向量組及其線性組合本章主要介紹線性代數(shù)的幾何理論,把線性方程組的理論翻譯成幾何的語言(也就是翻譯成向量的語言).所以這一章中的關(guān)鍵是要把一些基本概念掌握好.在平面幾何中,平面上的向量是有向線段. x在平面中建立直角坐標(biāo)系后,平面中的任何一個(gè)向量都有坐標(biāo),或記為(xy)照2

x

yx,y

平面中的所有平面中的所有向量與照2中的元素一一對應(yīng)z,z

(x,y,z)空間中的所有向量與照2空間中的所有向量與照2中的元素一一對應(yīng)照3:zz

x,yz照照2中元素稱2維列向量直觀,就是有向線段

照3中元素稱為3維列向量 i x1 x1 i

n

:

,列向量用,,表示,

:

:

x照,1i

n

n n維行向量(x,·x),行向量用T,T,T 向量組:若干個(gè)同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合 2節(jié)課設(shè)矩陣Am×n(,·,) :,則矩陣A的所有列向量是一個(gè)含有n個(gè)m維列向量 Am向量組Amn維行向量的向量組,所以矩陣可以等同于含有有限個(gè)向量的向量組.矩陣是聯(lián)系方程組理論與幾何理論的紐帶.定義.給定一個(gè)向量組1,·,m,k11·kmm稱為α1,αm的線性組合,k1,·kmR,β稱為可由α1,αm線性表示.1.可由1,·,mx·x

:

有解秩(,·,秩(,·,1 m m

xm,件,線性方程組有解當(dāng)前僅當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩我們剛才介紹了一個(gè)向量可由另一個(gè)向量組線性表示的概念,現(xiàn)在我們介紹一個(gè)向量組可定義.設(shè)有兩個(gè)向量A1,·,mB1,·l.B組中每個(gè)i可由向量A性表示則稱BA線性表示,AB相互線性表示,則101 1例,,與,等價(jià)012 01若向量組{1,·l}可由向量組{1,·,m}線性表示,kij,k·k (,·,):,1jl 1j

mj

m k

mj·k1l所以(1,·,l)(1,·,m) :kk

·kmlKmlkij稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣.A1,·,m)B1,·l對這個(gè)關(guān)系式我們可以做三種解釋矩陣語言:BAK的乘積矩陣方程語言:KAXB的解幾何語言 向量組{1,·,l}可由向量組{1,·,m}線性表示利用我們以前講過的線性方程組的理論,我們立刻可以得到一個(gè)向量組可由另一個(gè)向量組定理2.向量組1,·,l可由向量組1,·,m線性表示矩陣方程(1,·l)(1,·,mX矩陣(1,·,m)的秩矩陣(1,·,m,1,·,l)的秩,第二個(gè)充要條件是根據(jù)矩陣方程有解的充要條件由上面的定理,我們可以得到兩個(gè)向量組等價(jià)的充要條件推論 向量組{1,·,m}與向量組{1,·,l}等R(1,·,m)R(1,·,l)R(1,·,m,1,·,l)以前我們介紹過矩陣的等價(jià),在這里我們又介紹了向量組的等價(jià),下面我們看一看矩陣的等注意.AB行等價(jià),AB的行向量組等價(jià),AB等價(jià)AB的行向量組等價(jià)11

12

1

10例1.設(shè),1, , 22

3

40

1 ,032032行變1 x000000x0000003 R(1,2,3)R(1,2,3)2 2 3c (1,2,3XXc212c11 0 3c

2cc

(3c2)1(2c1)2c3 性質(zhì).(線性表示的傳遞性)若12,·l線性表示,性表示.則可由1,·,m線性表示.證:設(shè)k11k22·kll

1,2,·,l可由1,·,mi都是向量組1,·,m的線性組合,把它們帶入上面的式子,寫成1,·,m的線性組合 定理3.設(shè)向量1,2,·,l可由向量組1,·,m線性表示.R(1,·l)R(1,·,m)證(1,·l1,·,mX有解所以R(1,·,m)R(1,·,m,1,·,l)R(1,·,l) 例.Amn1,·,n(按列分塊),Eme1,·em(按列分塊證明向量組e1,·em可由向量組1,·,n線性表示RA)m證:e1,·em可由1,·,n線性表示EAX有解RARAE而mR(E)R(A,E)m.所以e1,·,em可由1,·,n線性表示R(A)m 向量組的線性相關(guān)性定義.給定向量組1,·,m,若存在不全為0k1,·km,k11·kmm0,則稱向量組1,·,m線性相關(guān),否則稱之為線性無關(guān).平面上兩個(gè)向量1,2線性相關(guān)1,2共線 中三個(gè)向量1,2,3線性相關(guān)共面.線性相關(guān)0 線性無關(guān)0 4.向量組,·,線性相關(guān)

:

x·x 0有非零解 m 1 m xmR1,·,mm向量組,·,線性無關(guān)

:

x·x m 1 mxm R1,·,mm第一個(gè)充要條件是根據(jù)線性相關(guān)的定義,第二個(gè)充要條件是根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充要條件.齊次線性方程組有非零解當(dāng)且僅當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù).根據(jù)上面的定理,我們知道一個(gè)向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)向量組對應(yīng)的矩陣的秩小于向量組所含向量的個(gè)數(shù)一個(gè)向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)向量組對應(yīng)的矩陣的秩等于向量組所特別的,Ann1,·,n(按列分塊則向量組1,·,n線性相關(guān)AX0有非零解RAn|A|0A1,·,n線性無關(guān)AX0只有零解RAn|A|0A可逆我們前面介紹了線性表示的概念,下面我們來看一看線性表示和線性相關(guān)這兩個(gè)概念之間性質(zhì).向量組1,·,mm2)線性相關(guān)其中某個(gè)向量可由其余向量線性表示.證:“”存在不全為0的數(shù)k1,·,kmm使k11·kmm0mk0,則

k1

·ki1

ki1

·km

kik

k kk”設(shè)il11·li1i1li1i1·lmmk則l11·li1i1ili1i1·lmm0l1,·,li1,1,li1,·,lm不全為0(至少10).所以1,·,m線性相關(guān). 例1.E(e1,·,en)(單位矩陣),則e1,·,en線性無關(guān).(因?yàn)镽(E)n 2.已知11

22

34.試討論向量組1,2,3及向量組1,27相關(guān)性

解.(1,2,3)換 2

R(1,2,323,所以1,2,3線性相關(guān)0 0 (1,2)換 2.所以R(1,2)2,所以1,2線性無關(guān) 0 3.已知1,2,3線性無關(guān),試證1,2,3線性無關(guān).

112,223,331(,,)(,,

,

1 . . 1 線性無關(guān),只要證

32x3設(shè)123X00,則(1,2,3KX00因?yàn)?,2,3線性無關(guān),KX00.K0,X002.(轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題)只要R12,33 (1,2,3)(1,2,3) 0.而 00.所以 0可逆 1

1 所以R1,2,3R(1,2,3)3 4.已知向量組1,2,·,mm2)線性無關(guān),112mm1.試討論向1,2,·m的線性相關(guān)性

223,·

0 1 0解 (1,2,·m)(1,2,·,m)K,其中K B(12,·m)

; ;; · · A1,2,·,m.BAK若|K|0R(BRAm,12,·m線性無關(guān).若K|0R(BR(K)m.12,·m線性相關(guān).12,·m線性無關(guān)|K|0010|K

．

．

11)m1 m0.00． 0．·

所以1,2,·m線性無關(guān)|K|0m是奇數(shù) 5.(2004.6.(8分))(2學(xué)分)已知列向量組1,2,3線性無關(guān),1k12321k23,312k3.問k滿足什么條件時(shí),123線性無關(guān) 1解.(1,2,3)(1,2,3)K,其中K 1k1 k 1K0,K可逆,R(123R(1,2,33.123線性無關(guān).K0,R(123)R(K)3.123線性相關(guān).所以1,2,3線性無關(guān)K0(k1)2(k2)0k1且k2 25.(1)若向量組1,·,m線性相關(guān),則向量組1,·,m,·,ms線性相關(guān).反之,線性無關(guān)的向量組的任何非空部分組線性無關(guān).若mn,則m個(gè)n維向量線性相關(guān).n1n設(shè)向量組1,·,m線性無關(guān),而向量組1,·,m線性相關(guān).1,·,m唯一地線性表示證(1)R(1,·,m,·,ms)R(1,·,m)R(m1,·,ms

m線性相

)

) R(1,·,m,·,ms)ms1,·,m,·,ms線性相設(shè)1,·,m n.要證R(1,·,m)mR((1,·,m)nm)nm1,·,mX有唯一解,R(1,·,mR(1,·,mm因?yàn)?,·,m線性無關(guān)且1,·,m,線性相關(guān).R(1,·,m)mR(1,·,m)m所以R(1,·,m,)R(1,·,m)m 例5.設(shè)向量組1,2,3線性相關(guān),向量組2,3,4線性無關(guān)證明

1能由2,3線性表示4不能由1,2,3線性表示證:(1)2,3,4線性無關(guān)2,3線性無關(guān),,線性相 1可由2,3線性表示 否則4可由1,2,3線性表示

4可由

,3向量組1,2,3可由2,3線性表示2,3,4線性相關(guān) 6.(2006.1.(7分))(2學(xué)分)設(shè)1,2,3線性無關(guān),1可由1,2,3線性表示,21,2,3線性表示.證明1,2,3,12線性無關(guān)證:否則1,2,3,12線性相關(guān).因?yàn)?,2,3線性無關(guān)12可由1,2,3線性表示.1可由1,2,3線性表示所以2可由1,2,3線性表示 7.(2007.9.(5分))3學(xué)分)mnA稱為有右逆nmB使ABEm,Emm階單位矩陣.證明:AA的行向證:A:(按行分塊AmA,·A線性無關(guān)AT,·AT線性無關(guān)RARATRAT,·ATm A有右逆AXEm有解RARAE而mR(Em)R(A,E)m(因?yàn)?A,E)的秩比它的行數(shù)m小 向量組的秩以前我們介紹過矩陣的秩的概念,矩陣的秩的作用非常重要.例如在討論方程組的解的情況,討論向量組的線性相關(guān)性,我們都用到了矩陣的秩.在這一節(jié)中我們引進(jìn)向量組的秩的概念.A,若(1){,·,} (2)Ar1個(gè)向量都線性相關(guān)則稱向量組1,·,r是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)組(簡稱最大無關(guān)組 r稱為向量組A的秩,RA.規(guī)定只含零向量的向量組的秩為0注意:1.一般來說,最大無關(guān)組不唯一.實(shí)際上,Ar,A 例①.A:,,.則,和,A的最大無關(guān)組 例②.Ee,·e,則e,·eRn中線性無關(guān)的向量R(e,·en). n1n維向量線性相關(guān),Rnn.所以e,·eRn的最大無關(guān)組 .證:設(shè)1,·,rA的最大無關(guān)組.因?yàn)閧1,·,rA,所以向量組1,·,r可A線性表示.反之,A,可由1,·,r線性表示.但1,·,r線性無關(guān)

,線性相關(guān)可由1,·,r線性表示 關(guān)于向量組的最大無關(guān)組,我們有下面的這樣一個(gè)等價(jià)定義定理(最大無關(guān)組的等價(jià)定義 設(shè)向量組{1,·,r}向量組1,·,r線性無關(guān)A,可由1,·,r線性表示.則1,·,r是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組.證:Ar1個(gè)向1,·r11,·r1線性相關(guān).只要R(1,·r1)r11,·r1可由1,·,r線性表示.R(1,·r1)R(1,·,r)rr所以1,·,r1線性相關(guān).所以1,·,r是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組. 6.矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行向量組的秩證:Amn1,·,n,RAr.rDr0 要證存在

最大無關(guān)

{1,·,n}.Dr0r列分別為i,·,i 因?yàn)閕,·,ir階子式,R(i,·,ir.因?yàn)?i,·,i 列,R(i,·,ir.R(i,·,ir,所以i,·,i線性無關(guān) Ar1個(gè)列向量j1,·,jr,jr1,要證j1,·,jr,jr線性相關(guān).R(j1,·,jr,jr1r1RAr,所以(j1,·,jr,jr1r1子式為0 r r所以R(j,·,j,j)r1.所以 r r所以A的列向量組的秩A的秩.同理A的行向量組的秩A的秩. 書上的定理1,2,3可以推廣到無限多個(gè)向量的向量組的情形.βA線性表示:A中的有限個(gè)向量1,·,mk1,·kmk11·kmm1’A線性表示RAR{A,.2’BA線性表示RAR{A,B3’BA線性表示,RBRA.例.BA線性表示,RBRA.AB組等價(jià).證:AB組等價(jià)RARBR{A,B.B組可由A組線性表示RAR{A,B}.所以RARBR{A,B}. 求m維列向量組α1,…,αn的最大無關(guān)組, 并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.令 (1,·,n).A限次行初等換B(,·,), x11·xnnAX0x11·xnnBX同解.k11·knn0k11·knn0 所以j,·,j是1,·,n的最大無關(guān)組j,·j1,·n的最大無關(guān)組.設(shè)i1,·,ir分別是B i,·i1,·n的最大無關(guān)組i,· B的列向量組的最大無關(guān)組.)所以i,·,i是1,·,n的最大無關(guān)組 1且jk1i·krijk1i·kri1r

4例1.A

.A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組, 9

4行初等變

0解 A(1,2,3,4,5) 3B(1,2,3,4,5) 0R(B3R(1243124線性無關(guān).而向量組12345的秩R(B)3.12345中任意3個(gè)線性無關(guān)的向量都是它的最大無關(guān)組,12412345的最大無關(guān)組.所以1,2,4是1,2,3,4,5的最大無

初

換C

3(

, ,) 0顯然

12

5413234所以

2

5413234 6 2.

1

3

4

2.k 學(xué)

已知 12

8

59

6k 不同值 求向量組1,2,3,4的最大無關(guān)組 6行初等變

4 解.(1,2,3,4) k 0k80,則1,2,4是最大無關(guān)組.k80,則1,2是最大無關(guān)組 ),,

51,1,3,1)的秩及其一個(gè)最大線性無關(guān)組,0001 TTT行初等變1030解.(1,2,3,4,50

.11 0所以1,2,3是最大無關(guān)組.41323,523 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)我們前面介紹了如何用矩陣的初等變換來解線性方程組,在這一節(jié)中我們用向量組線性相我們首先討論齊次線性方程組.我們來看一看齊次線性方程組的解的兩個(gè)簡單性質(zhì)性質(zhì)(1)若1,2AX0的解,則12AX0的解(2)若AX0的解,k為實(shí)數(shù),則kAX0的解A1證

A

A1A2A(12)0(2)A0A(k)kA0 由上面這兩個(gè)性質(zhì),我們可以證明下面的齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理推論.SAX0的解集1,·,tS的最大無關(guān)組(AX=0的基礎(chǔ)解系),AX0Xk11·ktt,其中k1·kt是任意實(shí)數(shù)證:k11·kttAX0的解,其中k1,·kt是任意實(shí)數(shù)反之若S,因?yàn)?,·,tS的最大無關(guān)組,所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價(jià)定義,1,·,t線性表示.所以存在實(shí)數(shù)l1,·,lt,使l11·ltt. 由上面的結(jié)論,我們知道要求解一個(gè)齊次線性方程組,我們只需要把它的基礎(chǔ)解系求出來就AmnX0的基礎(chǔ)解系.RAr ·

·b1,nr ·

·b:. r,nr.·0 ·0 :::·0 : : 0 0 x1b11xr1·b1,nrxnB對應(yīng)方程組x

b ·

.xr1c1,·xncnr r1r r,nrnx1 b11 b12 b1,nr :

:

:

:x b b r r1 r2 r,nr則xr1c11 0·cnr (ci )是AX0的通解 0 1 r2 :

:

:

: xn

0

0

b11 b12 b1,nr :

:

: xr1 令令 ,,·,n 即令

br

br,n

:xx

n 0 0

則1,2,·,nrAX0的基礎(chǔ)解系證:AX0的任何解都可由1,2,·,nr線性表示.所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價(jià)定義,只要證1,2,·,nr線性無關(guān).若k11k22·knrnr0, * *則 k1: : k11k22·knrnr0,所以k1k2·knr0 nr所以1,2,·,nr線性無關(guān) 由上面的討論,我們可以得到下面的這樣一個(gè)定理,因?yàn)楦鶕?jù)最大無關(guān)組的定義,這是因?yàn)榻饧闹仁腔A(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù),根據(jù)上面的討論我們知道齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是nr,所以解集的秩是n因?yàn)楦鶕?jù)最大無關(guān)組的定義,注意:基礎(chǔ)解系不唯一 個(gè)線性無關(guān)的向量組為基礎(chǔ)解系.所以通解的形式也不唯一 x1x2x3x41.求齊次線性方程組2x15x23x32x40的基礎(chǔ)解系與通解7x7x3xx 3

x1

x3 解.A 4, 7 x5x4

0

7 7x2c3令xc,xc.求得 7 72 x27c172c3c 2 3 2 34 5 ,c,cR.令 4 4 5 ,c,cR.令 4 0 1 0 1 01x 5c所以通解為c

2

c1

2

7 7 c14 0則1,2為基礎(chǔ)解系x3 7 x1 8

89 令

7和14.求得x9和 .令1,2 4 2 7 則1,2為基礎(chǔ)解系 1k1k

1,2,·,s為齊次線性方程AX0的基礎(chǔ)解系 3

kl為實(shí)常數(shù).kl滿足什么關(guān)系時(shí),12,·sAX0：：礎(chǔ)解系

· l · 解:(1,2,·,s)(1,2,·,s)A,其中A · 0： ：： · k 因?yàn)锳X0的基礎(chǔ)解系,AX0s..都是方程組的解12,·sAX0的基礎(chǔ)解系12,·sR(1,2,·,s)s若|A|0,A可逆,R(12,·s1,2,·,sAR(1,2,·,ss若|A|0,R(12,·sRAs12,·sAX0的基礎(chǔ)解系|A|0A

0 0

0

s10kk l0l

AX0的基礎(chǔ)解系ks1)s1lk0□3.AmnBnl0.RAR(Bn證:B1,·l,Ai0,1il.AX0S所以{1,·lS.1,·l性表示,則向量組A對應(yīng)的矩陣的秩小于等于向量組B對應(yīng)的矩陣的秩.而這個(gè)定理可以推廣到含有無限個(gè)向量的向量組,就是把定理中的矩陣的秩換成向量組的秩.所以R(B)R{,·,}RSnR(A). 4.(1)A02)AAT03)ATA0證:(1)2)顯然(2)1)0AAT的(i,i元aikaika2 aik0對所有的ik.A0AT(AT)TATA0AT0A0 5.RARATARAAT證:Amn列的矩陣,Ann列的矩陣AX0nRA,ATAX0nRATARARATA,只要證nRAnRATAAX0ATAX0解集一樣X0AX0的解,ATAX00,ATAX00 反之,ATAX0,AX0 ATAX0(AX)TAXXTATAX0AX0(據(jù)上面的例子 6.(2005.1(7分))(3學(xué)分)Amn實(shí)矩陣,nm,AX有唯一解.ATA是可逆矩陣,AX的解.證:AX有唯一解,RARAn,AXATAXAT因?yàn)锳TA是可逆矩陣,所以X(ATA)1ATAX(ATA)1AT. 下面討論非齊次線性方程組AX(0).我們來看一看非齊次線性方程組的解的兩個(gè)性質(zhì).(1)設(shè)1和2AX的解.則12AX0(AX的導(dǎo)出方程組的解

(2)設(shè)AX的解,AX0的解.則AX的解A10證

A(12)A1A200 AA()AA 由上面這兩個(gè)性質(zhì),我們可以證明下面的非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理定理.設(shè)*AX的解,1,2,·,nrAX0的基礎(chǔ)解系.AXX*k+k+ ,其中k,k, 為任意實(shí)數(shù)1 2 nr 證:由上面的性質(zhì)知,對任何實(shí)數(shù)k,k, ,*k+k+ 1 2 nrAX的解.反之設(shè)為AX的解,則*為AX0的解.所以存在實(shí)數(shù)l,l, ,使得*ll+· 1 1 2 nr所以*(*)*ll+· 1 2 nr根據(jù)這個(gè),我們知道要求解一個(gè)非齊次線性方程組,只要求出它的某個(gè)解和它對應(yīng)的齊次線 2節(jié)課8.(Ex27)設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,1,2,3是它的三個(gè)解向量,23 45

2

1224解:AX(0).AX0的解空間的維數(shù)nRA431.2123 AX0的基礎(chǔ)解系.AXXk(2k, 5 5 6k是任何實(shí)數(shù) 9.(Ex30)A1,2,3,4)AX的通解

2,3,4線性無關(guān),1223,1234解:因?yàn)?,3,4線性無關(guān),R(2,3,43.因?yàn)?223,所以1,2,3線性相關(guān),所以3R(2,3,4RA4.RA3.AX0是nRA4311

AX0x11x22x33x440 1 所以 是AX0的基礎(chǔ)解系.所以AX的通解是Xk ,其中k是任何1 0

1 0數(shù) 110.(Ex31)設(shè)*AX的一個(gè)解,,·,nrAX0的基礎(chǔ)解系1證明:(1)*, 1(2)*,*,·,* 證

1反證法

設(shè)*, 線性無關(guān),因?yàn)?線性相關(guān),所以*可由 線性表示,從而A*0.但A*.所以0 1 1 1·1 0· (2)(*,*,·,* )(*, )K,其中K 1·0

；； 00·1 因?yàn)镵1,所以K可逆.所以R(*,*,·,* )R(*, )nr1 所以*,*,·,* 線性無關(guān) 11.(Ex32)設(shè)1,·,sAXs個(gè)解k1k2·ks1.k11·kss也是它的解

k1,·ks為實(shí)數(shù),證:A(k11·kss)(k1k2·ks). 例12.(Ex33)設(shè)rR(A).設(shè)1,·,nr1是非齊次線性方程組AX的nr1個(gè)線性無關(guān)的解.k11·knr1nr1,k1·knr11證:21,·,nr11AX0nr個(gè)解.因?yàn)?,·,nr1線性無關(guān),所以21,·nr11線性無關(guān),所以21,·,nr11AX0的基礎(chǔ)解系.所以AXX1l1(21)·lnr(nr11)(1l1·lnr)1l12·lnrnr1 由例10,例11和例12知若非齊次線性方程組AmnX有解,nR(A)1 向量空定義.設(shè)集合V,V脫n,若V對加法和數(shù)乘封閉,(1)對V,有V(2)對k脫,V,有kV則稱V為向量空間(或稱為線性空間這里定義的向量空間中的元素都是n維有序數(shù)組,我們在這本書的最后一章我們會介紹一般的抽象的向量空間的概念,并且把這一節(jié)的內(nèi)容推廣到抽象的向量空間中去.對于抽象的向量空間來說,它里面的元素可以不是有序數(shù)組,所以我們在最后一章討論的向量空間有著更廣泛的應(yīng)用.下面我們來看幾個(gè)例子.1.脫n是向量空間0 x,·x.x,·x

脫

； xn 1 3.Vx2x,·x

脫

； xn1x

1 1 1 y x y xy證:因?yàn)槿?V,2V,則22 2V ； ； ； ； ；x y x y xyn n n n n4.AmnX0S是一個(gè)向量空間,SAX0的解空間.證:S立n|A0}.若,S,k立A0,A0. 所以A(12)A1A20,A(k1)kA10.所以S是向量空間. 例5.非齊次線性方程組AmnX的解集S不是向量空間.證:S,S不是向量空間.S,1,2S,A1,A2A(12A1A22(0).所以12S所以S不是向量空間 6.設(shè),·,立n,L·|,·立}(即為向量組 1 m 的所有線性組合)是一個(gè)向量空間.稱之為1,·,m生成的向量空間.例7.設(shè)向量組1,·,m1,·,l等價(jià).L111·mm|1,·m立L1L2

L211·ll|1,·l立: 設(shè)L,則可由,·,線性表示與,·,等價(jià):

線性表示 可由1,·,l線性表示.(據(jù)線性表示的傳遞性.) 下面我們介紹向量空間的基和維數(shù)的定義.向量空間的基就是指向量空間作為向量組的最大無關(guān)組,向量空間的維數(shù)就是指向量空間作為向量組的秩.定義:設(shè)V為向量空間,若1,·,r是V的最大無關(guān)組,則稱1,·,r為V的基,r稱為V的維數(shù).記之為dim(V,并稱Vr維向量空間.若V0},(這個(gè)時(shí)候V沒有基),則規(guī)定dimV0.(dim是英文里面dimension的縮寫.)關(guān)于向量空間的基,我們有下面的兩個(gè)簡單性質(zhì)1.設(shè)1,·,r為V的基.則Vk11·krr|k1,·kr立根據(jù)這個(gè)性質(zhì),我們?nèi)绻懒艘粋€(gè)向量空間的一組基,那么它的結(jié)構(gòu)也就清楚了,這個(gè)向證:Lk11·krr|k1,·kr立因?yàn)槊總€(gè)i都是V中的向量,而V是向量空間,所以V對加法和數(shù)乘封閉,所以這個(gè)向量組的任何線性組合都是V中的元素.所以LV.反之,因?yàn)檫@個(gè)向量組是V的最大無關(guān)組,所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價(jià)定義知道V任何向量可由這個(gè)向量組線性表示.對任何V,可由1,·,r線性表示,L.所以VL.所以VL 性質(zhì)2.設(shè)1,·,r1,·m的最大無關(guān)組,L1,·m生成的向量空間.則1,·,r是L的一組基.根據(jù)這個(gè)性質(zhì),一個(gè)向量組的任何一個(gè)最大無關(guān)組是它生成的向量空間的一組基,一個(gè)向量證:因?yàn)?,·,r線性無關(guān),所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價(jià)定義,我們只要證任何L,可由1,·,r線性表示L是由向量1,·m生成的向量空間,所以若L,則1,·m線性表示,因?yàn)?,·,r是向量組1,·,m的最大無關(guān)的向量組,所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價(jià)定義1,·m可由1,·,r線性表示,所以根據(jù)線性表示的傳遞性知道可由1,·,r 8.dim(脫nn(前面已經(jīng)證明了脫n的秩n).所以脫nn個(gè)線性無關(guān)的向量都是脫n的基.0 0 0Vx2

x,·x脫

脫

e1,·,e: :

,22

0 0是的基: xn

1所以dim(V)n 在平面解系幾何當(dāng)中,我們?yōu)榱搜芯繋缀螌ο?我們引進(jìn)了坐標(biāo)系的概念,并且引入了坐標(biāo)的概念.引進(jìn)了這兩個(gè)概念以后,我們就可以用代數(shù)的方法來研究幾何對象.對于線性空間來說,我們也可以引入坐標(biāo)的概念.下面我們來看一下向量空間中坐標(biāo)的定義.1 定義.設(shè)1,·,r是V的一組基.則V,:,1 1

r·,·,,稱為在,·,下的坐標(biāo)1 r r r r在這個(gè)定義當(dāng)中,我們?nèi)《司€性空間V的一個(gè)基,在這組基下每個(gè)向量都有一個(gè)坐標(biāo),這里取定了V的一個(gè)基相當(dāng)于就是取定了一個(gè)坐標(biāo)系,向量在這組給定基下的坐標(biāo)相當(dāng)于就 410.A,,212,B03 2

2 證明1,2,3是脫3的一個(gè)基,12在這個(gè)基中的坐標(biāo)證:因?yàn)閐im(脫33,所以只要證1,2,3線性無關(guān).R(1,2,331,2在1,2,3下的坐標(biāo),即要求解矩陣方程(1,2,3X(1,2) 4 10101323)(,,10101323) R(

4 3,3 的X21.所以

個(gè)基 2

323

在,,下的坐標(biāo)是2 3

3.22在1,2,3下的坐標(biāo)是1 .21

3,.B(1,2,3).求用1,2,3表示1,2,3的表示式(基變換 ),并求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式(坐標(biāo)變換).解 A,B都是可逆矩陣.(因?yàn)?,?,n和1,?,n這兩個(gè)向量組都線性無關(guān)(123BEBAA1)BAA1B1,2,3A1B).PA1B則基變 就是(1,2,3)(1,2,3)P, x1 ,, y12 2x y3 3x1 x1 y1 y1 x1 y1則,,xAxyBy.AxBy 32 2 32 2 2 2xxyyxy333333y 1y 所以

x1 x1AxP1x

,這是從舊坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換 2 2 2y x x3 3 312(2005.1.(10分))(3學(xué)分)求一個(gè)向量,使它在下列基下有相同的坐標(biāo)1 0 0 00 1 0 0

2 0 5 61 3 6,,,與 ,,, 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1

1 0 1 3x1 x1 解:設(shè)(,,,) (,,,) 記A(,,,) 4x 4x 3 3x4 x4x1 1x2 1B(,,,) 則(BA) 0.解得k ,其中k是任何實(shí)數(shù) x 13 x4 1.(Ex25)An階矩陣(n2,A*A的伴隨矩陣,n,R(A*)

若RAn,若RA1,若RA證:An1,·,n,則1,·,n線性無關(guān)(1,·,nX0RAn|A|0A可逆.AA*|A|RAn,A可逆,且|A|0,A*|A|A1.A*可逆,RA*nRAn1,AA*0,RARA*n.RA*1.RAn1An1階子式,A*0,RA*1.RA*1若R(A)n2,則A的所有n1階子式為零,所以A*0.所以R(A*)0. 例2.(Ex9.)設(shè)112,223,334,441.證明向量組1,2,3,4線性相關(guān) 1證:(,,,)(,,,)P,其中P 0 0 1 1,2,3,4線性相關(guān),只要R(1234)