第8章立體幾何

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖、表面積和體積

第1部分六年高考薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010全國卷2理)(9)已知正四棱錐S—ABC。中，SA=20那么當該棱錐的體

積最大時，它的高為

(A)1(B)上(C)2(D)3

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數(shù)的最值問題.

—):=12-^,

h=JSA:-(-

【解析】設(shè)底面邊長為a,則高V-Y-所以體積

V12.1L416

\=-ah=-J12a--a

v=12a,一工@:

:

設(shè).2,貝b’=4$"-3a,當y取最值時，y=4Sa--3a'=0,解得a=o或a=4

h=J12--=2

時，體積最大，此時、2故選C

2.(2010陜西文)8.若某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何『忘中

體的體積是[B]左視陰

(A)2(B)1

21D

(C)-(D)-葡視網(wǎng)

33

【答案】B

解析：本題考查立體圖形三視圖及體積公式

如圖，該立體圖形為直三棱柱

所以其體積為Lxlx后'及=1

2

3.(2010遼寧文)(11)已知S,A,是球。表面上的點，SAL平面ABC,ABIBC,

S4=AB=1,8C=后，則球。的表面積等于

(A)47(B)37(C)27(D)n

【答案】A

【解析1選A.由已知，球。的直徑為2R=SC=2,.?.表面積為4%正=4萬

4.(2010安徽文)(9)一個幾何體的三視圖如圖，該幾

何體的表面積是

(A)372(B)360

(C)292(D)280

【答案】B

【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于

下面長方體的全面積加上面長方體的4個側(cè)面積之和。

S=2(10x8+10x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.

【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決問題的關(guān)鍵.又三視圖很容易知道是兩個長方體

的組合體，畫出直觀圖，得出各個棱的長度.把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長方體的全面積

加上面長方體的4個側(cè)面積之和。

5.(2010重慶文)(9)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點

(A)只有1個(B)恰有3個

(C)恰有4個(D)有無窮多個

【答案】D

【解析】放在正方體中研究,顯然，線段。?！窫F、FG、

HE的中點到兩垂直異面直線AB、CD的距離都相等，

所以排除A、B、C,選D

亦可在四條側(cè)棱上找到四個點到兩垂直異面直線AB、

CD的距離相等

6.(2010浙江文)(8)若某兒何體的三視圖(單位：

cm)如圖所示，則此幾何體的體積是

第8題

320

(B)---cm3

3

224

(C)---cm3

3

160

(D)---cm3

3

【答案】B

【解析】選B,本題主要考察了對三視圖所表達示的空間兒何體的識別以及兒何體體積的計

算，屬容易題

7.（2010北京文）（8）如圖,正方體ABCD-ABGD的棱長為

2,動點E、F在棱A3［上。點Q是CD的中點，動點

P在棱AD上，若EF=1,DP=x,A1E=y（x,y大于零），

則三棱錐P-EFQ的體積：

（A）與x,y都有關(guān)；（B）與x,y都無關(guān)；

（C）與x有關(guān)，與y無關(guān);（D）與y有關(guān)，與x無關(guān);

【答案】C

8.（2010北京文）（5）一個長方體去掉一個小長方體,

正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該

集合體的俯視圖為：

答案：C

9.（2010北京理）（8）如圖，正方體ABCD-4EGA的棱長為2,

動點E、F在棱上,動點P,Q分別在棱AD,CD上若EF=1,

A]E=x,DQ=y,DP=z（x,y,z大于零），則四面體PEFQ的體積

（A）與x,y,z都有關(guān)

（B）與x有關(guān),與y,z無關(guān)

（C）與y有關(guān),與x,z無關(guān)

（D）與z有關(guān),與X,y無關(guān)

【答案】D

10.（2010北京理）（3）一個長方體去掉一個小長方體，所得兒

何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該兒何

體的俯視圖為

【答案】C

11.（2010廣東理）6.如圖1，△ABC為三角形，A4'〃88'//CC,CC_L平面ABC且

3

3AA'=±BB'=CC'=AB,則多面體AABC-49。'的正視圖（也稱主視圖）是

2

【答案】D

12.（2010廣東文）

9.如圖，為正三角形，平面且，則多面體的正視明，包稱主視圖）是

圖1

解：由“張氏”垂點法知,選D

13.（2010福建文）3.若一個底面是正三角形的三棱柱

的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（)I

A.V3B.21

C.273D.6

第3題圖

【答案】D

【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2,高為1的正三棱柱，所以底面積為

2x—X4=2A/3,側(cè)面積為3x2xl=6,選D.

4

【命題意圖】本題考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們識圖的能力、空間想象能力等基本

能力。

14.（2010全國卷1文）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,

則四面體ABCD的體積的最大值為

(A)空

⑻空(026⑼空

3

【答案】B

【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計算、球的性質(zhì)、異面直線的距離，通過球這

個載體考查考生的空間想象能力及推理運算能力.

【解析】過CD作平面PCD,使ABJ_平面PCD,交AB與P,設(shè)點P到CD的距離為力，則有

11）._____

%面體ABCD=-x2x-x2x/?--A,當直徑通過AB與CD的中點時，hmm=2打-F=，故

V=迪

max3

二、填空題

1.（2010上海文）6.已知四棱椎P-A3CO的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱PA，底面

ABCD,且PA=8,則該四棱椎的體積是。

【答案】96

【解析】考查棱錐體積公式V=！x36x8=96

3

2.（2010湖南文）13.圖2中的三個直角三角形是一個體積為20cm2的幾何體的三視圖，則

h=cm

7

1/cm）

S2

【答案】4

3.（2010浙江理）（12）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖J所示，則此幾何體的體積是

__________cm，.

解析：圖為一四棱臺和長方體的組合體的三視圖，由卷中卜月2?144\.小二

所給公式計算得體積為144,本題主要考察了對三視圖所表達示

的空間兒何體的識別以及兒何體體積的計算，屬容易題

正視圖便視圖

\2_

俯視圖

（第12的

4.（2010遼寧文）（16）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,在其上用粗

線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的?條棱的

長為.

解析：填2百畫出直觀圖：圖中四棱錐尸-A8CO即是,

所以最長的一條棱的長為尸8=26.

5.（2010遼寧理）（15）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,

在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的

i條棱的長為.

【答案】26

【命題立意】本題考查了三視圖視角卜多面體棱長的最值問題,

考查了同學(xué)們的識圖能力以及由三視圖還原物體的能力。

【解析】由三視圖可知，此多面體是一個底面邊長為2的正方

形且有一條長為2的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以最長棱長

為也+22+22=26

6.（2010天津文）（12）一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個

幾何體的體積為。

【答案】3

【解析】本題主要考查三視圖的基礎(chǔ)知識，和主題體積的計算,

屬于容易題。

由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則正視圖和俯視圖

可知該幾何體的高為1,結(jié)合三個試圖可知該幾何體是底面為直

角梯形的直四棱柱，所以該兒何題的體積為工（1+2%k3=

2

【溫馨提示】正視圖和側(cè)視圖的高是幾何體的高，由俯視圖可

以確定兒何體底面的形狀，本題也可以將兒何體看作是底面是

長為3,寬為2,高為1的長方體的一半。

7.（2010天津理）（12）一個兒何體的三視圖如圖所

示，則這個幾何體的體積為

【答案】—

3

【解析】本題主要考查三視圖的概念與柱體、椎體體

積的計算，屬于容易題。

由三視圖可知，該兒何體為一個底面邊長為1,高為2

的正四棱柱與一個底面邊長為2,高為1的正四棱錐

組成的組合體，因為正巳靈珠的體積為2,正四棱錐

14

的體積為一x4xl=—,所以該兒何體的體積V=2+

33

410

3~T

【溫馨提示】利用俯視圖可以看出幾何體底面的形狀，結(jié)合正視圖與側(cè)視圖便可得到幾何體

的形狀，求錐體體積時不要丟掉!哦。

3

三、解答題

1.（2010上海文）20.（本大題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2

小題滿分7分.

如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形

骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)

面和下底面（不安裝上底面）.

（1）當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該

最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）；

（2）若要制作?個如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請作

出

用于燈籠的三視圖（作圖時，不需考慮骨架等因素）.

解析：（1）設(shè)圓柱形燈籠的母線長為/,則/=1.2-2r（0<r<0.6）,

&-3萬（r-0.4）=0.48萬，

所以當片0.4時，S取得最大值約為1.51平方米；

（2）當40.3時，1=0.6,作三視圖略.

2.（2010陜西文）18.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐…力版中，底面4?5是矩形必，平面A片AB,BP=B（=2,E,尸分

別是做AC的中點.

（I）證明：如〃平面乃1〃；

（II）求三棱錐的體積V.

解（1）在△胸中，E,尸分別是歷，/個的中點，...牙'〃必

yL.BC//AD,：.EF//AD,

又平面PAD,E&Z平面PAD,

.?.?、〃平面PAD.

(II)連接AB,AC,EC,過￡作EG//PA交AB于羔G,

則比L平面ABCD,且EG--PA.

2

在/XPAB中，A廬AB,ZPAB°,淤2,???加=4走正,.

2

**?SZ^ABC^—AB?BC^—X^2X2=^2,

22

VE-AK^—SaABC?EG=_XV2X=—.

3323

3.(2010安徽文)19.(本小題滿分13分)

如圖,在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF/7AB,EF±FB,ZBFC=90°,

BF=FC,H為BC的中點,

(I)求證：FH〃平面EDB;

(II)求證：AC_L平面EDB;

(III)求四面體B—DEF的體積；

【命題意圖】本題考查空間線面平行、線面垂直、

面面垂直的判斷與證明，考查體積的計算等基礎(chǔ)

知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和

第（19）題緝

運算能力.

【解題指導(dǎo)】(1)設(shè)底面對角線交點為G,則可以通過證明EG〃FH,得FH〃平面ED8；

(2)利用線線、線面的平行與垂直關(guān)系，證明FHL平面ABCD,得FH_LBC,FH±AC,進而

得EG_LAC,AC_L平面￡08；(3)證明BF_L平面CDEF,得BF為四面體B-DEF的高，進而

求體積.

⑴證：設(shè)總交砌，則為匚的中點，題,由于為的密(點GM攵HBC

GH//-AB,

=2

乂四邊油為彈行四邊腦FG"

=2

EG//FH,而歐的平施DB：.FH//EDB

(□)證：由四邊形ABCD為正方形，有AB_LBC。

又EF//AB,EF±BCo而EFLFB,EF_L平面3尸G,.:EFLFH

..AB_L9又BF=FG,以為6派中點，F(xiàn)H±BCO

FH_L平面WCD

FHLAC又FHHEG,:.AC±EG.5LAC±BD,EGnBD=Q

AC_L平面班3"

(III)解:???EF_L^,NBFC=90°,:.8F_L平面CZ應(yīng)F.

/.E尸為四面體B-DEF^i，又BC=AB=2,：,BF=FC=&

%0F=:*!*1*點*應(yīng)=；

323

【規(guī)律總結(jié)】本題是典型的空間幾何問題，圖形不是規(guī)則的空間幾何體，所求的結(jié)論是線面

平行與垂直以及體積，考查平行關(guān)系的判斷與性質(zhì).解決這類問題，通常利用線線平行證明

線面平行，利用線線垂直證明線面垂直，通過求高和底面積求四面體體積.

4.(2010四川理)(18)(本小題滿分12分)已知正方體4及力一4的棱長為1,點〃

是棱44'的中點，點。是對角線M的中點.

A

(I)求證：為異面直線AA和BU的公垂線；

(II)求二面角M-BC—8的大?。篗

(III)求三棱錐材一〃弘的體積.

本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并

考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。

解法r(1)連結(jié)〃1,取然中點《，則/為故的中點，連結(jié)布

因為"是棱44’的中點，點。是劭'的中點

所以AM〃LDD'〃OKA

=2=

所以場學(xué)K由44'VAK,得初"L44'"

因為AKLBRAKLBB',所以序工平面板'B',

所以/《，故'

所以MOVBD'

又因為是異面直線A4'和班’都相交故為異面直線AA'和BU的公垂線

(2)取班'中點M連結(jié)妙；貝hlACL平面式fB'

過點及作于〃，連結(jié)加

則由三垂線定理得MLMH

從而，/腸那為二面角M-BC-B'的平面角

_[V2_V2

MN=\,NH=Bnsi或5°

2

在RtAMNH中,tan/MHN=竺-=」=272故二面角M-BC-B'的大小為arcta應(yīng)近

NHV2

(3)易知，SSM…且△次和△/'D'都在平面笈萬A,內(nèi)

點。到平面例'D'距離/?=,

2

心加=I^U-OA'"=Vo-urir=—irh=----

324

解法二：

以點〃為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz

則1(1,0,0),8(1,1,0),<7(0,1,0),/'(1,0,1),(7(0,1,1),〃'(0,0,1)

(1)因為點材是棱加’的中點,點。是BD,的中點

所以加1,0,L,O(LLL

2222

——■11—■——■

OM=(-,——,0),AA'=(0,0,1),5D'=(-1,-1(1)

22

------——■——11

OMAA'=O,OMBD'=一一+—+0=0所以。匕協(xié)'

22

又因為〃v與異面直線/M'和他’都相交

故為異面直線AA和BD的公垂線.........................4分

⑵設(shè)平面BMC的一個法向量為嗎=(x,y,z)

-),麗=(-1,0,1)

2

(------f1

n.BM=0-y+—z=o

[〃/C,=0T+.o

取z=2,則x=2,y=l,從而々=(2,1,2)

取平面a*8的一個法向量為%=(0,1,0)

n,n1

COS<n,,%>=—=T-=27-=L

3

\nx\\n2\V91

由圖可知，二面角折"-月的平面角為銳角

故二面角M-BC-B的大小為arccos—.........9分

3

(3)易知，S^onc=-/=—1=—

444

設(shè)平面防C的一個法向量為n3=(E,yi,zi)

BD,=(—1,—1,1),BC—(-■1,0,0)

產(chǎn)記=0即尸—y+Z|=O

\n}BC=O[一芯=0

取Zi=l,得％=1,從而〃3=(O,1,D

1

\BM\_2_V2

點M到平面詠的距離d

ln；l~y/2~4

1?1V2V2_1

S12分

3^BCd=-——=-

2009年高考題

-、選擇題

1.?空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.

C.2兀+巫r/273

A.2^+2^3B.4乃+2-\/3D.4萬+」一

【解析】：該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,

圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為2萬,四棱錐的底面

邊長為后，高為百,

所以體積為

3

所以該幾何體的體積為2兀+巫.正（主）視圖側(cè)（左）視圖

3

答案:C

【命題立意】：本題考查了立體兒何中的空間想象能力,

由三視圖能夠想象得到空間的立體圖，并能準確地

計算出.幾何體的體積.

2.一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c,〃2）為

(A)48+12亞(B)48+24夜(C)36+12/(D)36+24貶

3.正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點，則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為

(A)1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：2

TTYI

4.在區(qū)間［-1,1］上隨機取一個數(shù)x,cos—的值介于0到一之間的概率為().

22

12cl2

A.-B.—C.-D.一

3萬23

77TTX7T7TX

【解析】:在區(qū)間1］上隨機取一個數(shù)X,即1,1］時,一一<—.\0<COS—<1

2222

71X111

區(qū)間長度為1,而cos—的值介于。到一之間的區(qū)間長度為一,所以概率為一.故選C

2222

答案C

【命題立意】：本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題，由自變量x的取值范圍,得到函

數(shù)值COS上7TY的范圍，再由長度型幾何概型求得.

2

5.如右圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為工。則該集合體

2

的俯視圖可以是

答案:C

6.紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北?，F(xiàn)有沿該正方體

的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標“△”的面的方位是

A.南B.北

C.西D.下

解：展、折問題。易判斷選B

7.如圖，在半徑為3的球面上有。三點，NABC=90°,BA=BC,

球心。到平面ABC的距離是半，則8、C兩點的球面距離是

714^

A.—B.7iC.—D.27r

33

答案B

8.若正方體的棱長為J5,則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為

2

A叵理D.-

63c33

答案C

9,如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長分別為3和4,過直角頂點的側(cè)棱長

為4,且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是（）

答案B

二、填空題

10“圖是一個兒何體的三視圖，若它的體積是3JL則2=

答案E

11.如圖是一個兒何體的三視圖，若它的體積是36，則。=

信視圖

12.若某兒何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此兒何體的體積是cm}.

答案18

【解析】該兒何體是由二個長方體組成，下面體積為Ix3x3=9,上面的長方體體積為

3x3xl=9,因此其幾何體的體積為18

13.設(shè)某兒何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。

答案4

14.直三棱柱ABC—4月。|的各頂點都在同一球面上，若

A8=AC=A41=2,ABAC=120°,則此球的表面積等于。

解:在AA8C中A8=AC=2,ABAC=120。,可得8C=26，由正弦定理，可得A4BC

外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為0',球心為。，在RTA08。'中，易得球半徑7?=6，

故此球的表面積為4萬K=20萬.

15.正三棱柱ABC-481G內(nèi)接于半徑為2的球，若A,8兩點的球面距離為乃，則正三棱

柱的體積為.

答案8

16.體積為8的一個正方體，其全面積與球。的表面積相等，則球。的體積等于.

答案匹

71

17.如圖球O的半徑為2,圓。］是一小圓，0.0=41,A、B

2乃

是圓。上兩點，若A,B兩點間的球面距離為々-，則44。0=.

汽

答案2

18.已知三個球的半徑與，R”號滿足與+2危=3%，則它們的表面積S-S2,S3,

滿足的等量關(guān)系是.

卮+2區(qū)=3,

答案

19.若球01、。2表示面積之比』＞=4,則它們的半徑之比旦=___________,

512/?2

答案2

三、解答題

20.（本小題滿分13分）

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐

P-EFG”,下半部分是長方體ABC。-ERG"。圖5、圖6分別是該標識墩的正（主）

視圖和俯視圖。

（1）請畫出該安全標識墩的側(cè)（左）視圖；

（2）求該安全標識墩的體積；

（3）證明：直線平面PEG.

【解析】（1）側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.

（2）該安全標識墩的體積為：V=VP_EFGH=VABCD-EFGH

=-X402X60+402X20=32000+32000=64000（cm2

31

（3）如圖，連結(jié)EG.HF及BD,EG與HF相交于0,連結(jié)P0.

由正四棱錐的性質(zhì)可知,P01平面EFGH,P01HF

又EG上HF：.HF1平面PEG

又BDPHF.?.8。J_平面PEG；

2005—2008年高考題

一、選擇題

1.（2008廣東）將正三棱柱截去三個角（如圖1所示4BC分別是△G"/三邊的中點）

得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）

答案A

2.（2008海南、寧夏理）某幾何體的一條棱長為J7,在該幾何體的正視圖中，這條棱的投

影是長為后的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為。和b

的線段，則a+b的最大值為（）

A.2>/2B.2V3C.4D.275

答案C

【解析】結(jié)合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算。如圖

設(shè)長方體的高寬高分別為機,”,A，由題意得

，九2+/+22=幣,dm2+攵2=瓜=>n=1

Jl+/=a,Jl+/=b,所以（/一1）+（〃2一］）=6

=>Q2+/=8,（a+/?）2=Q?+2ab+h2=8+2。/?<8+6f2+/?2=16

=>a+b<4當且僅當a=b=2時取等號。

3.（2008山東）下圖是?個兒何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該兒何體的表面積是

A.9五B.lOn

C.lln

俯視圖

答案D

【解析】考查三視圖與幾何體的表面積。從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個

圓柱組合而成的，其表面及為

5=4^X12+^-X12X2+2ZTX1X3=1萬二

3.（2007寧夏理?8）已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,

可得這個幾何體的體積是（）

正視圖側(cè)視圖俯視圖

A.4。。。cn?B.-err?C.2000cm3D.4000cm3

33

答案B

4.（2007陜西理?6）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個

頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）

A3白口后V31、百

A.-------D.Cr.1J.

43412

答案B

5.（2006安徽）表面積為26的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體

積為

,行.1八2n2>/2

A.---71B.-71C.-71D.----71

3333

答案A

r2

所以由用

【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形,8x"—=26

4

a=l,則此球的直徑為近，故選A。

6.（2006福建）已知正方體外接球的體積是32萬，那么正方體的棱長等于（）

3

D2A/3

A.2A/2D.-----------C—

3.亍

答案D

【解析】正方體外接球的體積是3也2萬，則外接球的半徑R=2,正方體的對角線的長為4,

3

4百

棱長等于竺仁，選D.

3

7.（2006湖南卷）過半徑為2的球。表面上點A作球。的截面，若OA與該截面所成

的角是60°則該截面的面積是（）

A.7iB.27rC.3萬D.2后方

答案A

【解析】過半徑為2的球。表面上一點A作球。的截面，若OA與該截面所成的角是60°,

則截面圓的半徑是，R=1,該截面的面積是乃，選A.

2

8.（2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）

A.1：73B.1：3C.I：3V3D.1：9

答案C

【解析】設(shè)正方體的棱長為“，則它的內(nèi)切球的半徑為它的外接球的半徑為35。，

22

故所求的比為1：3JL選C.

9.（2005全國卷I）一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為左，則球的表面積

為（）

A.8A/2^B.8萬C.4A/2^D.4萬

答案B

10.（2005全國卷I）如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且

A4OE、ABC/均為正三角形，EF〃AB,EF=2,則該多面體的體積為（）

C

AB

43

D.-

32

二、填空題

11.（2008海南、寧夏理科）?個六棱柱的底面是正六邊

9

形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為一,

8

底面周長為3,則這個球的體積為

.4萬

答案——

3

【解析】令球的半徑為R，六棱柱的底面邊長為4,高為〃，顯然有R,且

291

2

人44

-一

XX--2VR3

48nn=n=-乃=-

633

U-

12.（2008海南、寧夏文）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱

的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為6,底面周長為3,那么這個球的體積為

~4

答案一兀

3

【解析】???正六邊形周長為3,得邊長為,，故其主對角線為1,從而球的直徑

2

2R=4（6）+F=2

4

.,./?=1.?.球的體積丫=一兀.

3

13.（2007天津理?12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱

的長分別為1,2,3,則此球的表面積為.

答案14兀

14.（2007全國fl理75）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四

棱柱的底面邊長為1cm,那么該棱柱的表面積為一cm2.

答案2+46

15.（2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一吶接正六棱錐

P

P-ABCDEF,則此正六棱

4F

錐的側(cè)面積是

答案6幣

【解析】顯然正六棱錐P-A8COE/的底面的外接圓是球的一個大圓，于是可求得底面

邊長為2,又正六棱錐P-A3COEF的高依題意可得為2,依此可求得6嶼.

第二部分四年聯(lián)考匯編

2010年聯(lián)考題

題組二（5月份更新）

1.（池州市七校元旦調(diào)研）在三棱柱ABC—AAG中，各棱長相等，側(cè)接垂直于底面，點

。是側(cè)面88cle的中心，則AO與平面8BCC所成角的大小是（）

A.30。B.45。c.60。D.90。

答案c

解析：取BC的中點E,則45_1面84GC,.?.AELOE,因此A。與平面⑶用弓。所成

AF=直n/?=￡

角即為NAOE,設(shè)T",2,即有tanNADE=G,，NADE=60°

2.（安徽六校聯(lián)考）如圖是一個簡單的組合體的

直觀圖與三視圖.下面是?個

棱長為4的正方體，正上面放

一個球，且球的一部分嵌入正

方體中，則球的半徑是（）

A.-B.1C.-D.2

22

答案B

3.如圖，動點P在正方體A8CO—44G2的對角線6,上.過點P作垂直于平面

8月DQ的直線，與正方體表面相交于M,N.設(shè)BP=x,MN=y,則函數(shù)y=/（x）的

4.（三明市三校聯(lián)考）已知某幾何體的三視圖如右圖所

示，則該兒何體的體積為

答案2/3

俯視圖

5.（昆明一中三次月考理）四面體ABCD中，共頂點A的三條棱兩兩相互垂直，且其長分

別為1、、同、3,若四面體的四個頂點同在一個球面上，則這個球的表面積為。

答案：16%

6.（池州市七校元旦調(diào)研）若某兒何體的三視圖（單位：cm）如圖

所示，則此幾何體的體積是c*

答案18

【解析】該幾何體是由二個長方體組成，下面體積為Ix3x3=9,上

面的長方體體積為3x3x1=9,因此其幾何體的體積為18

俯視圖

7.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)）一個幾何體的三

視圖如圖所示：其中，主視圖中大三角形的邊長是2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么

該幾何體幾的體積為.

答案33

2

8.（安慶市四校元旦聯(lián)考）（本題滿分14分）如圖，在四棱錐P-A8CO中，ABCD是矩

1

=S

^E-PAB3-?PA=-x-xlxVSxl=—

MBE326

（2）當點E為3C的中點時，￡e11平面月4。。

理由如下：?.?點E,尸分別為CD、PD的中點，，EEIIPC。

???PCu平面PAC，EF<Z平面PACEFW平面PAC

(3)PAL平面ABC。，COu平面ABC。CD1PA

???ABC。是矩矩形，CD1AD

PAcAO=A,:.CD1平面PAO

vAFu平面PAOAF±DC

?/PA=AD,點尸是尸。的中點AF1PD

又C￡>nPO=。AfJ,平面POC

PEu平面POC,PE1AF

9.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)）如圖，在三棱柱4G中，已

jr

知BC=1,BB1=2,ZBCC,=-AB1.側(cè)面BB￡C,

（1）求直線CiB與底面ABC所成角正切值；

（2）在棱CG（不包含端點C,CJ上確定一點E的位置，

使得（要求說明理由）.

（3）在（2）的條件下，若48=0,求二面角A-￡與-4的大小.

解（1）在直三棱柱ABC—A/C中，平面ABC，C乃在平面ABC上的射影為

CB.

??.NCRC為直線G8與底面A8C所成角.........2'

;CC、=BBi=2,BC=l,tanZC,BC=2

即直線G8與底面ABC所成角正切值為2..............4'

(2)當E為中點時，