關(guān)于函數(shù)的連續(xù)與間斷第一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量第二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.連續(xù)的定義第三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1證由定義2知第五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.單側(cè)連續(xù)定理第六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,第八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3證第九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)第十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.跳躍間斷點(diǎn)例4解第十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.可去間斷點(diǎn)例5第十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn).特點(diǎn)第十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.第二類(lèi)間斷點(diǎn)例6解第十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).第十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類(lèi)間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★第十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型:第十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例8解第十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理1例如,第二十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第二十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理3證第二十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日將上兩步合起來(lái):第二十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例9解第二十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例10解同理可得第二十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,第二十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日四、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★第二十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.第二十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注意注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.第二十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例11例12解解第三十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義:例如,第三十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.第三十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證第三十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義:第三十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾何解釋:第三十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾何解釋:MBCAmab證由零點(diǎn)定理,第三十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例13證由零點(diǎn)定理,第三十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例14證由零點(diǎn)定理,第三十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日六、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖)第三十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日可去型第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyxoyxoyx第四十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.6.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.7.初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個(gè)定理;兩點(diǎn)意義.5.反函數(shù)的連續(xù)性.第四十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日8.有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立．解題思路直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理;第四十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題1第四十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題1解答且第四十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日但反之不成立.例但第四十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題2第四十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題2解答是它的可去間斷點(diǎn)第四十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題3下述命題是否正確？第四十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題3解答不正確.例函數(shù)第四十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日練習(xí)題1第五十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日練習(xí)題1答案第五十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日練習(xí)題2第五