2019-2020學(xué)年湖北省十堰市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】本題中所給的命題是一個(gè)特稱命題，其否定是一個(gè)全稱命題，按規(guī)則寫出其否定即可．【詳解】解：命題“，”是特稱命題，故其否定為：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，正確解答本題，關(guān)鍵是掌握住命題的否定的定義及書寫規(guī)則，對于兩特殊命題特稱命題與全稱命題的否定，注意變換量詞，屬于基礎(chǔ)題．2．已知圓，則（）A．圓C的圓心坐標(biāo)為 B．圓C的圓心坐標(biāo)為C．圓C的半徑為 D．圓C的半徑為35【答案】C【解析】圓方程配方成標(biāo)準(zhǔn)方程后可得圓心坐標(biāo)和半徑．【詳解】圓C的方程可化為，則圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程，圓的一般方程可以配方為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)與半徑．3．拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)拋物線的定義，將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】解：，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是，即.故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．已知直線與直線互相平行，則（）A．2 B． C． D．以上答案都不對【答案】C【解析】由兩直線平行的條件求解，同時(shí)注意檢驗(yàn)平行【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)都滿足條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的充要條件．兩直線與平行的必要條件是，這不是充要條件，可求出參數(shù)后進(jìn)行檢驗(yàn)．5．從裝有完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的盒子中任取2個(gè)小球，則互為對立事件的是（）A．“至少一個(gè)紅球”與“至少一個(gè)黃球” B．“至多一個(gè)紅球”與“都是紅球”C．“都是紅球”與“都是黃球” D．“至少一個(gè)紅球”與“至多一個(gè)黃球”【答案】B【解析】A選項(xiàng)“至少一個(gè)紅球”與“至少一個(gè)黃球”可以同時(shí)發(fā)生；B選項(xiàng)說法正確；C選項(xiàng)僅僅是互斥而不是對立；D選項(xiàng)“至少一個(gè)紅球”與“至多一個(gè)黃球”可以同時(shí)發(fā)生.【詳解】從裝有完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的盒子中任取2個(gè)小球，各種情況為：兩紅，一紅一黃，兩黃，三種情況，“至少一個(gè)紅球”即一紅一黃或兩紅，“至少一個(gè)黃球”即一紅一黃或兩黃，所以這兩個(gè)事件不是對立事件；“至多一個(gè)紅球”即一黃一紅或兩黃，與“都是紅球”互為對立事件；“都是紅球”與“都是黃球”僅僅是互斥事件；“至少一個(gè)紅球”即一紅一黃或兩紅，“至多一個(gè)黃球”即一紅一黃或兩紅，不是對立事件.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查對立事件的辨析，關(guān)鍵在于弄清每個(gè)選項(xiàng)中的事件的本質(zhì)意義.6．若直線被圓截得的弦長為,則()A． B．5 C．10 D．25【答案】B【解析】圓的圓心坐標(biāo)為,半徑，根據(jù)弦長得到，計(jì)算得到答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為,半徑,直線被圓截得的弦長為,可得圓心到直線的距離為,則.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7．“”是“方程表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】方程表示橢圓解得或，根據(jù)范圍大小判斷得到答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得或.故“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.8．已知在正方體中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為1，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出即可得結(jié)果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為1，可得，，，，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．9．從5個(gè)同類產(chǎn)品（其中3個(gè)正品，2個(gè)次品）中，任意抽取2個(gè)，下列事件發(fā)生概率為的是（）A．2個(gè)都是正品 B．恰有1個(gè)是正品 C．至少有1個(gè)正品 D．至多有1個(gè)正品【答案】C【解析】由5個(gè)產(chǎn)品中3個(gè)正品2個(gè)次品的分布，5個(gè)中產(chǎn)品任取2個(gè)有10種取法，取2個(gè)次品只有一種取法，概率為，那么其對立事件的概率就是．從而得到結(jié)論．【詳解】易得兩個(gè)都是次品的概率是，故發(fā)生概率為的事件是“兩個(gè)都是次品”的對立事件，即“至少有1個(gè)正品”故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，由概率求事件，因此可從最簡單的情況入手，利用對立事件的概率公式求得結(jié)論．10．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，則的最大值是（）A．7 B．10 C．17 D．19【答案】C【解析】計(jì)算，利用得到答案.【詳解】由題意可得，則..因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以所以故.當(dāng)共線且在延長線上時(shí)取等號.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓線段的最值問題，利用是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.11．已知，，點(diǎn)P是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A．9 B．14 C．16 D．26【答案】D【解析】設(shè)，求出，再利用平方和的幾何意義可求解．【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則，圓的圓心為，半徑為，，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離公式，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)為，求出，再利用平方和的幾何意義，變成求圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想．12．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，漸近線分別為，，過點(diǎn)且與垂直的直線l交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】不妨設(shè)，，由得直線，由直線方程與漸近線方程聯(lián)立可得坐標(biāo)，由可得，再結(jié)合可求得離心率．【詳解】由題意可得，不妨設(shè)，，則直線，聯(lián)立，解得，則，由，解得，即，∵，∴，∴，即，，，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是列出關(guān)于的等式．題目已知，可得，因此求得兩點(diǎn)坐標(biāo)即可．這很容易求得．二、填空題13．若數(shù)據(jù)的均值是2，則數(shù)據(jù)的均值是________.【答案】7【解析】利用新舊數(shù)據(jù)之間的關(guān)系可得均值的關(guān)系．【詳解】由題意可得新數(shù)據(jù)的均值為.故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念，掌握均值性質(zhì)是解題關(guān)鍵．若數(shù)據(jù)的均值是，則數(shù)據(jù)的均值為．14．已知圓：與圓：，則兩圓的公共弦所在的直線方程為______.【答案】【解析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．【詳解】將圓：化為，聯(lián)立兩圓方程兩圓方程相減，得兩圓公共弦所在直線的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓相交，求公共弦所在直線方程．不需要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要兩圓方程相減即得．15．點(diǎn)到直線的距離的最大值為________.【答案】【解析】求出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，時(shí)，距離最小為．【詳解】直線l的方程可整理為，故直線l過定點(diǎn).因?yàn)镻到直線l的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離，求出動直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．這樣由距離的定義知就是最小值．16．如圖，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段BD，CA上的動點(diǎn)，則線段PQ的最小值為________.【答案】【解析】取BD的中點(diǎn)E，連接AE，EC，則，，同時(shí)可證得.因此以E為原點(diǎn)，分別以EB，EC，EA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，求出的坐標(biāo)，配方后可得最小值．【詳解】取BD的中點(diǎn)E，連接AE，EC，則，，.因?yàn)?，所以，?以E為原點(diǎn)，分別以EB，EC，EA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)，，所以，從而有，當(dāng)，時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量法求空間兩點(diǎn)間距離，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系各，引入?yún)?shù)設(shè)，．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．三、解答題17．某校針對校食堂飯菜質(zhì)量開展問卷調(diào)查，提供滿意與不滿意兩種回答，調(diào)查結(jié)果如下表（單位：人）：學(xué)生高一高二高三滿意500600900不滿意300200300（1）求從所有參與調(diào)查的人中任選1人是高三學(xué)生的概率；（2）從參與調(diào)查的高三學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取4人，在這4人中任意選取2人，求這兩人對校食堂飯菜質(zhì)量都滿意的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出總?cè)藬?shù)及高三學(xué)生總數(shù)后可得；（2）按分層抽樣，4人中3人對食堂滿足，1人不滿意，可對4個(gè)編號，然后用列舉法寫出任取2人的所有可能，并得出2人都是滿意的可能，計(jì)數(shù)后可得概率．【詳解】（1）由題意得該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為人，則從所有參與調(diào)查的人中任選1人是高三學(xué)生的概率.（2）依題意可得，從調(diào)查結(jié)果為滿意的高三學(xué)生中應(yīng)抽取人，設(shè)為，，；從調(diào)查結(jié)果為不滿意的高三學(xué)生中應(yīng)抽取人，設(shè)為B.從這4人中任意選取2人的所有基本事件有，，，，，，共6種.設(shè)A表示事件“兩人都滿意”，則事件A包含的基本事件有，，共3種.故所求概率.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，考查分層抽樣，屬于中檔題，本題還考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．18．已知直線l過點(diǎn).（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為6，求直線l的方程；（2）若直線l與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，試求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.【答案】（1）或（2），【解析】（1）設(shè)直線方程的截距式：設(shè)直線l的方程為，由已知兩條件得，解出即得直線方程；（2）同樣設(shè)直線l的方程為，問題變?yōu)橐阎?，要求的最小值，把已知條件直線用基本不等式即得．【詳解】（1）依題意直線l不過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，把點(diǎn)P代入可得，聯(lián)立，解得或.故直線l的方程為或.（2）設(shè)直線l的方程為，把點(diǎn)P代入可得，則，即，當(dāng)，即，時(shí)取“”故，此時(shí)直線l的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的截距式，在直線與兩坐標(biāo)軸都相交，且交點(diǎn)不為原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)截距式方程．19．如圖，在正四棱錐中，O為頂點(diǎn)S在底面ABCD內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且.(1)證明:平面PAC.(2)求直線BC與平面PAC的所成角的大小.【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1）連接OP，可得，利用線面平行的判定定理即可證出.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，OS所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面PAC的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積結(jié)合圖形即可求解.【詳解】(1)證明:連接OP，因?yàn)镺，P分別為BD和SD的中點(diǎn)，所以，又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.(2)解:如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，OS所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，則，，.設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，，所以，令，得，所以所以故直線BC與平面PAC的夾角為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理以及利用空間向量的數(shù)量積求線面角，是立體幾何中的基本知識，屬于基礎(chǔ)題.20．某校學(xué)生社團(tuán)組織活動豐富，學(xué)生會為了解同學(xué)對社團(tuán)活動的滿意程度，隨機(jī)選取了100位同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6組，制成如圖所示頻率分布直方圖．（1）求圖中x的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）現(xiàn)從被調(diào)查的問卷滿意度評分值在[60，80）的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談了解，再從這5人中隨機(jī)抽取2人作主題發(fā)言，求抽取的2人恰在同一組的概率．【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4【解析】（1）由面積和為1，可解得x的值；（2）由中位數(shù)兩側(cè)的面積相等，可解得中位數(shù)；（3）列出所有基本事件共10個(gè)，其中符合條件的共4個(gè)，從而可以解出所求概率．【詳解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．（2）中位數(shù)設(shè)為m，則0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．（3）可得滿意度評分值在[60，70）內(nèi)有20人，抽得樣本為2人，記為a1，a2滿意度評分值在[70，80）內(nèi)有30人，抽得樣本為3人，記為b1，b2，b3，記“5人中隨機(jī)抽取2人作主題發(fā)言，抽出的2人恰在同一組”為事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10個(gè)，A包含的基本事件個(gè)數(shù)為4個(gè)，利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，中位數(shù)和古典概型，屬于基礎(chǔ)題．21．已知圓，圓N與圓M關(guān)于直線對稱.（1）求圓N的方程.（2）是否存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，使得被圓M截得的弦長與被圓N截得的弦長相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】（1）求出圓心的對稱點(diǎn)即可得；（2）假設(shè)存在，設(shè)，分析直線的性質(zhì)，題意說明圓心到相交直線的距離相等，即到的距離等于到直線的距離，為此設(shè)直線的方程為，（考慮斜率存在且不為0），由點(diǎn)到直線距離公式得一關(guān)于斜率的恒等式，可求得．【詳解】（1）設(shè)，圓M與圓N關(guān)于直線對稱，，則直線MN與直線l垂直，MN的中點(diǎn)在直線l上，得，解得，圓.（2）設(shè)點(diǎn)滿足條件，假設(shè)直線，的斜率均存在且不為0，不妨設(shè)直線的方