在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是工作量=工作效率時(shí)間。我們都叫做“”。舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成。問(wèn)兩人合作幾天可以完成？一件工作看成11。所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是天”，1天就是一個(gè)單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時(shí)間=工作量工作效率=6（天)?兩人合作需要6天。這是工程問(wèn)題中最基本的問(wèn)題這一講介紹的許多例子都是從這一問(wèn)題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），如第三講例3和例8,上題,10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份。兩人合作所需天數(shù)是（3+）=6（天）數(shù)計(jì)算，就方便些.∶2.或者說(shuō)“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例".甲、乙工作效率的比是15∶∶。當(dāng)知道了兩者工作效率之比從比例角度考慮問(wèn)題，也需時(shí)間是教科書(shū)中把工作量設(shè)為整體的做法而偏重于整數(shù)化”或從比例角度出發(fā)”，也許會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.一、兩個(gè)人的問(wèn)題標(biāo)題上說(shuō)的“兩個(gè)人的兩個(gè)集體。例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成現(xiàn)在甲先做了3乙需要做幾天可以完成全部工作？答:乙需要做4天可完成全部工作。解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是（18—2×3）÷3=4(天）。解三：甲與乙的工作效率之比是6∶9=∶3.甲做了32.乙完成余下工作所需時(shí)間是—2=4（天)。例2一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了640天才完成。如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天?解:共做了6天后,原來(lái)，甲做24天乙做24天，現(xiàn)在甲做0天，乙做40=（24+16.這說(shuō)明原來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替.因此甲的工作效率如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天。例3某工程先由甲獨(dú)做6328天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成。現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42么乙還需要做多少天？解：先對(duì)比如下:甲做天，乙做天；6328甲做天，乙做天4848.就知道甲少做—6348=1548-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨(dú)做天比天少做了—（天，42,636342=21)相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28=56（天）。答：乙還需要做天。56例一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做天完成，乙隊(duì)單獨(dú)410做天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了302天乙隊(duì)休息了天不存在兩隊(duì)同一天休息）問(wèn)開(kāi),8(.始到完工共用了多少天時(shí)間?解一：甲隊(duì)單獨(dú)做天，乙隊(duì)單獨(dú)做天，共完成82工作量數(shù)是（天）2+8+1=11.答：從開(kāi)始到完工共用了天11.解二設(shè)全部工作量為份甲每天完成份，乙每:30.3天完成份在甲隊(duì)單獨(dú)做天乙隊(duì)單獨(dú)做天之1.8,2后，還需兩隊(duì)合作（）（）30-3×8-1×2÷3+1=1（天）.解三甲隊(duì)做天相當(dāng)于乙隊(duì)做天。在甲隊(duì)單獨(dú):13做甲隊(duì)）天工作量相當(dāng)8(10-8=2().于乙隊(duì)要做（天。乙隊(duì)單獨(dú)做天后，還余2×3=6)2下（乙隊(duì)）（天）工作量，其中天6-2=4.4=3+13可由甲隊(duì)天完成，因此兩隊(duì)只需再合作天11.例一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做天完成，乙隊(duì)單獨(dú)520做30了從開(kāi)始到完成共用了3.16天。問(wèn)乙隊(duì)休息了多少天？16是由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息的天數(shù)是答：乙隊(duì)休息了5天半。解二設(shè)全部工作量為60份。甲每天完成3份，乙每天完成2份。兩隊(duì)休息期間未做的工作量是(3+2）×16—60=20（份).因此乙休息天數(shù)是（20-3×）÷2=。5（天）.解三甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天。甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天。如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4。5=5.5（天）。例6有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要1015天;李單獨(dú)完成甲工作要820由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天?解：很明顯李做甲工作的工作效率高，張做乙工作,的工作效率高因此讓李先做甲張先做乙。.,設(shè)乙的工作量為份與的最小公倍數(shù)，張60(1520)每天完成份，李每天完成份。438天，李就能完成甲工作。此時(shí)張還余下乙工作（）份。由張、李合作需要60-4×8（—（）（天）。604×8)÷4+3=48+4=12)（天。答這兩項(xiàng)工作都完成最少需要天。:12例一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需天乙獨(dú)做需天，710,15如果兩人合作，他要8天完成這項(xiàng)工程,兩人要合作多少天?如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)?解:乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí)。這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了整數(shù)化”的處理。但是，“整數(shù)化并不能使所有工程問(wèn)題的計(jì)算簡(jiǎn)便。例8就是如此。例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉。二、多人的工程問(wèn)題我們說(shuō)的多人，至少有3個(gè)人，當(dāng)然多人問(wèn)題要比2人問(wèn)題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.例9一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是。甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量,甲每天完成2+6+12=20.（天）答完成這項(xiàng)工作用了天:20.本題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便。，，這三121824數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)可設(shè)全部工作量72.為。甲每天完成乙每天完成，丙每天完成726,43.總共用了例11,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天乙就要多做4兩人合作1.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4.丙的工作效率是乙的工作效率的倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做13天的工作量,由甲單獨(dú)完成，甲需要答:甲獨(dú)做需要26天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶就知甲做11.三人合作需13天其中乙、丙兩人完成的工作量可轉(zhuǎn)化為甲再做13.例12某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作問(wèn)甲組2人和乙組7人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1。甲組每人每天能完成解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完成3×0.8+2×0.9=。2(份）。因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲因?yàn)橐?天數(shù)是(30-3×8）（）=5(.很明顯,最后轉(zhuǎn)化成雞兔同籠型問(wèn)題。例8甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，3份.,計(jì)算是否會(huì)方便些？例101218天，丙獨(dú)做要24由乙接著做乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作。問(wèn)總共用了多少天?解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天).說(shuō)明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項(xiàng)工作。解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成;乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做124小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好很快就能得出答數(shù).例13制作一批零件,甲車(chē)間要10天完成，如果甲車(chē)間與乙車(chē)間一起做只要6天就能完成。乙車(chē)間與丙車(chē)間一起做，需要8天才能完成?，F(xiàn)在三個(gè)車(chē)間一起做,完成后發(fā)現(xiàn)甲車(chē)間比乙車(chē)間多制作零件2400個(gè)問(wèn)丙車(chē)間制作了多少個(gè)零件?解一仍設(shè)總工作量為1。甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車(chē)間制作的零件數(shù)目是答：丙車(chē)間制作了4200個(gè)零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是。設(shè)制作零件全部工作量為30份。甲每天完成3,甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份。乙、丙一起，8天完成乙完成8×2=16（份），丙完成30—16=14（份）就知乙、丙工作效率之比是16∶∶。已知甲、乙工作效率之比是∶2=∶8.綜合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.當(dāng)三個(gè)車(chē)間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是）×7=4200().例1410要12小時(shí)，丙需要15小時(shí)有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和，甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn)。最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完問(wèn)丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí).甲需丙幫助搬運(yùn)(60—6×8）÷4=（小時(shí))。乙需丙幫助搬運(yùn)(60—5×8）小時(shí)）.三、水管問(wèn)題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程注水量或排水,量就是工作量。單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率。至于又有注入又有排出的問(wèn)題，不過(guò)是工作量有加有減罷了。因此，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題的解題思路基本相同.例分鐘能注滿(mǎn)水池現(xiàn)在，15,9.先打開(kāi)甲管，分鐘后打開(kāi)乙管經(jīng)過(guò)分鐘就注滿(mǎn)10,3了水池已知甲管比乙管每分鐘多注入立方米.0.6水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是27立方米.例16有一些水管它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在10根水管,中途不增開(kāi)水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿(mǎn)水池.問(wèn)開(kāi)始時(shí)打開(kāi)了幾根水管？答:開(kāi)始時(shí)打開(kāi)6根水管.例17蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿(mǎn)一池水，單開(kāi)甲管需3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5要排光一池水，單開(kāi)乙管需要、乙、……的順序輪流打開(kāi)1,問(wèn)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？會(huì)溢出.以后(20小時(shí)），池中的水已有因此答案是28,而不是30小時(shí)。例18一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水。如果打開(kāi)5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開(kāi)8,1小時(shí)半就把水池水放空現(xiàn)在打開(kāi)13個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空?解:先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量。2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4×60=240()立方米。時(shí)間都用分鐘作單位，個(gè)水龍頭每分鐘放水量是1240÷5×150-8×90)=8（（立方米），81個(gè)水龍頭個(gè)半小時(shí)放出的水量是8×8×90,其中分鐘內(nèi)流入水量是，因此原來(lái)水池904×90中存有水（立方米）。8×8×90-4×90=5400打開(kāi)13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13,除去每分鐘流入5400，需要5400（8×13-（分鐘）。答：打開(kāi)13個(gè)龍頭，放空水池要54.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水就需要分開(kāi)考慮,解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水。這在題目中卻是隱含著的。例19,地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的.打開(kāi)A管，8小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空，打開(kāi)C管,12小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空。如果打開(kāi)A,B4小時(shí)可將水排空.問(wèn)打開(kāi)B,C兩管，要幾小時(shí)才能將滿(mǎn)池水排空？解：設(shè)滿(mǎn)水池的水量為1。A管每小時(shí)排出A管4小時(shí)排出解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化,設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)全部工作量為6065，丙每小時(shí)搬運(yùn)4.三人共同搬完，需要60×2÷(6+5+=8（小時(shí)）.此題與廣為流傳的青蛙爬井是相仿的一只掉進(jìn)了枯井的青蛙它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬32.問(wèn)這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3—2=)27小時(shí)后,它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口.因此,B，C兩管齊開(kāi)，每小時(shí)排水量是B，C兩管齊開(kāi),排光滿(mǎn)水池的水,所需時(shí)間是答：，C兩管齊開(kāi)要4小時(shí)48分才將滿(mǎn)池水排完。本題也要分開(kāi)考慮，水池原有水（滿(mǎn)池）和滲入水量。由于不知具體數(shù)量，像工程問(wèn)題不知工作量的“1”.但這兩,也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù)24。17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓寫(xiě)過(guò)一本《普遍算術(shù)》一書(shū)，書(shū)中提出了一個(gè)牛吃草”,這是一道饒有趣味的算術(shù)題18和例19是類(lèi)同的。題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長(zhǎng)出的草、牛吃掉的草這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類(lèi)同的.例20有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一19白其中的道理嗎？“牛吃草"這一類(lèi)型問(wèn)題可以以各種各樣的面目出現(xiàn)。限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子。例21畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門(mén)，但早有人排隊(duì)等