eq\a\vs4\al(平面向量的實(shí)際背景及基本概念)預(yù)習(xí)課本P74～76，思考并完成以下問(wèn)題(1)向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？(2)怎樣表示向量？向量的相關(guān)概念有哪些？(3)兩個(gè)向量(向量的模)能否比較大?。?4)如何判斷相等向量或共線向量？向量與向量是相等向量嗎？(5)零向量與單位向量有什么特殊性？0與0的含義有什么區(qū)別？eq\a\vs4\al([新知初探])1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量稱為向量．(2)向量的表示：表示法幾何表示：用有向線段來(lái)表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，即用有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)字母表示，如，…字母表示：用小寫(xiě)字母a，b，c，…表示，手寫(xiě)時(shí)必須加箭頭[點(diǎn)睛]向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段．向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段．2．向量的長(zhǎng)度(或稱模)與特殊向量(1)向量的長(zhǎng)度定義：向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度．(2)向量的長(zhǎng)度表示：向量，a的長(zhǎng)度分別記作：||，|a|.(3)特殊向量：①長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0；②長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量．[點(diǎn)睛]定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同．3．向量間的關(guān)系(1)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，記作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共線向量；a平行于b，記作a∥b；規(guī)定零向量與任一向量平行．[點(diǎn)睛]共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量能比較大?。?)(2)向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)．()(3)單位向量的模都相等．()(4)向量與向量是相等向量．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．有下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風(fēng)速．其中可以看成是向量的個(gè)數(shù)()A．1B．2C．3D．答案：B3．已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是()A．也可以用表示 B．方向是由M指向NC．始點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M答案：D4.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，則與相等的向量有______．答案：，向量的有關(guān)概念[典例]有下列說(shuō)法：①向量和向量長(zhǎng)度相等；②方向不同的兩個(gè)向量一定不平行；③向量是有向線段；④向量0eq\a\vs4\al(＝)0，其中正確的序號(hào)為_(kāi)_______．[解析]對(duì)于①，||＝||＝AB，故①正確；對(duì)于②，平行向量包括方向相同或相反兩種情況，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，向量可以用有向線段表示，但不能把二者等同起來(lái)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，0是一個(gè)向量，而0是一個(gè)數(shù)量，故④錯(cuò)誤．[答案]①(1)判斷一個(gè)量是否為向量應(yīng)從兩個(gè)方面入手①是否有大小；②是否有方向．(2)理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向．[活學(xué)活用]有下列說(shuō)法：①若向量a與向量b不平行，則a與b方向一定不相同；②若向量，滿足||＞||，且與同向，則＞；③若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不確定，故其不能與任何向量平行．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A對(duì)于①，由共線向量的定義，知兩向量不平行，方向一定不相同，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由|a|＝|b|，只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等，確定不了它們的方向，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，故④錯(cuò)誤．向量的表示[典例]在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：①，使||＝4eq\r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；②，使||＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；③，使||＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.[解](1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝4eq\r(2)，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示．(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且||＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示．(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且||＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq\r(3)≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫(huà)出向量如圖所示．用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)．必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形知識(shí)求出向量的方向(即夾角)或長(zhǎng)度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量．[活學(xué)活用]一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，向北偏西40°方向行駛了200千米到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)D點(diǎn)．作出向量，，，.解：如圖所示．共線向量或相等向量[典例]如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量．[解](1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，，，.(2)與a共線的向量有，，，，，，，，.(3)與a相等的向量有，，；與b相等的向量有，，；與c相等的向量有，，.[一題多變]1．[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變，試寫(xiě)出與向量相等的向量．解：與向量相等的向量有，，.2．[變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長(zhǎng)如何？解：由正六邊形性質(zhì)知，△FOA為等邊三角形，所以邊長(zhǎng)AF＝|a|＝1.尋找共線向量或相等向量的方法(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線．層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．下列說(shuō)法正確的是()A．向量∥就是所在的直線平行于所在的直線B．長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．共線向量是在一條直線上的向量解析：選C向量∥包含所在的直線與所在的直線平行和重合兩種情況，故A錯(cuò)；相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等，還要求方向相同，故B錯(cuò)；C顯然正確；共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯(cuò)．2.如圖，在圓O中，向量，，是()A．有相同起點(diǎn)的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：選C由圖可知，，是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.3．向量與向量共線，下列關(guān)于向量的說(shuō)法中，正確的為()A．向量與向量一定同向B．向量，向量，向量一定共線C．向量與向量一定相等D．以上說(shuō)法都不正確解析：選B根據(jù)共線向量定義，可知，，這三個(gè)向量一定為共線向量，故選B.4.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，圖中與平行的向量有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選C根據(jù)向量的基本概念可知與平行的向量有，，，共3個(gè)．5．已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，，分別是與a，b同方向的單位向量，則下列各式正確的是()A．＝ B．＝或＝－C．＝1 D．||＝||解析：選D由于a與b的方向不知，故與無(wú)法判斷是否相等，故A、B選項(xiàng)均錯(cuò)．又與均為單位向量．∴||＝||，故C錯(cuò)D對(duì)．6．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，則||＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(3)，所以||＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．設(shè)a0，b0是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因?yàn)閍0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③8．給出下列四個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的條件是________(填序號(hào))．解析：若a＝b，則a與b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，則a與b的大小相等，而方向不確定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有a∥b；零向量與任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，則a∥b.答案：①③④9.如圖，O是正方形ABCD的中心．(1)寫(xiě)出與向量相等的向量；(2)寫(xiě)出與的模相等的向量．解：(1)與向量相等的向量是.(2)與的模相等的向量有：，，，，，，.10.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2千米才到達(dá)(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出，，，.(2)求B地相對(duì)于A地的位移．解：(1)向量，，，如圖所示．(2)由題意知＝.所以AD綊BC，則四邊形ABCD為平行四邊形．所以＝，則B地相對(duì)于A地的位移為“在北偏東60°的方向距A地6千米”．層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.如圖所示，梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式成立的是()A．＝ B．＝C．＝ D．＝解析：選D根據(jù)相等向量的定義，分析可得：A中，與方向不同，故＝錯(cuò)誤；B中，與方向不同，故＝錯(cuò)誤；C中，與方向相反，故＝錯(cuò)誤；D中，與方向相同，且長(zhǎng)度都等于線段EF長(zhǎng)度的一半，故＝正確．2．下列說(shuō)法正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線C．若a≠b，則a一定不與b共線D．單位向量的長(zhǎng)度為1解析：選DA中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若b＝0，則a與c不一定平行．B中，兩向量終點(diǎn)相同，若夾角是0°或180°，則共線．C中，對(duì)于兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不相等，但方向相同或相反，所以a與b可能共線．3．若a為任一非零向量，b為單位向量，下列各式：①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正確的是()A．①④ B．③C．③④ D．②③解析：選Ba為任一非零向量，所以|a|＞0，故③正確；由向量、單位向量、平行向量的概念易判斷其他式子均錯(cuò)誤．故選B.4．在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量中相等向量有()A．一組 B．二組C．三組 D．四組解析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即＝.5．四邊形ABCD滿足＝，且||＝||，則四邊形ABCD是______(填四邊形ABCD的形狀)．解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又||＝||知該平行四邊形對(duì)角線相等，故四邊形ABCD是矩形．答案：矩形6.如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，則與向量相等的向量為_(kāi)_______；與向量共線的向量為_(kāi)_________；與向量的模相等的向量為_(kāi)_______．(填圖中所畫(huà)出的向量)解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形，∴與相等的向量為；與共線的向量為，；與的模相等的向量為，，，，.答案：，，，，，7．如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn)．(1)寫(xiě)出圖中所示向量與向量長(zhǎng)度相等的向量．(2)寫(xiě)出圖中所示向量與向量相等的向量．(3)分別寫(xiě)出圖中所示向量與向量，共線的向量．解：(1)與長(zhǎng)度相等的向量是，，，，，，，.(2)與相等的向量是，.(3)與共線的向量是，，；與共線的向量是，，.8．如圖，已知函數(shù)y＝x的圖象l與直線m