2019-2020學(xué)年安徽省滁州市定遠縣育才高二（普通班）上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知：函數(shù)為增函數(shù)，，，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：先通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題化簡兩個命題對應(yīng)的數(shù)集，再利用數(shù)集間的包含關(guān)系進行判定．詳解：若函數(shù)為增函數(shù)，則，即，；若，，則，即，；顯然，是的充分不必要條件.故選A．點睛：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、全稱命題、簡單的邏輯連接詞、充分條件和必要條件等知識，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和基本運算能力．2．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．命題“若，則”的逆否命題為假命題D．命題“若，則”的逆命題為假命題【答案】D【解析】根據(jù)四種命題的定義以及命題真假之間的關(guān)系即可得結(jié)論.【詳解】A.命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯誤；B.命題“，”的否定是“，”，故B錯誤；C.命題“若，則”為真命題，故它的逆否命題為真，故C錯誤；D.命題“若，則”的逆命題為“若，則”，當(dāng)時，成立，故為假命題.故選：D【點睛】本題考查了四種命題的定義以及命題真假之間的關(guān)系，考查了學(xué)生邏輯推理，概念理解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A． B．C． D．【答案】B【解析】試題分析：不妨設(shè)直線，即橢圓中心到的距離，故選B.【考點】1、直線與橢圓；2、橢圓的幾何性質(zhì).【方法點晴】本題考查直線與橢圓、橢圓的幾何性質(zhì)，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.不妨設(shè)直線，即橢圓中心到的距離，利用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想建立方程是本題的關(guān)鍵節(jié)點.4．已知雙曲線的左.右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且滿足，則的面積為()A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線的定義可得，聯(lián)立可求出的長，進而可求三角形的面積.【詳解】由雙曲線的定義可得，又，兩式聯(lián)立得：，，又，所以，即為直角三角形，所以.故選A【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，雙曲線的焦點三角形問題，一般需要借助拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題中條件來處理，難度不大.5．是拋物線上一點，為拋物線的焦點，以為始邊，為終邊的角為，且，若，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】過作軸和準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)拋物線定義列方程可求出p的值.【詳解】過作軸的垂線MN，N為垂足，過M向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為A，則故選：B【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)為曲線上的點，且曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為,又因為曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則切線的斜率，所以,解得，故選A.7．已知直線與曲線在點處的切線互相垂直，則為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以切線的斜率，而直線的斜率，由題設(shè)，即，應(yīng)選答案D．8．已知函數(shù)，則（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：由求導(dǎo)公式可知【考點】函數(shù)求導(dǎo)數(shù)9．已知函數(shù)f(x)＝lnx，且f(x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)．若a＝f(7)，b＝f′，c＝f′，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】B【解析】求出的導(dǎo)數(shù)再代值求解即可.【詳解】，即.又，則，故.【點睛】本題考查求導(dǎo)運算的簡單運用以及代值比較函數(shù)值的大小.屬簡單題.10．已知（為常數(shù)）在區(qū)間上有最大值，那么此函數(shù)在上的最小值是（）A． B． C． D．以上都不對【答案】A【解析】f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．當(dāng)－2<x<0時，f′(x)>0，∴f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，f(0)為極大值且f(0)＝m，∴f(x)max＝m＝3，此時f(2)＝－5，f(－2)＝－37.∴f(x)在[－2,2]上的最小值為－37.11．在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時，其梯形的上底為A． B．rC．r D．r【答案】D【解析】設(shè)，則上底為，高為，因此梯形面積為因為由，得，根據(jù)實際意義得時，梯形面積取最大值，此時上底為，選D.點睛：利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用得可疑最值點；第二步：比較極值同端點值的大?。趹?yīng)用題中若極值點唯一，則極值點為開區(qū)間的最值點.12．函數(shù)f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．單調(diào)增函數(shù)B．單調(diào)減函數(shù)C．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】A【解析】計算導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負，判定原函數(shù)單調(diào)性，即可?！驹斀狻?結(jié)合x的定義域可知，故為增函數(shù)，所以選A?！军c睛】本道題考查了導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，關(guān)鍵得到，即可，屬于較容易的題。二、填空題13．命題“至少有一個正實數(shù)滿足方程”的否定是________________.【答案】，【解析】由特稱命題的否定是全稱命題，即得解.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，命題“至少有一個正實數(shù)滿足方程”的否定是:，故答案為：，【點睛】本題考查了特稱命題的否定是全稱命題，考查了學(xué)生概念理解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是________.【答案】【解析】與橢圓兩個焦點有關(guān)的問題，一般以回歸定義求解為上策，抓住△PF1F2為直角三角形建立等式關(guān)系．【詳解】∵△POF2是面積為的正三角形，∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．∴c=2，∵△PF1F2為直角三角形，∴a=，所以.故答案為．【點睛】本題考查了橢圓的基本量，關(guān)鍵是抓住圖形特征建立等式關(guān)系．15．雙曲線的一個焦點是，那么實數(shù)的值為________.【答案】【解析】寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，及，可得，即得解.【詳解】雙曲線方程為：即：又故答案為：-1【點睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.16．直線與拋物線交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由得，∴，即，∴．【考點】拋物線的定義、拋物線與直線相交問題點評：解決拋物線中與直線相交的問題時，一般先聯(lián)立方程組，化簡出一元二次方程，再利用韋達定理解決．三、解答題17．已知：；：．（1）若是的必要條件，求的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）求出p，q成立的等價條件，根據(jù)p是q的必要條件，建立條件關(guān)系即可．（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分條件，即q是p的必要不充分條件，建立條件關(guān)系進行求解即可．解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即P：﹣2≤x≤10，又q：1﹣m2≤x≤1+m2．（1）若p是q的必要條件，則，即，即m2≤3，解得，即m的取值范圍是．（2）∵?p是?q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件．即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3即m的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．18．過雙曲線的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為左焦點．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)聯(lián)立方程，利用韋達定理直接利用弦長公式得到答案.(2)求原點到直線的距離，再利用面積公式得到答案.【詳解】解：(1)由雙曲線的方程得，∴，F(xiàn)1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)．直線AB的方程為．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.∴，.∴(2)直線AB的方程變形為.∴原點O到直線AB的距離為.∴.【點睛】本題考查了弦長和面積，是圓錐曲線里面的常規(guī)題型，意在考查學(xué)生的計算能力.19．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求所有實數(shù)的值；【答案】（1）當(dāng),減區(qū)間為，當(dāng)時,遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）.【解析】試題分析：（1）求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性；（2）對進行分類:當(dāng)時,遞減,又知可得；當(dāng)時,只需求,讓最大值小于等于零即可.試題解析：（1），當(dāng)時，，減區(qū)間為當(dāng)時，由得，由得遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）由（1）知：當(dāng)時，在上為減區(qū)間，而在區(qū)間上不可能恒成立；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，，令，依題意有，而，且在上遞減，在上遞增，，故.【考點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.20．已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線的方程；（2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點的坐標(biāo)；（3）如果曲線的某一切與直線垂直，求切點坐標(biāo)和切線方程?！敬鸢浮拷猓海?）（2）（3）【解析】略21．如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為2.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）由，結(jié)合即得解；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，設(shè)，，用點坐標(biāo)表示，韋達定理代入即得解.【詳解】（1）由題設(shè)知，，結(jié)合，解得.所以橢圓的方程為.（2）由題設(shè)知，直線的方程為，代入，得.由已知，設(shè)，，，則，，從而直線的斜率之和.所以直線斜率之和為定值2.【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.22．已知函數(shù)，直線．（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）求證：對于任意，直線都不是曲線的切線；（Ⅲ）試確定曲線與直線的交點個數(shù)，并說明理由．【答案】（Ⅰ）極小值，無極大值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）當(dāng)時，曲線與直線沒有交點，而當(dāng)時，曲線與直線有且僅有一個交點．【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)定義域再求導(dǎo)，得令，解得的值，畫出當(dāng)變化時，與的變化情況表所示，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)有極小值，無極大值（Ⅱ）對于是否存在問題，先假設(shè)存在某個，使得直線與曲線相切，先設(shè)出切點，再求，求得切線滿足斜率，又由于過點，可得方程顯然無解，所以假設(shè)不成立．所以對于任意，直線都不是曲線的切線.（Ⅲ）寫出“曲線與直線的交點個數(shù)”等價于“方程的根的個數(shù)”.由分離系數(shù)法得，令，得，其中，且.考察函數(shù)，其中，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到方程根的情況，命題得證試題解析：函數(shù)定義域為，求導(dǎo)，得，令，解得．當(dāng)變化時，與的變化情況如下表所示：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)有極小值，無極大值