(jī)械記憶。解法三：此題也可以用萬能公式法，但是很多同學(xué)記不住萬能公式。因此有些必要的公式還需要同學(xué)們加強(qiáng)記憶和鞏固，只有基本功扎實(shí)了，才能應(yīng)付靈活多變的數(shù)學(xué)難題?！镜淅?】已知向量，，，且三點(diǎn)共線，則.解法一：距離公式法三點(diǎn)共線取O點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由，解得.解法二：共線向量法三點(diǎn)共線①②.解法三：斜率法三點(diǎn)共線又，，①②.◆

方法解讀

◆解法一：距離公式法屬于常規(guī)法，容易想到。但應(yīng)用此法主要的困難是去掉根號這一步，要等式兩邊同時平方兩次才能將根號去掉，計算量相當(dāng)大，一般來說不建議應(yīng)用此方法。解法二：將三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為共線向量問題，是解決該題最好的方法和思路。因此在以后遇到的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，轉(zhuǎn)化思想仍然值得每位同學(xué)理解和掌握。解法三：斜率法也是解決該題很好的方法，應(yīng)用此法可以減少很多計算，過程簡單，邏輯鮮明?！镜淅?】已知函數(shù)滿足，則.解法一：圖像平移法是將的圖像向右平移2個單位長度得到因此再將的圖像向左平移2個單位長度，得即.解法二：賦值法為了得到，不妨令，則即.解法三：換元法令，則即.解法四：構(gòu)造法將看成整體，即.解法五：待定系數(shù)法（特殊值法）由題意知，為二次函數(shù)不妨設(shè)，則由，得當(dāng)時，有①當(dāng)時，有②當(dāng)時，有③聯(lián)立解得即.◆

方法解讀

◆解法一：應(yīng)用圖像平移法一定要清楚函數(shù)圖像平移的原則：左加右減，上加下減。左右平移變化的是x(橫坐標(biāo))，上下平移變化的是y(縱坐標(biāo))。解法二：賦值法的本質(zhì)是換元法，所以此方法與換元法相一致，值得一提的是x=x+2的意思是將x+2賦給x，這里的等號不是嚴(yán)格意義上的等號，否則出現(xiàn)0=2的邏輯錯誤。解法三：換元法是求函數(shù)解析式最重要的方法之一，同學(xué)們一定要熟悉掌握。但此方法也有局限性，不是所有題目都適用，有些題目只能用其他方法如解方程組法、整體代入法等。解法四：構(gòu)造法也叫配湊法，也是求函數(shù)解析式常用的方法之一，配湊的原則是“形式一致性”，只有配湊與函數(shù)自變量一致的形式，才能整體換元。解法五：待定系數(shù)法最重要的思想是已知函數(shù)的類型，從而假設(shè)出函數(shù)的解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的系數(shù)或參數(shù)?！镜淅?】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.解法一：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的定義域?yàn)榱?，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又在上單調(diào)遞增故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增解法二：利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系的定義域?yàn)楣试趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增.◆

方法解讀

◆解法一：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則，即當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性相同時，復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性不同時，復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞減。值得一提的是，所有函數(shù)都要在定義域的范圍之內(nèi)進(jìn)行討論和研究，超出定義域的范圍函數(shù)沒有意義。解法二：利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來求函數(shù)的單調(diào)性，是中學(xué)階段最重要的思想方法之一。同學(xué)們一定要掌握：只要導(dǎo)函數(shù)大于零的區(qū)間，函數(shù)一定單調(diào)遞增；只要導(dǎo)函數(shù)小于零的區(qū)間，函數(shù)一定單調(diào)遞減；在導(dǎo)數(shù)為零處，函數(shù)的增減性無法判斷。【典例9】已知直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.解法一：點(diǎn)斜式法由顯然，當(dāng)時，點(diǎn)與直線斜率k無關(guān)故直線過定點(diǎn).解法二：解方程組法（特殊直線交點(diǎn)法）取時，得①取時，得②聯(lián)立①②式，解得即直線過定點(diǎn).◆

方法解讀

◆解法一：點(diǎn)斜式法求直線過定點(diǎn)是最直接的方法，這也是最常規(guī)的方法。但在有些題型中很難將給定的待定直線寫成點(diǎn)斜式，這就要求同學(xué)們另尋他法，以求得解。解法二：解方程組法的基本思路是尋找特殊的兩條直線的交點(diǎn)，這個交點(diǎn)即為直線所經(jīng)過的定點(diǎn)。這是目前解決此類問題最好的方法，同學(xué)們一定要掌握其精髓，已達(dá)到事半功倍的效果?！镜淅?0】已知ABC為等邊三角形，D是BC上的點(diǎn)，AB=4，BD=1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))=________．解法一：直接運(yùn)算法（數(shù)量積公式、向量的加法）.解法二：三角函數(shù)法（余弦定理法）由余弦定理，得.解法三：建立坐標(biāo)系法取BC的中點(diǎn)為O，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：，，，.◆

方法解讀

◆解法一：直接運(yùn)算法是解決此類題型最常規(guī)的方法之一，應(yīng)用此方法要求熟悉向量的基本運(yùn)算法則，掌握平行四邊形法則和三角形法則，只有基本功扎實(shí)了，才能如魚得水。解法二：三角函數(shù)法是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及射影定理等公式結(jié)合向量運(yùn)算規(guī)律求解，綜合性較強(qiáng)，要求熟悉掌握解三角形的有關(guān)知識。在一定程度上也是解題不錯的方法。解法三：建立坐標(biāo)系法是解決此題的一大亮點(diǎn)，通過建立平面直角坐標(biāo)系使問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，很大程度上減少了運(yùn)算過程和難度，是同學(xué)們應(yīng)當(dāng)理解并掌握的解題方法?！镜淅?1】求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程是．解法一：判別式法由題意知，設(shè)直線的方程為，則解得故所求直線方程為或.解法二：圓切線的性質(zhì)法由題意知，設(shè)直線的方程為，則又因?yàn)閳A心為圓心到直線的距離等于半徑，即解得故所求直線方程為或.◆

方法解讀

◆解法一：依據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，直線與圓相切，意味著將直線與圓聯(lián)立方程后消去y得到的關(guān)于x的一元二次方程有唯一的實(shí)數(shù)根，從而轉(zhuǎn)化為Δ=0的解方程問題。該方法的思路非常簡單，也屬于常規(guī)法之一。但是應(yīng)用此方法解題有時候計算量太大，通常不建議應(yīng)使用該方法。解法二：利用切線的性質(zhì)是解決此類題型非常好的方法，而且計算量小，過程簡單，非常值得每位同學(xué)去學(xué)習(xí)和掌握?！镜淅?2】函數(shù)的大致圖像為（）解法一：分段函數(shù)法①當(dāng)時，，此時有②當(dāng)時，，此時有只有D符合題意解法二：特殊值法①取，則，排除B、C ②取，則，排除A只有D符合題意解法三：極限法只有D符合題意◆

方法解讀

◆解法一：觀察題目中函數(shù)的表達(dá)式有絕對值，因此考慮去掉絕對值，方法是將函數(shù)區(qū)間討論。解法二：特殊值法是解決函數(shù)圖像題型最好的方法之一，通過取特殊的自變量值大致知道函數(shù)值，然后將答案一一排除。應(yīng)用此法應(yīng)當(dāng)注意的問題是：所取的特殊值一要能夠猜測函數(shù)值的大小，而要能夠和其他選項的圖像區(qū)分開來，否則所取數(shù)值將失去意義。解法三：極限思想是同學(xué)們學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)較難理解和掌握的一個重要思想，它所指的就是無限逼近的意思。掌握好此方法，一定能夠讓你在學(xué)習(xí)的道路上脫穎而出！【典例13】已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的解集為.解法一：偶函數(shù)特性法由題意，得即不等式的解集為.解法二：特殊函數(shù)法由題意，不妨取，則即不等式的解集為.◆

方法解讀

◆解法一：根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，畫出草圖，便于分析結(jié)論。草圖只要滿足題意，可以任意畫，只要方便解題即可。解法二：特殊函數(shù)法是解決此類問題非常好的方法之一。首先題干只給了函數(shù)的某些性質(zhì)，具體解析式并沒有直接給出，這是典型的抽象函數(shù)。同學(xué)們可根據(jù)題干描述，找到性質(zhì)與之相對應(yīng)的特殊函數(shù)，從而使問題迎刃而解。這種方法在選擇題或填空題中非要好用，因?yàn)樗⒉灰筮^程的嚴(yán)謹(jǐn)性，但用此法的前提是要熟悉一些常見函數(shù)的圖像與性質(zhì)。【典例14】已知，，，則（）A.B.C.D.解法一：函數(shù)圖像法，由的圖像與性質(zhì)知：①，由的圖像與性質(zhì)知：a值越大函數(shù)圖像越靠近y軸②綜上所述，得.解法二：跟特殊值比較法①②綜上所述，得.解法三：假設(shè)法（反證法）①假設(shè)，則，假設(shè)成立②假設(shè)，則，假設(shè)不成立綜上所述，得.◆

方法解讀

◆解法一：函數(shù)圖像法是解決比較大小題型的常用方法之一，此類題型一般都考察我們對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解及掌握情況，因此要求同學(xué)們一定要熟悉掌握基本初等函數(shù)的有關(guān)圖像與性質(zhì)，做到融會貫通，靈活應(yīng)用。解法二：跟特殊值比較法是解決此類題型的專用方法，很有具有特殊和代表性。這里的特殊值一般是0或1，但有些時候也會跟其他特殊值比較，比如此題就是跟特殊值2作比較后得出了結(jié)論。同學(xué)們要活學(xué)活用，靈活應(yīng)對。解法三：假設(shè)法是老師自己想出來的方法，但假設(shè)法（反證法）的確在高中學(xué)習(xí)中占有重要的地位，在數(shù)學(xué)和物理中經(jīng)常用到。有時候在題目中需要判斷一種說法或命題是否正確，不妨假設(shè)其成立，再用邏輯推理證明，使問題迎刃而解?！镜淅?5】化簡：.解法一：配湊和差角公式解法二：輔助角公式◆

方法解讀

◆解法一：配湊和差角法有兩個要求，一要熟悉和差角公式，二要記得特殊角的三角函數(shù)值。只有對三角恒等變換相當(dāng)?shù)氖煜ぃ拍苋跁炌?。解法二：輔助角公式是將“asinx+bcosx”化為“Asin(x+)”形式的有力工具，一般情況下我們都采用輔助角公式來處理類似的問題，但唯獨(dú)需要注意的問題是：角一般是銳角，有時還可能是負(fù)的銳角。【典例16】若數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列的通項公式.解法一：定義法由等比數(shù)列的前n項和公式知：滿足上式子，因此數(shù)列是等比數(shù)列且有.法二：an與Sn關(guān)系法(1)當(dāng)時，(2)當(dāng)時，①②①－②，得.◆

方法解讀

◆解法一：觀察等比數(shù)列的前n項和Sn發(fā)現(xiàn)，其具有Sn=Aan+B的結(jié)構(gòu)，即滿足該式的數(shù)列一定為等比數(shù)列，這就是判斷某個數(shù)列是否為等比數(shù)列的一個方法。既然題干中的式子滿足Sn=Aan+B，直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可。解法二：通常情況下，如果在題目中看到某個數(shù)列的通項公式an與前n項和Sn的關(guān)系，即an與Sn的關(guān)系，我們就要首先想到公式。值得一提的是，該公式適用于所有數(shù)列，如果題目中已經(jīng)給出了a1的數(shù)值，那么在利用上式求得的an公式時，一定要驗(yàn)證這里的a1跟題干的a1是否相同，如果不相同，則要寫成分段數(shù)列的形式；如果相同，則不需要分開來寫。這是大多數(shù)同學(xué)容易犯錯的地方，注意題中的陷阱，要非常小心！【典例17】若，且滿足，則的最小值是.解法一：均值不等式法不妨令，則或（舍去）當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立即當(dāng)時，.解法二：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值法(1)當(dāng)時：當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.(2)當(dāng)時：當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立又而因此不滿足題意綜上所述，得.◆

方法解讀

◆解法一：均值不等式中的a，b不一定是單個變量，它可以是一個整體或式子。應(yīng)用時只要滿足均值不等式的使用條件，原則上都可以運(yùn)用。解法二：x，y是兩個變量，這在大學(xué)的學(xué)習(xí)中叫做二元函數(shù)，二元函數(shù)研究起來比一元函數(shù)難度大得多，因此我們總是試圖將二元的變?yōu)橐辉?。因?yàn)轭}干中已經(jīng)給出了x與y的關(guān)系式，通過該式恰好可以用x的式子表示y，這就成功的將二元函數(shù)變?yōu)榱艘辉瘮?shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為討論一元函數(shù)的值域問題，非常簡單。【典例18】已知橢圓，在橢圓C上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離最短，則最短距離為.解法一：常規(guī)法設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上又只有當(dāng)時才有最短距離即令，則①②在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減即.解法二：數(shù)形結(jié)合法當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離最小時，設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為，如圖所示，則顯然舍去（這是距離最大的時候?qū)?yīng)的截距）故因此最短距離即為兩直線之間的距離.解法三：參數(shù)方程法設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，.◆

方法解讀

◆解法一：通常的思路是假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)P又在橢圓上，因此滿足橢圓方程，此時將有關(guān)y的式子代替x，使得未知數(shù)變?yōu)橐粋€。然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式列出式子，最后轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問題。此方法思路簡單，但過程繁瑣，不建議使用。解法二：數(shù)學(xué)結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)最常用的方法之一，而且通過圖形能夠形象地反映問題的性質(zhì)，便于分析和理解，是非常好用的解題方法。解法三：本題最好的解決方法就是參數(shù)方程法，利用橢圓的參數(shù)方程，假設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題，從而順利、快速的解決了問題。由此得到這樣的啟發(fā)：數(shù)學(xué)模塊并不是孤立的，很多知識結(jié)構(gòu)存在著這樣或者那樣的聯(lián)系，這給我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)增加難度的同時，也為我們提供了更多的解決問題的思路和方法?！镜淅?9】設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有.求角A的大小.解法一：和差角公式法又.解法二：正、余弦定理法由正弦定理，得由余弦定理，得解法三：射影定理法①由射影定理，得②◆

方法解讀

◆解法一：和差角公式在三角函數(shù)中占有舉足輕重的地位，非常重要，應(yīng)用要注意前后同角，即都為α,β，不是同角的要先用誘導(dǎo)公式化簡后再使用和差角公式，特別注意。解法二：正弦定理和余弦定理是解三角形題型必考知識，同學(xué)們處理熟記正、余弦定理公式外，還應(yīng)當(dāng)記住它們常用的變式，只有這樣，才能應(yīng)對靈活多變的數(shù)學(xué)題目。解法三：射影定理一般很少使用，但有些時候應(yīng)用射影定理解題非常方便。公式本身也特別好記憶，請同學(xué)們牢記于心?！镜淅?0】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞增，又滿足，則的解集是.解法一：特殊圖像法由題意，畫出函數(shù)的草圖，如圖所示由圖可知：即的解集為.解法二：特殊函數(shù)法根據(jù)題意，不妨設(shè)，則①當(dāng)時，②當(dāng)時，綜上所述，得的解集為.◆

方法解讀

◆解法一：題干中所描述的函數(shù)f(x)不知其解析式，屬于抽象函數(shù)。在不違背題意的情況下，可以畫出滿足題意的草圖，從而直觀的分析和解決問題。圖像法是解決函數(shù)題型非常好用的方法。解法二：特殊函數(shù)不具備普遍性，但對于選擇填空題來說，只要找到滿足題意的函數(shù)即可，過程的嚴(yán)謹(jǐn)性不作要求，因此同學(xué)們盡管大膽地猜想，只要滿足題意的函數(shù)都可以解決該題。后面做壓軸題就會發(fā)現(xiàn)，特殊函數(shù)大有用武之處！【典例21】如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA=AB=1，BC=2．求證：EF∥平面PAB.解法一：線面關(guān)系轉(zhuǎn)化線線關(guān)系為的中位線即①又四邊形為矩形②而故.得證解法二：線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線與面的法向量關(guān)系①四邊形為矩形②又而為面的法向量③而④故.得證解法三：建立空間坐標(biāo)系法（向量法）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，，，，設(shè)面的法向量為，則取，則.得證◆

方法解讀

◆解法一：此方法的基本思路是：要證明線面平行，只需證明線與面內(nèi)的一條直線平行即可。但需要注意答題過程的規(guī)范性，一定要強(qiáng)調(diào)線不在面內(nèi)，以及強(qiáng)調(diào)面內(nèi)的那條直線含于平面。這是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之處，同學(xué)們一定要牢記！解法二：直線證明線面平行可能存在很多困難，這時可以考慮利用直線與平面的法向量關(guān)系間接證明，旁敲側(cè)擊到達(dá)目的。但應(yīng)用此法前一定要先找到平面的法向量，而平面的法向量有無數(shù)多個，只需找到一個即可。解法三：建立坐標(biāo)法就是想把證明線面平行的問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問題，該方法與法二本質(zhì)上是一致的，即都是尋找直線與平面法向量的關(guān)系。此法思路也非常簡單，值得注意的是，一要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)的選擇非常重要；二要細(xì)心準(zhǔn)確地找到各點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)，很多同學(xué)就是因?yàn)樽鴺?biāo)找不準(zhǔn)，造成不必要的丟分?！镜淅?2】為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度解法一：驗(yàn)證法A.若向左平移個單位長度，則，不符題意B.若向右平移個單位長度，則，不符題意C.若向左平移個單位長度，則，不符題意D.若向右平移個單位長度，則，符合題意答案選D解法二：圖像平移原則法根據(jù)圖像平移規(guī)則，得只有將的圖像向右平移個單位長度，才能得到.答案選D解法三：假設(shè)法假設(shè)將的圖像平移個單位長度，得經(jīng)整理，得①而題中的函數(shù)為②因此有即只需將的圖像向右平移個單位長度，即可得到的圖像.◆

方法解讀

◆解法一：通過逐一驗(yàn)證選項肯定能夠得出正確的答案，但是這種做法很浪費(fèi)時間。一般老師不建議同學(xué)們采用這種做法，除非沒有思路的情況下，迫不得已而為之。解法二：通過對平移后的函數(shù)作適當(dāng)整理，能夠直觀地看出圖像的平移情況，是非常好的做法。這也是我們需要學(xué)習(xí)和掌握的方法。解法三：先假設(shè)出原來的函數(shù)圖像有一個平移，在不知道是將函數(shù)圖像向左還是向右平移時，一律寫成加號；然后再將平移后的函數(shù)與題干中的函數(shù)進(jìn)行比較，得出結(jié)論。這也是此類題型常用的方法之一，請同學(xué)們牢記和掌握?！镜淅?3】關(guān)于x的方程恒有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解法一：將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題令，則由題意知，方程恒有正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解法二：將方程有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題令，則要使方程恒有解，只需（函數(shù)圖像有交點(diǎn)）即.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.◆

方法解讀

◆解法一：將方程的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題是高中數(shù)學(xué)非要重要的思想方法，這也使得函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位。同學(xué)們一定要掌握常見函數(shù)的圖像與性質(zhì)，例如一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、反比例函數(shù)、對勾函數(shù)等，題做多了就會發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，經(jīng)?？疾?。解法二：此方法利用了對勾函數(shù)的性質(zhì)，將方程有解問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像有交點(diǎn)的問題，而對勾函數(shù)的最值問題又可以應(yīng)用均值不等式求得，綜合性較強(qiáng)。因此要求同學(xué)們要掌握對勾函數(shù)的圖像、單調(diào)性、最值以及基本不等式的應(yīng)用，在將來的學(xué)習(xí)中，還可以用導(dǎo)數(shù)的知識解釋對勾函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，這里不作詳解?！镜淅?4】函數(shù)的值域?yàn)?解法一：判別式法令，則以上是高次不等式，運(yùn)用穿線法：因此，有或或①又由因此對稱軸一定在內(nèi)②聯(lián)立①②，解得.故函數(shù)的值域?yàn)?解法二：求導(dǎo)數(shù)法①②上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.解法三：換元法+均值不等式法令當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立故函數(shù)的值域?yàn)?◆

方法解讀

◆解法一：對原函數(shù)進(jìn)行整理后發(fā)現(xiàn)，這是一個關(guān)于cosx的一元二次方程，這個方程肯定是有解的，因此將問題轉(zhuǎn)化為解不等式Δ≥0的問題。但這里的自變量是受限制的，即|cosx|≤1，也就是說這個方程在[-1,1]上一定有解，這是容易忽視的一點(diǎn)。解法二：求導(dǎo)數(shù)法基本的思路是：先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值，再將極值與函數(shù)的端點(diǎn)值比較，進(jìn)而得到最大值和最小值，最后得出函數(shù)的值域。但是有時候求導(dǎo)比較困難，或者說容易粗心丟分，所以要求同學(xué)們要足夠的細(xì)心，還要有耐心。解法三：注意到函數(shù)的解析式中有根號，一般要用換元法先將根號去掉，去掉根號后發(fā)現(xiàn)可以用基本不等式處理。用均值不等式求最值要滿足三個必要條件“一正、二定、三相等”，三個條件缺一不可?！镜淅?5】對任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解法一：函數(shù)圖像法令，則分段點(diǎn)為(1)當(dāng)時，(2)當(dāng)時，(3)當(dāng)時，綜上所述，得函數(shù)的圖像如圖所示，由圖知：不等式恒成立只需即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解法二：三角不等式法由不等式，得不等式恒成立只需a小于的最小值即.◆

方法解讀

◆解法一：要畫出函數(shù)的圖像首先要去掉絕對值，可以用零點(diǎn)分段法將絕對值去掉，然后畫出函數(shù)圖像。要使不等式|x-3|+|x+5|>a恒成立，即兩個函數(shù)的圖像無交點(diǎn)，由此結(jié)論得出a的取值范圍。解法二：三角不等式是解決絕對值不等式最值問題常用的方法之一，同學(xué)們要熟記并學(xué)會靈活運(yùn)用。三角不等式的證明可以由任意三角形的三邊關(guān)系得證，即任意三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊?！镜淅?6】在三棱錐P－ABC中，PA=PB=PC=2，BC=1，AC=，ACBC．求點(diǎn)B到平面PAC的距離．