2021屆高考文科數(shù)學(xué)模擬預(yù)熱卷（全國(guó)n卷）

【滿分：150分】

-'選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中?只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)A=｛（x,y）|x+y-4=o｝,B=｛（*y）|2x-y-5=。｝,則集合Ac8=（）

A.｛1,3｝B.｛（1,3）｝C.｛（3,1）｝D.0

2.下列角的終邊位于第四象限的是（）

A.4200B.860°C.l060°D.l260°

3.拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么=4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（）

A.2枚都是4點(diǎn)

B.1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)

C.2枚都是2點(diǎn)

D.1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)

4.等差數(shù)列｝中,州+3a8+ai5=120，則2a9-aio的值是（）

A.20B.22C.24D.-8

5.過(guò)點(diǎn)A（3,l）和圓（x-2y+y2=1相切的直線方程為（）

A.y=1B.x=3C.x=3或y=lD.不確定

6.已知數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S“，且（直-1）號(hào)+ah壺（〃€1<）.記a="扁，T”為數(shù)列

他｝的前幾項(xiàng)和，則使丁>蟹成立的最小正整數(shù)為（）

"〃64

A.5B.6C.7D.8

7.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的〃=（）

C.21D.23

8.若直線如+=4和圓0:犬+）P=4沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)尸（加,〃）的直線與橢圓

x2y1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

—+—

94

A.2B.lC.OD.0或1

9.已知對(duì)于任意的xeR,都有/（x）="2-x）成立，且/GO在（—/）上單調(diào)遞增，則不等

式/（唾尸）＞/（-2）的解集為（）

⑶⑶［穿卜

A.I/B.I/CA）D.l）

10.已知A,&C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，e。為VABC的外接圓，若e。1的面積為

4?t,AB=BC=AC=00,,^0^O的表面積為()

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

11設(shè)a=47b=0.3°s,c=log23,則。,仇。的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

12.設(shè)函數(shù)/(x)=2sin(x+),xcR淇中>0,內(nèi)兀.若//兀心J(")=0且『⑶的最

1188

小正周期大于2兀，則()

A.=1=兀_D「.=2=—1_1兀_

3123~n

C.=1=-IE__L、).=_1,=_7兀

324324

二'填空題：本題共4小題?每小題5分，共20分.

QJ3

14.記數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為S”，若S“=3斯+2〃-3,則數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為

a?=_□.

x+y-2?0

15.若x,y滿足約束條件-x-y+2...0,則z=-lx+y的最大值為.

y...1

16.在下列命題中，真命題有.(填序號(hào))

①若/(x)在(a力)內(nèi)是增函數(shù)，則對(duì)任意xe(a,b),都應(yīng)有f\x)>0;

②若在(“力)內(nèi)f\x)存在，則/(x)必為單調(diào)函數(shù)；

③若在3,句內(nèi)對(duì)任意x都有f\x)>0，則/(%)在Q6)內(nèi)是增函數(shù)；

④若可導(dǎo)函數(shù)在(a/)內(nèi)有f\x)<0，則在①力)內(nèi)有/(%)<0.

三'解答題：共7()分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為已知

b+c=2a,3csinB=4。sinC。

⑴求cos/?的值；

⑵求si/28+",的值。

I9

18.(12分)某企業(yè)銷售部門為了解員工的銷售能力，設(shè)計(jì)了關(guān)于銷售的問(wèn)卷調(diào)查表，從

該部門現(xiàn)有員工中按性別(男生占45%)分層抽取n名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得分分為123,4,5

五個(gè)檔次，各檔次中參與問(wèn)卷調(diào)查的員工的人數(shù)如條形圖所示.已知第5檔員工的人數(shù)占總

人數(shù)的」.

5

人數(shù)

22.........

jnnilIIr.

12345檔次

(1)(i)求〃與"的值；

(ii)若將某員工得分所在的檔次作為該員工的銷售能力基數(shù)網(wǎng)(記銷售能力基數(shù)與=5為

能力基數(shù)高，其他均為能力基數(shù)不高).在銷售能力基數(shù)為5的員工中，女生與男生的比例

為7:3,以抽取的〃名員工為研究對(duì)象，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把

握認(rèn)為銷售能力基數(shù)高不高與性別有關(guān).

男生女生合計(jì)

銷售能力基數(shù)高

銷售能力基數(shù)不高

合計(jì)

(2)為提高員工的銷售能力，部門組織員工參加各種形式的培訓(xùn)講座.經(jīng)過(guò)培訓(xùn)，每位員

工的營(yíng)銷能力指數(shù)y與銷售能力基數(shù)網(wǎng)以及參加培訓(xùn)的次數(shù)，滿足函數(shù)關(guān)系式

y=%+(l+x°)fl+』］.如果員工甲的銷售能力基數(shù)為4,員工乙的銷售能力基數(shù)為2,則

在甲不參加培訓(xùn)的情況下，乙至少需要參加多少次培訓(xùn)，其營(yíng)銷能力指數(shù)才能超過(guò)甲？

參考數(shù)據(jù)及參考公式：In3*1.099,

1=——幽二期-------，其中n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg*)0.150.100.050.01

k()2.0722.7063.8416.635

->

19.(12分)設(shè)雙曲線C:，一于=1(a>0)與直線/:x+y=1相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

a

⑴求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

⑵設(shè)直線/與y軸的交點(diǎn)為P，且鼠=)用求實(shí)數(shù)a的值

12

20.（12分）已知函數(shù)/（?ulf+ainx.

2

(1)若〃=-1，求函數(shù)“X)的極值，并指出是極大值還是極小值;

(2)若a=1,求函數(shù)“X)在［l,e］上的最大值和最小值；

(3)若。=1,求證在區(qū)間［1,+8)上函數(shù)/(x)的圖像在函數(shù)g(x)=lx3的圖像的下方.

3

21.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC中，平面P4B_L平面ABCO,四邊形ABC。為正方形,

△PAB為等邊三角形,E是PB中點(diǎn)，平面AED與棱PC交于點(diǎn)F.

⑴求證：AD//EF；

(2)求證：PB±平面AEFD；

⑶記四棱錐P-AEFD的體積為上四棱錐P-AEF。的體積為匕，直接寫出匕的值.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答,如果多做?則按所做的第

一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

{X=cos

xOyCy=2sinC

在直角坐標(biāo)系中，曲線?的參數(shù)方程為I(為參數(shù))，將曲線?經(jīng)過(guò)伸

x1=2x

縮變換后得到曲線G.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，》軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線

/的極坐標(biāo)方程為cos-sinT0=0.

(1)說(shuō)明曲線0?是哪一種曲線，并將曲線G的方程化為極坐標(biāo)方程；

⑵已知點(diǎn)”是曲線G上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)“到直線/的距離的最大值和最小值

23」選修4-5：不等式選講］(10分)

己知函數(shù)/(x)=|2x+l|.

⑴求不等式/(幻41的解集;

⑵若Vx￡RJ(x2)Na|H恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值。

答案以及解析

-'選擇題

1.答案：C

\x+y-4=0,fx=3

解析：由《得「，‘故4cB={(3,1)}.

px-y-5=0,|/=1，

2.答案：C

解析：420。=360。+60。，其終邊位于第一象限；860。=2x360。+140。，其終邊位于第二

象限；1060。=3x360。-20。，其終邊位于第四象限；1260。=3x360。+180。，其終邊位于

x軸負(fù)半軸.故選C.

3.答案：D

解析：B,C中表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)變量的取值均為4,而D是=4代表的所

有試驗(yàn)結(jié)果.故選D.

4.答案：C

解析：因?yàn)閝+3a8+5。8=120,所以禽=24,所以2%-。|0=4<)+慫-。|0=佝=24.

5.答案：C

解析：由題意知，點(diǎn)A在圓外，故過(guò)點(diǎn)A的切線應(yīng)有兩條.

當(dāng)所求直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-1=k(x-3),

即fcr-y+1-3Z=0.由于直線與圓相切，

所以圓心(2,0)到直線的距離2k；3k|=i，解得卜二。,

所以切線方程為y=l.

當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，直線x=3,也符合條件.

綜上，所求切線的方程為x=3或y=l.

6.答案：C

解析：由(盥-1電+4,=血，可知(痣-1~(匿-1)(S,,+LS“)+a,^-a?=0,艮喳“e=

Q〃=l時(shí),(Q-l)a+a=,^,:.a=l,:.a70,二上=三..,.數(shù)列｛。｝是以1為首項(xiàng)，以

*II*1n—C”

s-uuaa?iz5-r1

挈為公比的等比數(shù)列..?.田=T^T^=|y-1=[?又4=44=孚，，數(shù)歹式2｝是

nnZJ+In\/

「“I

以rg期首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列|.Qr>—,

22"=1-=Q⑵Jj64

/1Y1/1

631

一

叫J

<=I

-J-[”>6.又〃eN*,;."的最小值為7.故選C.

642\2

64

7.答案：C

k=，llL,&eN

解析：由程序框圖知$等于正奇數(shù)數(shù)列L,35的前4項(xiàng)和，其中2，當(dāng)前

L

,S=l+3+5+L+(2k-l)=[1+(2fc-1)]A：=k2

4項(xiàng)和大于100時(shí)退出循環(huán)，則2,當(dāng)上=10時(shí),

S=1(X)；當(dāng)&=11時(shí)，S=121,退出循環(huán).則輸出的"的值為2x11—1=21,故選C.

g答案：A

解析：由題意得，圓心到直線的距離為/4,>2,所以〃/+〃2<4.又圓,/+〃2=4內(nèi)

\Jtrr+rr

22

切于橢圓，所以點(diǎn)P(〃z,")在橢圓5r+廣=1內(nèi)部，則過(guò)點(diǎn)P(m,〃)的直線與橢圓

92

??L1有2個(gè)交點(diǎn).故選A.

94

9.答案：D

解析：由/(x)=〃2-x),可知>=/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

Q/0)在(7,1)上單調(diào)遞增，??J(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

lo

■1'f(§2x)>/(-2)等價(jià)于|log2x-l|<1-2-1^gp-3<log,x-l<3

_<x<16

2<log2x<4tgp4.故選D.

10.答案：A

解析：如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,eO1的半徑為/■,因?yàn)閑O|的面積為4冗，所以

4兀=兀/,解得r=2,又AB=BC=AC=OO.,所以一-=1r,解得AB=2忑,故

c；nAH。

。。尸2陰，所以R2=oo；+/=（2y+22=16,所以球。的表面積5=4兀斤=64兀.故

選A.

V\。：二二歹A

11.答案：B

解析：因?yàn)椤?4°7=214>2,6=0.3心<1/<c=k>g23<2,所以bccca,故選B.

12.答案：A

解析：由題意，,其中kbeZ,所以二3（七一2鬲）二3,又

11&兀+

7r

T=2兀>2兀,所以0<<1,所以=^_,=2kTT+,|i]?/兀得=A.

31121112

二、填空題

13.答案：1

，兀、1+sin2

解析：因?yàn)閟in：所以?—,得sin2=—

33

(3丫

14.答案：2-⑸

解析：當(dāng)〃=1時(shí),S=。=3〃一1,解得。=);當(dāng)2時(shí),S=30+2〃-3,S=3a+2/?-5,

i???2nnI

33

兩式相減可得,4=3“-3a+2,故“=_4-1,設(shè)a+=_(a+),故=-2,即

。-2=3(。-2),故氏-2=3.故數(shù)列｛〃一2｝是以-3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列故

"2-2222

3(3丫-,”丫

”"一2=?|回，故#=2一目.

15.答案：3

解析：作出滿足約束條件的可行域，如圖陰影部分所示，作直線/:y=2x,平移直線I,

\x+y-2=Q\x=-1

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)A時(shí)，Z取得最大值，由jy=]，解得jy=]，所以Z取得最大值為

16.答案：③

解析：對(duì)于①，可以存在改),使尸(%)=0而不影響區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，如y=%,①錯(cuò)誤;對(duì)

于②，導(dǎo)數(shù)廠(x)符號(hào)不確定，函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，②錯(cuò)誤;對(duì)于③，若在(。力)內(nèi)對(duì)任意x都

有/,(%)>0測(cè)f(x)在(a,b)內(nèi)是增函數(shù)，③正確;對(duì)于④,f'(x)<0只能得到f(x)單調(diào)遞減，④

錯(cuò)誤.

三、解答題

17.答案：⑴在VABC中，由正弦定理±得

sinBsinC

bsinC=csinB，又因?yàn)?csinB=4asin。，月『以3/?=4a。

47

又因?yàn)閎+c=2a,所以〃=_￡/,c=」。

33

由余弦定理可得，

242162

222Q+Q-a

=Q

cosB=a+c-b.夕，~L

24c--不

3

(2)由(1)得sin8=Jl-=^,

4

J\5

從而sin2B=2sinBcosB=---,

8

cos2B=cos2B-sin2B=-

8

(jrAjrjr

故sin|2B+￡=sin2Bcos+cos2Bsin=-^5*6-般1?-—34苫7

18.答案：解：(1)(i)由題意，可得7f0=1」，所以n=100,

n5

a=100-(22+20+16+8)=34.

(ii)2x2列聯(lián)表如表所示.

男生女生合計(jì)

銷售能力基數(shù)高61420

銷售能力基數(shù)不高394180

合計(jì)4555100

100x(6x41-39x14)-

K-=-------------------x2.273<2.706,

45x55x80x20

所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為銷售能力基數(shù)高不高與性別有關(guān).

(2)員工甲不參加培訓(xùn)的營(yíng)銷能力指數(shù)y?,=4+(1+4(|1+^'-1=14.

i\1+；)|=2+4|i+')|,

員工乙參加，次培訓(xùn)后的營(yíng)銷能力指數(shù)以=2+(1+2

<JIJ

由已知得2引1+*5|>’14,即力>3,

-Uln3,f>151n3,t>16.485,

15

所以乙至少需要參加17次培訓(xùn)，其營(yíng)銷能力指數(shù)才能超過(guò)甲.

19.答案：(1)由C與/相交于不同的兩點(diǎn),

知方程組?有兩組不同的實(shí)數(shù)解,

［尤+y=l

消去y并整理得(1-/)r+24，-2/=0,

卜-〃2

所以4，/,、，解得0<"/且”1.

雙曲線的離心率6=』亙=、耳7,

aNa~

因?yàn)?<“<血且aw1,所以e>燙且eHJ5,

2

即離心率e的取值范圍為屋，川(2,產(chǎn)).

(2)設(shè)A(%,y),3(々,%)，由題意知P(0，l)-

uuruur

因?yàn)镻A=9sP3,

12

所以(x,y—l)=：(x,y-1),所以x=\.

1112221122

因?yàn)樵?々都是⑴中方程(1-/"+2小—2/=0的根，且1-/。o,

2

172a522"

=

所以X+X=_x=--2?MX2=/X--2?

］21221一。~1221-a

消去X，得-2/?2=他289,因?yàn)閍>0,所以a="1.7

2l-a26013

20.答案：⑴函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),當(dāng)a=-l時(shí).尸(x)=x」=a+D(x-D令

XX

f\x)=0,得x=1或x=-1(舍去)，

當(dāng)彳?0,1)時(shí),八?<0,函數(shù)〃?單調(diào)遞減,

當(dāng)Xw(l,+8)時(shí)J'(x)>0，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增,

所以/(X)在x=I處取得極小值，極小值為L(zhǎng)I無(wú)極大值.

2

⑵當(dāng)a=1時(shí)，易知函數(shù)/(x)在［1,e］上為增函數(shù)，

所以/(x).=fW=-f(x)=/(e)=Le2+1.

r/1

,、Jv/min2max

12

(3)設(shè)F(x)=f(x)-^(x)=_JT+Inx--%3(x>1),

23

貝ijF'(X)=X+1-2A2=(1-X)(1+X+2X2)

XX

當(dāng)x>1時(shí)，尸(x)<0,故F(x)在區(qū)間(l,+oo)上是減函數(shù).

又因?yàn)槭?」＜0,所以尸（x）＜0在區(qū)間［1,+8）上恒成立，即f（x）＜g（x）恒成立.因此當(dāng)

6

。=1時(shí),在區(qū)間［1,+00）上函數(shù)/（X）的圖像在函數(shù)g（x）圖像的下方.

21.答案：（1）證明因?yàn)锳8CO為正方形，所以AO//8c.

因?yàn)锳OU平面PBC,BCu平面PBC,

所以A。//平面PBC

因?yàn)锳Ou平面AEFC,平面AEF￡＞n平面PBC=EF、

所以AD//EF

②證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD1AB.

因?yàn)槠矫鍼AB1平面ABCD，平面PABf）平面ABC。=AB,ADa平面ABCD,

所以AO_L平面PAB

因?yàn)镻Bu平面PAB,所以AD1PB

因?yàn)椤鱌A8為等邊三角形,E是P8中點(diǎn)，所以PBLAE.

因?yàn)锳Eu平面AEFD,A￡>u平面AEFD,AEC\AD=A

所以PBJ.平面AEFC

22

V=V=_V