《高等數(shù)學(xué)1》練習(xí)題庫

測試題

一、選擇題

1、設(shè)E=｛（x,y）xxy>0｝,則（）

A、E為連通域：B、E不是連通域;

C、E為單連通域；D、E為復(fù)連通域;

2、函數(shù)Z=arcSin—+arcSin土的定義域是（）

23

A、-2<x<2B、-3<y<3

C、一2cx<2月.一3y<3D、o<x2+y2<\

]

3、函數(shù)Z的定義域是（）

2

A^?十》2工。B、x2+y2<0

C、0<x2+y2D、6><X2+r2<1

xy

1

4、lim1+2=()

x-?ocxy

A、等于eB、等于1C、等于0D不存在

1.

—sinxy

5、設(shè)函數(shù)/(x,y)=<x'則/（x,y）在（）上連續(xù)。（）

1yx=0

A、全平面B、全平面除去原點(diǎn)

C、全平面除C軸C、全平面除y軸

6、在矩開展區(qū)域D：（常量）

的（）

A、必要條件B、充分條件

C、充要條件C、既非充非也非必要條件

設(shè)2=〃2+己〃=+；#=一），,則在（1,0）處偏導(dǎo)數(shù)電,包的值分別為（）

7、；1｝；1

dxdy

A、4和0B、0和4

C、0和0D、4和4

8^設(shè)〃=/+/+[2,工_rcossin”,y=rsinsin〃,z=rcos〃，則黑，電，蘭■的值分別為

drdodi//

()

A、0,0,2rB、0,2r,0

C、2r,0,0D、0,0,0

9、當(dāng)人（）時，由方程y-x-4siny=0,能確定y=/（x）且y（x）具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。（）

A、<1B、|2>1]C、2>0D2<0

10、在（）條件下，由方程Z=x+）3G）所確定的函數(shù)。z（x,y）滿足方程S=”（z

dy

)

A、“G）連續(xù)B、〃（?。┛晌?/p>

C、向可微且“Q2）。0；D、[f/\可微且”夕（2）工o

u-i-v-x-y=0則包的值為（）

11、設(shè)

xw+yv-1=0dx

v+xv+y

A、------B、

了一工y-x

u+yu+x

C、D、-

y一無

22

廠+y+z2二6在點(diǎn)?2,1）處的切線必平行于（）

12、空間曲線《

x+y+Z=0

A、wy平面B、yoz

C、zoxD、平面x+y-z=0

13、旋轉(zhuǎn)橢球面2/+y2+z2=16|二點(diǎn)（2,2,-2）處外法線與Z軸夾角的余弦及切平面與

xOz面夾角的余弦分別為（）

66

V6V6V6V6

—，——D、,~~~

6666

14、研究函數(shù)z=（/+/>?+內(nèi)的極值，有（）

A、有極大值2=6一‘，無極小值B、有極小值Z=0

C、有極小植Z=0,極大值Z=eTD、無極植

Q

15、研究函數(shù)Z=2+—r+y,（x>O,y>0）的極值，有（）

xy

A、在（4,2）處有極小值Z=6；B、在（4,2）處有極大值Z=6；

C、在（1,2）處有極大值Z=10；D、無極值

16、函數(shù)/（X,y）=x"+y"-/-Zxy-y?有三個駐點(diǎn)（0,0）（1,1）（-1,-1）,則（）?

A、/（0,0）是極大值B、/（0,0）是極小值

C、f（l,l）,f（T,T）都是極小值D、f（l,l）,f（T,T）都是極大值

17、若?（%，%）=°，/；（/，汽）=0,則在點(diǎn)（Xo，y0）處函數(shù)/（x,y）（）

A、連續(xù)B、必取極值

C、可能取得極值D、全微分d2=0

18、函數(shù)Z=x+2y在條件/+/=5下的極值為（）

A、極大值f（l,2）=5B、極小值f（l,2）=5

C、極大值f（2,l）4D、極小值f（2,1）=4

19>函數(shù)〃=+y+z=5,在條件xy+yz+zy=8下（）

4

A、無極值B、有極大值〃二4一和極小值

27

4

C、極有極大值〃=4—D、僅有極小值〃=4

27

20、圓爐+2町+5y2—16y=0與直線x+y—8=0之間的最短距離是（）

A、2V2B,3V2C、472D、6A/2

21、據(jù)二重積分的概念可知2x2-y2dxdy=()，其中X?+y2<a2

D

A3

B>2如3

A、0C、D、

32

dxdy

22、設(shè)：I則I滿足（)

國乜J+cos^x+sin。

A、-</<2B、2</<3C、0</<-D、-1</<0

22

23、設(shè)/=JJ(1+4/+9'/,其中D是圓形閉區(qū)域：/+y2?4利用二重積分的性質(zhì)

D

估計其值滿足（）

A、<1<36^B、S/r<I<367r

C、S7T<I<1OOZTD、36^</<100^-

24設(shè)/=其中Q:0KyW/J'W2;貝lj/=()

D

3664

、0B、C、D、256

AT-3~

25、設(shè)/=JJxe8s3)s山3卜祖乂其中O:卜|<l,|y|<1則/=()

D

A、eB,e~'C、0D^71

26、當(dāng)（）時,"dxdy=0,其中。+y2K20,機(jī)與〃均為自然數(shù).（）

D

A、僅當(dāng)m,全為奇數(shù)B、m,n中至少有一個為奇數(shù)

C、僅當(dāng)m為偶數(shù)D、僅當(dāng)m為奇數(shù)

27若區(qū)域D為/+/wq,則=(）

D

71

A、0B、aC\-a4D、a—

24

28、若區(qū)域D由不等式y(tǒng)N崗,丁-%WC，x+yW工表示.則+yMrdy=（）

22。

一冗1c冗￡

A、0C^—+—D、—

B、28686

29、區(qū)域D為04yM1,則/"④力=()

D

Jc兀1九1

A、P_B、c、—+-D、-----

438686

30、視L為上半圓周(X-〃2)2+y2=/,y20,沿逆時針方向,

則S](exSiny-2y]clx+(e'cosy-2年=()

A、-7arB、0C、加2D、2兀6

31、設(shè)T是用平面y=Z截球而x?+y2+z2=1所得截痕，從Z軸的正向往負(fù)向看，沿逆時

針方向，則，xyzdz=（）

7272

A、B>71C、-71D、-----71

1616

32、設(shè)E為球面x2+y2+z2=l(x>0,y>0)的外側(cè)，則JJxyzdx力=()

33、微分方程丫"一4"+（4尤2一2%=0有兩個解弘=旌2,%=xe%貝卯=G%+C2y2（）

A、是方程的通解B、未必是方程的通解

C、僅是方程的一個特解D、未必是方程的解

34、已知￡(一1「%=2,￡出"一1=5,則=()

n=l〃=1n=l

A、3B、7C、8D、9

35、級數(shù)的部分和數(shù)列有界是級數(shù)收斂的（）

A、充分條件B、必要條件

C、充要條件D、以上都不對

36、用比值法或根值法判斷下列級數(shù)收斂的是（）

8oo&〃+1

A、B、Z』c、X-D、y—1—

37、若“條件收斂，則級數(shù)（）

n=l"=1

A、條件收斂B、絕對收斂

C、一定發(fā)散D、可能收斂也可能發(fā)散

38、設(shè)級數(shù)論￡>〃發(fā)散，且（）則級數(shù)“必發(fā)散。（）

ft=ln=l

A、a?>|/??|B、\a?\>bnC、|a?|>|/??|D、an>b?

39、設(shè)級數(shù)￡與絕對收斂，且（），則級數(shù)“必收斂。（

n=l?=1

A、a?>|b?|B,\a?\>bC、\a\>\b,,\

nnD、an>bn

40、設(shè)級數(shù)fa」收斂，則級數(shù)之明

/i=l?=l

A、絕對收斂B、條件收斂

C、發(fā)散D、可能收斂民可能發(fā)散

41、設(shè)級數(shù)￡屋，力:都收斂，則級數(shù)￡（%+/）（）

〃=1n=l〃=1

A、絕對收斂B、條件收斂

C、發(fā)散D、可能收斂民可能發(fā)散

42、己知級數(shù)￡%（x-1）"在x=-1處收斂，則此級數(shù)在x=2處

()

71=1

A、條件收斂B、絕對收斂

C、發(fā)散D、可能收斂民可能發(fā)散

43、函數(shù)/（x）=ln（l+x）展開x的哥級數(shù)，則『的系數(shù)為（）

A、-B、（-ir'iC、（-l）n-LD、

nnn+1n+1

44、使函數(shù)系列｛l,cosx,cos2x,…,cos幾x,…｝正交的最小區(qū)間是（)

A、0,（B、0,〃C、［-7t\D、［0,4］

45、使函數(shù)系｛S加工5血％???5加比,??｝正交的最小區(qū)間是（）

A、［0,24］B、［-肛乃］C、［0,乃］D、0,—

4

有？加mTVCImnnxnm

46、使函數(shù).余j1,cos-j-,Sin-j-,cos---,??,cos---;Sin---（這里//0,/片1）正交

的區(qū)間是（）

A、［o,2zr］B［—匹TT］C、［o—1］D、［—1,1］

47、設(shè)/（x）是以2%為周期的函數(shù)，在區(qū)間［-肛/上/（x）—忖，則其傅立葉級數(shù)中cos3x及

Sin3x的系數(shù)田及心分別是（）

4

C、D、0,

9冗

48、若函數(shù)/（x以2萬為周期，且/（x）=x2,（04x42萬則f（x）的傅立葉級數(shù)在點(diǎn)4=0收

斂于（）

A、0B、7t2C、2^2D、412

49、能展開成正弦級數(shù)的函數(shù)。（）

A、一定是奇函數(shù)B、一定是偶函數(shù)

C、不一定是奇函數(shù)D、一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)

50、下列y為y"+y=ev的特解的是

A、y=xexB、y=^exX1

C>y—eD、y=—e

51、將函數(shù)/(x)=x—l（0?x42）展開為周期為4的余弦級數(shù)，則cos軍的系數(shù)為（）

-rc、------7D、——

4225/25病

52、設(shè)小）=：72則將其展開為半幅余弦級數(shù)的常數(shù)項(xiàng)劭為（）

2<%<4

A、0B、2C、4D、8

53、下列方程為一階齊次微分方程的是（）

A、(x+y)dx+(x+\)dy=0B、y''-2y'-^-y=0

C、—=-X+^D>[x2+3y2]dx—2xydy-0

dxy

54、將方程也=—上一+1化為可分離變量的方程應(yīng)選取的代換為()

dxx—y

A^x=w-l,y=v+lB、u=x,yC^u=x—yD、〃=x+y

55、微分方程乂*+19+乂1+召+/、2,),=0化為可分離變量的方程應(yīng)迭取的代換是()

A、x=u+ky=v+AC、u=xyD、u=x+y

56、已知方程12；/，+q，_丫=0的一個特解為*,則方程的通解是y=()

A、C1X++C3B、C|x+(72—C、G九+D、C^x+'

x

57、初值問題也二」一+1,兒_0=1的解為()

dxx-y

A^(x+y)2=2x+1B、(x+y)2=2x-1

C、(x-y)2=2x+lD、(x+y)2=-2x+1

58、微分方程y'=3xy+『是()

A、齊次方程B、可分離變量方程

C、全微分方程D、線性非齊次方程

59、微分方程(x+y)dy=(x—y)dx是()

A、一階線性方程B、可分離變量方程

C、齊次方程D、全微分方程

2

60、方程y'=3y，的一個特解是()

A、y=(x+2)-'B、y=x3+1

C、y=(x+c)，D,y=(x+c)'y=c(x+1)’

61,方程y'-xy'=-。(丫？+y')是()

A、可分離變量方程B、齊次方程

C、線性非齊次方程D、線性齊次方程

62、已知函數(shù)y(x)滿足方程xy'=yIn^,且當(dāng)x=l時，則當(dāng)y=e)時。則當(dāng)x=-l,y=()

'x

A、-1B、0C、1D、e-1

63、曲線y=y(x)經(jīng)過點(diǎn)(0,—1),且滿足微分方程y'+2y=4x,則當(dāng)x=1時y=()

A、0B、1C、2D、4

64、方程xdx+y力=(x?+y2kx的積分因子可取()

65、方程孫"+y'=0屬于可降低的類型是()

A、y(")=/(x)型B,y'=/(x,y')型C、y'=f(x,y)D、不可確定

66、方程孫"+y'=0的通解為y=()

、、、

ACjn|xl+C2xBC|n|xl+xCC>|/i|xl+CDC2|/i|xl+C2

67、方程y"+y'=1,不力=0,?=()=°的解》=()

A、CInchxB、C|Inchx+C2C、—Inchx

68、方程y”=S山y(tǒng)屬于可階的類型為()

A、y(")=/(x)型B、y"=/(x,y')型c、y'=/(y,y')型D、無法確定

69、方程y"+(yF=x屬于可降價的類型是()

A、y(")=/(x)型B、y"=/ty)型C、y"=/(%y)型D、無法確定

70、下列方程是全微分方程的是()

A、y2+y+Sinx=exB、+y'+exy=Sinx

C、+exy'+e'y2=SinxD、+exy'+exy=Sinx

71、微分方程y(y')2+x(y"'}+yy'=0是()

A、三階線性方程B、二階非線性方程

C、三階線性方程D、二階線性方程

72、微分方程為y"-3y'+2y=/的特解的形式為()

A、Ax'B,Ax~+Bx+CC、X{A.X~+BX+C)D、X2[A.X~+Bc+c)

73、下列函數(shù)組中線性無關(guān)的是()

A、cos2x,Sin2xB、ex,Ae'c(A0)C、xcos2x,7xcos2xD、e'",5e"

74、下列函數(shù)組中線性相關(guān)的是()

A、B、C、e2x,eixD、x,2nex

X2+4iIT

、已知函數(shù)》］=y=e';x>則，()

75e2——7，y3=

x~

A、M與內(nèi)線性相關(guān)B力與為線性相關(guān)

C、力與內(nèi)線性相關(guān)D兩兩線性相關(guān)

76、微分方程y"'=y"的通解為y=)

A■,c'+C|X'+C-,x+CjB->C|x~++C?

、、

CG，+C2x+DC/3++C3

二、填空題。

1、求極限嗎空當(dāng)=()

fx+y

2、求極限理十二=()

10x+y~

3、求極限吧，一^=()

…x+y

4、求極限吧三硬4=(

5、求極限吧，/"—?=()

yjxy+1-1

6、求極限映亞色=()

…X

7、設(shè)/(x,y)=x+(y-l)arcsin#^則f,(x,l)=()

_x2+y2

8、由線z=一廠在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與正向x軸所成傾角為()。

y=4

9、微分為方程y〃+V-2y=0的通解是()。

10、若函數(shù)從=f(t,x,y),x=*(s,t)均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則生=()。

dt

a

ii、設(shè)函數(shù)⑥)在［/,i］上連續(xù)，則一⑺力=()。

dx上。sx「

12、方程xy=y滿足x=l時，y=0,y=1的特解是()

13、旋轉(zhuǎn)球3/+/=16面上點(diǎn)(-1,-2,3)處的切平面與坐標(biāo)平面XOY的夾角

余弦為()。

14、微分方程y〃-4y'=0的通解為是()。

15、函數(shù)z=x\y在點(diǎn)(1,2)至IJ(2,2+V3)的方向的方向?qū)?shù)為()。

16、函數(shù)u=x2+y2-z2在點(diǎn)A(c.0,0)處的梯度為()

17、函數(shù)U=ln(x2+y2+z2)在點(diǎn)處的梯度為()

18、元函數(shù)z=l-jY+y?的極大值點(diǎn)是().

19、設(shè)a,6,丫為平面三角形的內(nèi)角，則函數(shù)y=cosacos/7cosy的極大值為

().

20、位于兩圓x2+y2=24與x2+y0=4y之間的均勻薄板的重心坐標(biāo)為()

21、錐面z=Ji+-被柱面Z2=2X所割下部分的曲面面積為().

22、設(shè)有一物體，占有空間區(qū)域C:0WxWl,OWyWl,OWzWl,在點(diǎn)(x,y,z)處密度為P

(x,y,z)=x+y+z,則該物體的質(zhì)量為()

23、設(shè)C是由錐面zn由JPTT7與平面z=h(r>0,h>o)所圍成的閉區(qū)域，則JJJzd”&=

Ra

().

24立體由曲面z=x2+y4x+y=a,x=O,y=O,z=O所圍密度為1,則重心坐標(biāo)為().

25、設(shè)T是從點(diǎn)(1,1,1)至I」點(diǎn)(2,3,4,)的一段直線，則

^Txdx+ydy++(x+y-V)dz=().

27、設(shè)26、設(shè)L是拋物線y=x2上從點(diǎn)，(-1,1)到(1,1)上的一段孤，則

2

-2xy\ix+(y-2xy\ly=()L為拋物線y=x之上從0(0,0)到B

(1,1)的一段孤，貝ij［2xydx^-x2dy=()

28>設(shè)L為直線y=x上從0(0,0)看至UB(1,1)的一段弧，貝ijjZxydx+x?dy=

).

29、密度為p="x2+/曲線L為圓圍x2+y2=ax質(zhì)量M=（）

30、積分1=卜一+4q3）心+（6犬'-12-5丫4）6與路徑無關(guān)，則入=（）

L

31、已知蟲+"）'）*）收一為某函數(shù)的全微分，則2=（）

（x+y）2

32、Z為平面x+y+z=4被圓柱面/+y2=i截出的有限部分，則曲面積分Jjz4=

一Z

（）

33、面Z為x?+y2+z2=R2在第一極限的部分，其面密度為P（X,丫,Z）=X,則曲面的質(zhì)量

為（）?

34、設(shè)S是平面X+Y+Z=4被圓柱x?+y2=l截出的有限部分，則曲面面積"yds=（）

35、面Z為x?+y2+z2在第一極限的部分其面密度為常數(shù)p,則其繞Z軸的轉(zhuǎn)動慣量為

（）

36、面密度為p的上半球ZY+V+Z2=（220）饒z軸的轉(zhuǎn)動慣量為（）

37、設(shè)Z為由=+/）與z=h（h>o）所圍立體的表面內(nèi)側(cè)，則Jz"/.、.=（）

38、設(shè)Z為曲面ZR;/+Vw/g/>0）的上側(cè)則［公辦,=（）

39、設(shè)曲面12爐+y2+22=/的外側(cè)，貝

J\jzds=(?

40、設(shè)曲面X為X2+/+z?=。2的外側(cè)，JJ(x2+y2)dxdy=()

￡

41、設(shè)Z為球面x?+y2+z2=a2的外側(cè)，則勢cdyz=()

一Z

42、設(shè)X為錐面z=+/下平面=9所圍成的空間區(qū)域的表面外側(cè)，則

ydzdx=（）

43>向里場—下~~>=Z—-->穿過上半球面z=：V/?2-x2-r2的通量i=()

44、設(shè)Z為半球面Z=j4x2-y2的上側(cè)。側(cè)JJxdydz+ydxdz+zdxdy=()

z

45、設(shè)L為圓二+匕=1的弧，其周長為a,則《(2xy+31+4)」)ds=()

43_________

46、均勻曲面及//一一+y2的重心為（)

47、基級數(shù)的收斂半徑是（)o

念2n

48、基級數(shù)（一1）””的收斂區(qū)間是（）

49、微分方程y"+y=O的通解為（）.

50、微分方程y〃+6y'+13y=0的通解為（）。

51、齊次線性方程—+3y=0的通解為（）。

52、齊次方程y'='+二yli=2的特解為（）。

vYv

53、齊次方程（l+2e±）dx+ze±（l-」）dy=0的通解為（）。

yyy

54、微分方程y'+ycosx=/nx的通解是（）o

55、微分方程;/+）1211%=0皿21的通解為（）。

56、方程y"-回=0滿足初始條件y|"y'Jo=百的特解是（）。

57、微分方程：@+2孫=4x的通解為（）。

dx

58、設(shè)圓柱形浮筒，直徑為0.5米，垂直放在水中，當(dāng)稍向下壓突然放開，浮筒在水中上

下振動的周期為2秒種，則浮筒的質(zhì)量為（）kg.

59、貝努利方程包-丫=肛5的通解為（

)o

dx

60、方程（x+y^dx-d^=dx+dy的通解為()o

2)o

61、方程ydx-xdy+yxdx=0的通解為（

62、方程y"=J1+/的通解為（)o

63＞方程＞"=121+$也1的通解為（)o

64、滿足微分方程y〃=x的經(jīng)過點(diǎn)M（0,1）且在此點(diǎn)與直線y=^+1相切的積分曲線是

）。

65、微分方程Vy〃—1=0的通解是（）。

66、微分方程y〃=（y'F+y'的通解是（）。

67、方程y〃=l+（y'）2的通解為（）。

TT

68＞方程孫"一siny=0滿足冗=0時,y=|,y'=l的特解是()o

三、解答題

1、已知函數(shù)/(x,y)=/+y2一xytan土，試求/(比,(y)

y

2^已知函數(shù)/(〃,匕卬)=U"'試求f(x+y,x-y,xy)

3、設(shè)/(x,y,z)=zy2+yz2+zx?,求(0,0,1),(1,0,2)

4、設(shè)z=xln(xy),求彳。

dzdy

5、求函數(shù)：z=ln(l+/+力當(dāng)x=i,y=2時的全微分。

6、求函數(shù)：Z=-,當(dāng)x=2,y=l,Ax=0.15,Ay=0.1時的全增量和全微分。

y

7、求函數(shù)z=e'v,當(dāng)x=l,y=l,A,v=0.15,Ay=0.1時的全微分。

8、設(shè)z=而〃=xcosy,u=xsiny,求包.

dx

9、設(shè)z="2Iny,而〃=—,w=3x-2y,求電.

ydx

10.設(shè)z=,而x=sEr,y=〃求立

dt

設(shè)z=arctan(xy),而y=e求名.

11.

dx

MXe"(y-z)*.十必

12.攻〃=——y---rftly=asinx,z=cosx,^-2—

a+1dx

13、求微分方程y"+y=e"+cos2x的通解。

設(shè)InJ—十_arctan/,求處.

14、

'xdy

15、設(shè)x+2y+z-2y[xyz=0,求—。

dx.

設(shè)±=比工求①.

16、

zydx

17、設(shè)/一盯z=0,求一

dx2

W17

18＞設(shè)23-3盯［=。1求----.

dxdy

19＞求曲線x=/-sinr,y=l-cos/,z=4§山；在點(diǎn)（5-1,1,2行1處的切線方程。

20、求曲線x=—匚,y=",z=J在對應(yīng)于/=1的點(diǎn)處的法平面方程。

1-tt

21、求曲線y?=2mx,z2=m一無在點(diǎn)（x（）,y（）,Zo）處的法平面方程。

,2_L2_I-72-3r=0

22、求曲線-V一在點(diǎn)（1,1,1）處的法平面方程。

2x-3y+5z-4=0

23、求曲線x=f,y=〃,z="上的點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面x+2y+z=4.

24、求曲面a—+勿2+cz?=1在點(diǎn)與，兒“。處的切平面方程。

25、求曲面/一z+xy=3在點(diǎn)（2,1,0）處的切平面方程。

26、求橢球面x2+2y2+z2=\上平行平面x-y+2z=0的切平面方程。

27、求函數(shù)“=x”在點(diǎn)（5,1,2）處沿從點(diǎn)（5,1,2）到點(diǎn)（9,4,⑷的方向的方向?qū)?shù)。

28、設(shè)f（x,y,z）-x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,^.gradf（0,0,0）

29、求函數(shù)/（x,y）=4（x-y）-x2-/的極值。

30、求函數(shù)/（x,y）=（6j-x2）（4y-y?）的極值。

31、求函數(shù)/（x,y）=e"（x+丁+2y）的極值。

32、求函數(shù)/（尤,y）=/+y3_3q的極值。

33、求函數(shù)2=（工一1）2+2曠2的極值。

34、求函數(shù)z二町在適合附加條件x+y=l下的極大值。

35、在平面xoy上求一點(diǎn)，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最小。

36、拋物面z=/+y2被平而x+），+z=i截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長與最短距離。

37、計算二重積分JJ（x2+y2》G其中D是矩形區(qū)域：兇<1,?！?

D

38、計算二重積分Jjcos（x+y”。，其中D是三頂點(diǎn)分別為（0,0）,（匹0）和（匹外的三角形區(qū)域。

D

39、求由平面x=0,y=0,x+y=l所圍成的柱體被平面z=0及拋物面/+/=6一名截得

的立體體積。

40、求由曲面z=/+2y2及名=6-2/_V所圍成的立體的體積。

41、求球面/+y2+z2=。2含在圓柱面，+/=〃x內(nèi)部的那部分面積。

42、求底圓半徑相等的兩個直圓柱面/+/=&及/+22=R2及/+22=R2所圍立體

的表面積。

43、球心在原點(diǎn)，半徑為R的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球心的距離成正比,

求這球體的質(zhì)量。

44、球體Y+y2+z2W2R2內(nèi)，各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試

求這球體的重心。

45、一均勻物體（密度P為常量）占有的閉區(qū)域。由曲面z2=/+y2和平面

Z=（）,忖=。，|）'|=a所圍成。求該物體的體積。

46、計算J[z+2x+g），卜;其中Z為平面楙+]+（=1在第一極限中的部分。

47、計算，72yd%+3xd）,-z?]：;其中T是圓周/+/+z?=9,z=（）,若從z軸正向看去，

取逆時針方向。

48、計算，/,"x?+y2ds，其中L為圓周/+y）=ax.

49、計算-y）dx+xdy,其中L為擺線x=a（l-sinf）,y=a（l-cost）上對應(yīng)f從0到2%

的一段弧。

50、計算Jjxyzdxdy,其中￡為球面/+/+z?=1々N0,y20）的外側(cè)。

Z一

51、一曲線通過點(diǎn)（2,3）,它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線線段被中點(diǎn)平分，求這個曲線方程。

52、求微分方程：蟲+y=e-*的通解。

dx

53、求微方程：xy'+y=—+3x+2的通解。

54、求全微方程（3x2+6盯2bx+（6/y+4>'2）dy=Q的通解

55＞求全微分方程(a2-2xy-y2)dx-(xy)2dy=0的通解。

56、求全微分方程/'公+(元/一2)，"＞=0的通解。

57、求全微分方程(xcosy+cosx)y'-ysinx+siny=0的通解。

58、求微分方程(小一)必一皿=0的通解。

59＞求全微分方程的：y"=x+sinx的通解。

60、求yn=xex的通解。

61、求)，的通解。

-1+x2

62＞求y"=y'+x的通解。

63、已知％(x)=e*是齊次線性方程(2%-1%〃-(23+1?+2丁=0的一個解，求此方程的通

解。

64、已知%(8)=》是齊次線性方程/y〃一2盯'+2y=0的一個解，求非齊次線性方程

x2y"-29'+2y=()的一個解，求非齊次線性方程x2y"-2xy+2y=2x3的通解。

65、已知齊次線性方程。y"+y=0的通解為y(x)=Gcosx+c?sinx,求非齊次線性方程

y,f+y=secx的通解。

66、已知齊次線性方程。(x-1%〃一xy'+y=(x—以的通解為y^=Cix+c2x-\n\x1,求非齊

次線性方程(x—l)y〃不，'+丫=》的通解。

67、已知方程y〃+4y'+4y=0的特解為力=加為求)，"+4y'+4y=%的通解。

68、求微分方程y⑷一y=。的通解。

69、求微分方程y(4)+2y〃+y=0的通解。

70、求微分方程y(4)-2y"+)，"=。的通解。

71、求微分方程y(4)+5y"-36y=0的通解。

72、求微分方程2歹+丫'一丫=2"的通解。

73、求微分方程y〃+a2y=e，的通解。

74、求微分方程2y"+5y'=5x2-2x-l的通解。

75、求微分方程)，〃+3/+2丫=3比7的通解。

76、求微分方程y"-2y'+5y=e1sin2x的通解。

77、求微分方程y"—6y'+9y=(x+l,3，的通解。

78＞求微分方程y"+4y=xcosx的通解。

四、證明題

1.設(shè)函數(shù)z(x,y)由方程尸(尢+工,丁+工)=0所確定，證明：+y—=z-xy

yxdxdy

2222

2.試證：曲面+z§上任意一點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上截距的平方和等于常數(shù)

a2.

3.設(shè)/(x,y)是平面D上的連續(xù)函數(shù)，且在D的任何一個子域。上，恒有

=0，則在D內(nèi)/(x,y)三0

分

4.設(shè)，(x)在[0/3>0)上連續(xù)，試證：2'/(x)dx[/(y)力=[j'/(x)dx-

5.設(shè)/(x)在[a,“上連續(xù)，試證：fdx，(x-y)”2/()，)小，=￡fs-y)a/()，)力，

6.設(shè)為f連續(xù)函數(shù)，證明：

jj/(ax+4-c)dxdy=2j*71-w2/(V^2+b2u4-c)du,其中D為

D

x2+y241,且。2+力2工0

7.設(shè)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，證明：

/(0,0)=lim—\\Xf\+yf；dxdy，其中D為圓環(huán)域：￡2<x2+y2<l

￡f。21"x+y

8.設(shè)fQ)為連續(xù)函數(shù)，證明Jj/(x-y)dxdy=￡-\t\)dt,

D

其中D為矩形域：國《可得(常數(shù)a〉0)

9.設(shè)/(x),g(x)均在[a,“上連續(xù)，證明柯西不等式：

[ff(x')g(x)dxV[f/2(x)dx[fg2aw*

10.設(shè)f(x)為[(),1]上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，證明：

^xf\x)dx^f2(x)dx

11.證明：'f'e-'dxdx<-ye~x'xdx

12.設(shè)曲線L是正向圓周(I-。)？+(y-a)?=1,p(x)是連續(xù)的正函數(shù)，證明:

cfXdy-y(p(x)dx>2"

.°(y)."

13.設(shè)也>0,?！啊?),證明

%b.

⑴若￡勿收斂，貝收斂；(2)若￡