學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或稱eq\a\vs4\al(模））平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為eq\a\vs4\al(0)的向量記作0，其方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a，｜a|)平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共線向量）0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02。向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1）交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：（a＋b)＋c＝a＋（b＋c）減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b）數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算（1）|λa|＝|λ｜|a｜;（2）當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí),λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa）＝（λμ)a；（λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb3。共線向量定理向量a（a≠0）與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。1．判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×"）（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量．(）（2)|a|與｜b｜是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān)．()（3）若向量eq\o(AB，\s\up7（→))與向量eq\o（CD，\s\up7(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．()（4）當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．()答案:(1）×(2）√（3）×（4）√2。如圖,設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是()A．eq\o(AP,\s\up7(→））＝eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up7（→)) B．eq\o（AQ,\s\up7（→))＝eq\f(2,3)eq\o（AB，\s\up7(→))C．eq\o（BP,\s\up7（→）)＝－eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up7(→)) D．eq\o(AQ，\s\up7（→）)＝eq\o(BP,\s\up7(→）)解析：選D由數(shù)乘向量的定義可以得到A、B、C都是正確的，只有D錯(cuò)誤．3．設(shè)a，b都是非零向量,下列四個(gè)選項(xiàng)中，一定能使eq\f(a，|a｜)＋eq\f（b,｜b|）＝0成立的是(）A．a(chǎn)＝2b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝－eq\f（1，3）b D．a(chǎn)⊥b解析：選C“eq\f（a,|a|）＋eq\f(b,｜b|)＝0，且a，b都是非零向量”等價(jià)于“非零向量a，b共線且反向”，故答案為C.4．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),eq\o(BC，\s\up7（→）)＝3eq\o(CD，\s\up7(→）），則(）A．eq\o（AD,\s\up7（→）)＝－eq\f(1,3）eq\o（AB，\s\up7(→）)＋eq\f（4，3)eq\o（AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AD，\s\up7（→))＝eq\f(1,3)eq\o（AB,\s\up7(→))－eq\f（4,3)eq\o(AC,\s\up7（→)）C．eq\o（AD,\s\up7(→)）＝eq\f（4，3)eq\o(AB，\s\up7(→)）＋eq\f（1,3）eq\o(AC，\s\up7(→）) D．eq\o（AD,\s\up7(→))＝eq\f(4，3)eq\o（AB，\s\up7(→））－eq\f(1,3)eq\o（AC,\s\up7（→））解析：選A由題意得eq\o(AD,\s\up7(→）)＝eq\o(AC,\s\up7（→)）＋eq\o（CD,\s\up7（→))＝eq\o（AC,\s\up7(→））＋eq\f（1,3)eq\o(BC,\s\up7（→）)＝eq\o（AC，\s\up7（→）)＋eq\f(1,3）eq\o(AC,\s\up7（→)）－eq\f(1，3）eq\o(AB，\s\up7（→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→）)＋eq\f(4，3)eq\o（AC，\s\up7（→）)。5．若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則｜eq\o(AB，\s\up7(→）)－eq\o(CB，\s\up7（→))＋eq\o（CD,\s\up7(→)）｜＝________.解析：｜eq\o（AB,\s\up7(→））－eq\o（CB，\s\up7（→))＋c｜＝|eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\o(BC，\s\up7(→)）＋eq\o（CD，\s\up7(→））|＝|eq\o(AD，\s\up7(→))|＝2.答案:26．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－（b－3a)共線，則λ＝解析:由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）］,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，，1＝3k，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，，λ＝－\f（1，3）.）)答案：－eq\f(1,3）eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透）[考什么·怎么考]高考對(duì)本部分內(nèi)容不會(huì)單獨(dú)考查，多滲透到平面向量的線性運(yùn)算中,難度較小。1．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a｜·a0；②若a與a0平行，則a＝｜a｜a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3解析:選D向量是既有大小又有方向的量，a與｜a｜a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向,二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3。2．給出下列命題:①若a＝b，b＝c，則a＝c；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則eq\o（AB,\s\up7(→)）＝eq\o（DC,\s\up7（→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③a＝b的充要條件是｜a|＝｜b｜且a∥b；④若a∥b，b∥c，則a∥c。其中正確命題的序號(hào)是________．解析：①正確．∵a＝b，∴a,b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.②正確．∵eq\o（AB，\s\up7（→）)＝eq\o(DC，\s\up7(→）），∴｜eq\o(AB,\s\up7（→）)｜＝｜eq\o（DC，\s\up7(→））｜且eq\o(AB，\s\up7(→））∥eq\o（DC，\s\up7（→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn),∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之,若四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o（AB，\s\up7(→）)∥eq\o（DC,\s\up7（→））且｜eq\o(AB，\s\up7（→)）|＝|eq\o（DC，\s\up7（→)）｜，因此,eq\o(AB,\s\up7（→))＝eq\o（DC,\s\up7（→)).③不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a｜＝|b|,也不能得到a＝b，故｜a｜＝｜b｜且a∥b不是a＝b的充要條件,而是必要不充分條件．④不正確．考慮b＝0這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②.答案：①②[怎樣快解·準(zhǔn)解］有關(guān)平面向量概念的6個(gè)注意點(diǎn)(1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2）共線向量即為平行向量,它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．（3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a｜）的關(guān)系：eq\f（a,｜a｜）是與a同方向的單位向量,－eq\f(a，｜a｜)是與a反方向的單位向量．(5）兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等,但它們的模可以比較大?。?6)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．eq\a\vs4\al（考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算)eq\a\vs4\al（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)—-自主練透）［考什么·怎么考］平面向量的線性運(yùn)算是高考對(duì)平面向量考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查三角形法則及平行四邊形法則的應(yīng)用，通常有兩個(gè)考查角度：(1)向量的線性表示;(2)加(減）法運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用．考題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于低檔題目．1．(2018·武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則eq\o（OA，\s\up7（→））＋eq\o（OB，\s\up7(→)）＋eq\o(OC，\s\up7（→))＋eq\o（OD,\s\up7(→）)等于()A．eq\o(OM,\s\up7（→)) B．2eq\o(OM，\s\up7(→))C．3eq\o(OM,\s\up7（→）） D．4eq\o（OM，\s\up7(→）)解析：選D因?yàn)镸是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，所以eq\o（OA，\s\up7（→）)＋eq\o(OC,\s\up7（→）)＝2eq\o(OM，\s\up7（→))，eq\o(OB，\s\up7（→）)＋eq\o（OD,\s\up7(→）)＝2eq\o（OM,\s\up7（→)),所以eq\o(OA,\s\up7（→))＋eq\o（OB,\s\up7(→）)＋eq\o（OC，\s\up7(→))＋eq\o（OD,\s\up7（→））＝4eq\o(OM,\s\up7(→））.2．(2018·廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試）設(shè)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),eq\o(AB，\s\up7（→)）＝2eq\o（DC,\s\up7（→))，則(）A．eq\o(BD,\s\up7（→））＝eq\o（AC,\s\up7（→））－eq\f(3，2)eq\o(AB，\s\up7(→）) B．eq\o(BD,\s\up7（→））＝eq\f（3，2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB，\s\up7(→))C．eq\o（BD，\s\up7（→）)＝eq\f（1，2）eq\o（AC，\s\up7(→））－eq\o（AB,\s\up7(→)） D．eq\o（BD,\s\up7(→))＝eq\o（AC，\s\up7(→)）－eq\f(1，2）eq\o（AB，\s\up7（→））解析：選Aeq\o(BD,\s\up7（→))＝eq\o（BC,\s\up7(→）)＋eq\o（CD,\s\up7(→)）＝eq\o(BC，\s\up7（→））－eq\o(DC,\s\up7（→)）＝eq\o（AC，\s\up7(→））－eq\o（AB,\s\up7（→））－eq\f（1，2)eq\o(AB，\s\up7(→))＝eq\o（AC，\s\up7(→)）－eq\f（3,2）eq\o(AB，\s\up7（→）），選A。3．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn),AD＝eq\f(1,2）AB，BE＝eq\f(2，3)BC。若eq\o（DE,\s\up7(→)）＝λ1eq\o(AB，\s\up7(→））＋λ2eq\o（AC，\s\up7(→））（λ1，λ2為實(shí)數(shù)），則λ1＋λ2＝________。解析：eq\o(DE,\s\up7（→）)＝eq\o（DB,\s\up7(→))＋eq\o(BE，\s\up7（→））＝eq\f（1，2)eq\o（AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3）eq\o(BC，\s\up7（→)）＝eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\f（2,3）(eq\o(BA,\s\up7（→))＋eq\o(AC，\s\up7(→）)）＝－eq\f（1,6）eq\o(AB,\s\up7(→）)＋eq\f(2,3)eq\o（AC，\s\up7（→)），所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f（2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f（1，2）.答案：eq\f(1,2）［怎樣快解·準(zhǔn)解］1．用已知向量表示未知向量的方法構(gòu)造三角形，關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)向量間的相互關(guān)系,能熟練地找出圖形中的相等向量,熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化．2．用已知向量表示未知向量的4步驟（1)觀察各向量的位置；（2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；（3）運(yùn)用法則找關(guān)系；(4)化簡(jiǎn)結(jié)果．3．向量線性運(yùn)算的2個(gè)常用結(jié)論（1）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則eq\o（AD，\s\up7（→））＝eq\f(1，2）(eq\o（AC,\s\up7（→)）＋eq\o(AB，\s\up7(→）））;（2）O為△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up7（→））＋eq\o（OB，\s\up7（→)）＋eq\o（OC，\s\up7(→）)＝0.eq\a\vs4\al（考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用）eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)向量共線問(wèn)題常見題型有兩種，一是根據(jù)條件證明三點(diǎn)共線，二是利用三點(diǎn)共線求參數(shù)的值.題目難度一般較小.[典題領(lǐng)悟］設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，（1）若eq\o(AB，\s\up7(→）)＝a＋b,eq\o（BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD，\s\up7（→))＝3（a－b)，求證：A，B,D三點(diǎn)共線；（2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向．解:（1)證明:∵eq\o（AB，\s\up7（→)）＝a＋b，eq\o(BC，\s\up7（→））＝2a＋8b，eq\o（CD，\s\up7（→））＝3a－3b，∴eq\o(BD，\s\up7（→))＝eq\o（BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD，\s\up7（→))＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b)＝5eq\o（AB，\s\up7（→）),∴eq\o（AB,\s\up7（→）)，eq\o(BD,\s\up7（→))共線．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．（2)∵ka＋b與a＋kb同向，∴存在實(shí)數(shù)λ(λ>0),使ka＋b＝λ（a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb?！?k－λ）a＝(λk－1)b?！遖，b是不共線的兩個(gè)非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,λ＝1）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝－1,,λ＝－1，)）又∵λ〉0，∴k＝1。[解題師說(shuō)]1．共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用證明向量共線對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線證明三點(diǎn)共線若存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB，\s\up7（→))＝λeq\o（AC，\s\up7(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線求參數(shù)的值利用共線向量定理及向量相等的條件列方程（組)求參數(shù)的值2．求解向量共線問(wèn)題的注意事項(xiàng)（1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．（2）證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.（4）直線的向量式參數(shù)方程，A，P，B三點(diǎn)共線?eq\o（OP,\s\up7(→））＝(1－t）eq\o（OA，\s\up7(→)）＋teq\o（OB,\s\up7(→）)(O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，t∈R）．（5）eq\o(OA,\s\up7（→)）＝λeq\o(OB,\s\up7（→))＋μeq\o（OC，\s\up7(→))（λ,μ為實(shí)數(shù))，若A，B,C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1。[沖關(guān)演練］1．在四邊形ABCD中，eq\o（AB,\s\up7(→））＝a＋2b，eq\o(BC，\s\up7(→）)＝－4a－b，eq\o(CD，\s\up7（→)）＝－5a－3b,則四邊形ABCD的形狀是(）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都不對(duì)解析：選C由已知，得eq\o(AD，\s\up7(→）)＝eq\o(AB，\s\up7(→)）＋eq\o(BC，\s\up7（→)）＋eq\o(CD,\s\up7（→)）＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2eq\o(BC，\s\up7（→))，故eq\o（AD，\s\up7（→））∥eq\o(BC，\s\up7(→））。又因?yàn)閑q\o（AB,\s\up7(→))與eq\o（CD，\s\up7(→）)不平行，所以四邊形ABCD是梯形．2．(2018·貴州適應(yīng)性考試)已知向量e1與e2不共線，且向量eq\o（AB,\s\up7（→)）＝e1＋me2，eq\o(AC，\s\up7（→）)＝ne1＋e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m,n滿足的條件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1解析：選A因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以一定存在一個(gè)確定的實(shí)數(shù)λ，使得eq\o（AB，\s\up7（→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→)）,所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ,，m＝λ，))所以mn＝1.（一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．設(shè)D，E,F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn),則eq\o（EB，\s\up7（→))＋eq\o（FC，\s\up7(→)）＝（)A．eq\o（AD，\s\up7(→）） B。eq\f（1，2)eq\o(AD,\s\up7（→))C.eq\f（1，2)eq\o(BC,\s\up7(→）） D．eq\o(BC,\s\up7(→))解析：選A由題意得eq\o（EB，\s\up7(→）)＋eq\o(FC,\s\up7（→））＝eq\f(1,2）(eq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\o（CB,\s\up7（→）)）＋eq\f(1,2)(eq\o（AC，\s\up7(→))＋eq\o（BC,\s\up7（→）））＝eq\f(1，2)(eq\o（AB,\s\up7(→)）＋eq\o（AC，\s\up7（→)）)＝eq\o(AD，\s\up7（→）)。2．已知O是正六邊形ABCDEF的中心，則與向量eq\o（OA,\s\up7（→）)平行的向量為()A．eq\o(AB,\s\up7（→）)＋eq\o（AC,\s\up7（→）) B．eq\o（AB，\s\up7（→)）＋eq\o（BC,\s\up7（→))＋eq\o(CD，\s\up7(→）)C．eq\o(AB,\s\up7(→））＋eq\o(AF，\s\up7（→))＋eq\o（CD,\s\up7(→）） D．eq\o（AB,\s\up7(→）)＋eq\o(CD,\s\up7（→））＋eq\o(DE,\s\up7（→))解析:選Beq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\o（BC，\s\up7（→））＋eq\o(CD,\s\up7（→)）＝eq\o（AD,\s\up7(→))＝2eq\o（AO,\s\up7（→）)＝－2eq\o（OA,\s\up7（→））。3．設(shè)向量a,b不共線,eq\o(AB，\s\up7（→))＝2a＋pb，eq\o（BC,\s\up7（→））＝a＋b,eq\o（CD，\s\up7(→））＝a－2b，若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p的值為（）A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選B因?yàn)閑q\o（BC,\s\up7（→））＝a＋b，eq\o(CD，\s\up7(→）)＝a－2b，所以eq\o（BD,\s\up7(→))＝eq\o（BC，\s\up7（→)）＋eq\o（CD,\s\up7（→)）＝2a－b。又因?yàn)锳,B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o（AB，\s\up7(→）），eq\o(BD,\s\up7(→）)共線．設(shè)eq\o（AB，\s\up7（→)）＝λeq\o（BD，\s\up7(→))，所以2a＋pb＝λ（2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.4．下列四個(gè)結(jié)論：①eq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\o(BC，\s\up7（→））＋eq\o（CA,\s\up7(→）)＝0；②eq\o(AB,\s\up7(→）)＋eq\o(MB，\s\up7（→))＋eq\o（BO,\s\up7（→))＋eq\o(OM，\s\up7（→))＝0；③eq\o(AB，\s\up7(→）)－eq\o（AC,\s\up7（→））＋eq\o(BD，\s\up7(→)）－eq\o（CD，\s\up7（→）)＝0；④eq\o（NQ，\s\up7（→）)＋eq\o（QP，\s\up7（→）)＋eq\o(MN，\s\up7(→））－eq\o(MP，\s\up7（→))＝0,其中一定正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是(）A．1 B．2C．3 D．4解析：選C①eq\o(AB，\s\up7（→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)）＋eq\o(CA,\s\up7(→)）＝eq\o(AC，\s\up7(→））＋eq\o(CA,\s\up7(→）)＝0,①正確；②eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\o（MB，\s\up7(→）)＋eq\o(BO,\s\up7（→））＋eq\o（OM，\s\up7（→））＝eq\o(AB，\s\up7（→)）＋MO→＋eq\o（OM,\s\up7(→）)＝eq\o（AB,\s\up7（→)），②錯(cuò)誤;③eq\o(AB,\s\up7（→）)－eq\o(AC，\s\up7（→))＋eq\o（BD,\s\up7（→）)－eq\o（CD，\s\up7(→)）＝eq\o（CB,\s\up7（→))＋eq\o(BD,\s\up7(→））＋eq\o(DC，\s\up7(→））＝eq\o(CD,\s\up7(→)）＋eq\o(DC,\s\up7（→)）＝0，③正確；④eq\o(NQ，\s\up7(→））＋eq\o（QP,\s\up7（→）)＋eq\o(MN,\s\up7(→)）－eq\o（MP,\s\up7(→））＝eq\o（NP,\s\up7(→）)＋eq\o（PN，\s\up7(→))＝0，④正確,故①③④正確．5．(2018·廣東東莞二模）如圖所示,已知eq\o(AC，\s\up7（→)）＝3eq\o(BC,\s\up7(→）)，eq\o（OA，\s\up7（→）)＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b,eq\o(OC,\s\up7（→）)＝c,則下列等式中成立的是（）A．c＝eq\f(3，2）b－eq\f(1，2）aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝eq\f(3，2)a－eq\f（1,2）b解析：選A因?yàn)閑q\o(AC，\s\up7(→)）＝3eq\o（BC，\s\up7(→）)，eq\o（OA，\s\up7(→）)＝a,eq\o（OB，\s\up7（→)）＝b，所以eq\o(OC，\s\up7(→)）＝eq\o（OA,\s\up7（→））＋eq\o(AC，\s\up7(→))＝eq\o（OA，\s\up7(→))＋eq\f(3,2）eq\o（AB，\s\up7（→)）＝eq\o（OA,\s\up7（→)）＋eq\f（3，2）(eq\o（OB，\s\up7（→)）－eq\o(OA,\s\up7(→）））＝eq\f(3,2)eq\o（OB，\s\up7（→))－eq\f（1，2)eq\o（OA，\s\up7(→）)＝eq\f（3,2）b－eq\f（1，2）a，故選A.6．設(shè)平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)P,則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①eq\o(AC，\s\up7（→))＝eq\o(AB,\s\up7（→)）＋eq\o（AD,\s\up7(→））；②eq\o（AP，\s\up7（→))＝eq\f（1，2)（eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o（AD,\s\up7（→）)）；③eq\o（DB,\s\up7（→))＝eq\o（AB，\s\up7（→)）－eq\o（AD,\s\up7（→)）；④eq\o（PD，\s\up7(→））＝eq\o（PB，\s\up7（→)).A．1 B．2C．3 D．4解析：選C由向量加法的平行四邊形法則，知①eq\o（AC，\s\up7（→))＝eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\o（AD，\s\up7（→）），②eq\o(AP,\s\up7（→)）＝eq\f（1，2）（eq\o(AB，\s\up7(→））＋eq\o（AD，\s\up7（→）））都是正確的,由向量減法的三角形法則，知③eq\o(DB，\s\up7（→）)＝eq\o（AB，\s\up7(→）)－eq\o(AD,\s\up7(→）)是正確的，因?yàn)閑q\o（PD,\s\up7（→）），eq\o(PB，\s\up7(→）)的大小相同，方向相反，所以④eq\o(PD,\s\up7(→)）＝eq\o（PB,\s\up7(→）)是錯(cuò)誤的．7．設(shè)向量a，b不平行,向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.解析:因?yàn)橄蛄喀薬＋b與a＋2b平行,所以可設(shè)λa＋b＝k（a＋2b)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝k,,1＝2k，))所以λ＝eq\f(1,2）.答案：eq\f（1,2)8．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O,且eq\o(OA，\s\up7(→）)＝a,eq\o（OB,\s\up7（→）)＝b,則eq\o(DC,\s\up7(→）)＝________，eq\o（BC，\s\up7（→））＝________。(用a,b表示)解析：如圖,eq\o（DC,\s\up7（→））＝eq\o（AB，\s\up7(→)）＝eq\o（OB，\s\up7(→)）－eq\o(OA，\s\up7(→）)＝b－a，eq\o(BC,\s\up7(→)）＝eq\o(OC，\s\up7(→)）－eq\o（OB，\s\up7（→)）＝－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o（OB，\s\up7(→)）＝－a－b.答案：b－a－a－b9．(2018·河南三市聯(lián)考)在銳角△ABC中，eq\o(CM,\s\up7(→))＝3eq\o（MB，\s\up7(→）），eq\o(AM，\s\up7（→））＝xeq\o（AB,\s\up7（→)）＋yeq\o（AC，\s\up7(→))，則eq\f（x，y)＝________.解析:由題設(shè)可得eq\o（CA，\s\up7（→）)＋eq\o（AM,\s\up7(→）)＝3(eq\o（AB,\s\up7（→)）－eq\o(AM，\s\up7(→））)，即4eq\o（AM,\s\up7(→）)＝3eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\o（AC，\s\up7(→）)，亦即eq\o(AM,\s\up7（→)）＝eq\f（3，4）eq\o(AB，\s\up7（→))＋eq\f(1，4）eq\o（AC，\s\up7（→)），則x＝eq\f（3,4)，y＝eq\f(1,4),故eq\f(x，y）＝3。答案：310．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn),D是SC的中點(diǎn)，若eq\o(BD，\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→））＋yeq\o(AC，\s\up7(→））＋zeq\o(AS,\s\up7（→）),則x＋y＋z＝________.解析：依題意得eq\o(BD,\s\up7(→））＝eq\o(AD，\s\up7(→))－eq\o（AB,\s\up7(→))＝eq\f(1，2）（eq\o(AS,\s\up7（→））＋eq\o(AC，\s\up7(→)))－eq\o(AB，\s\up7(→））＝－eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\f（1,2）eq\o(AC，\s\up7（→)）＋eq\f(1，2)eq\o(AS，\s\up7(→))，因此x＋y＋z＝－1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,2)＝0。答案：0B級(jí)-—中檔題目練通抓牢1．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD,點(diǎn)M是腰BC的中點(diǎn)，若eq\o（AM，\s\up7(→））＝λeq\o（AB，\s\up7（→）)＋μeq\o(AD，\s\up7(→）)，則λ，μ的值分別為()A.eq\f（3，4），eq\f(1，2） B.eq\f(1,2)，eq\f（3,4)C．1，eq\f（3,4） D。eq\f(1,2）,eq\f（1，2)解析：選A因?yàn)閑q\o（AM，\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7（→)）＋eq\o(AC，\s\up7(→）))＝eq\f(1，2）(eq\o（AB,\s\up7(→）)＋eq\o（AD，\s\up7(→）)＋eq\o（DC，\s\up7(→)）)＝eq\f(1，2)（eq\o(AB，\s\up7（→））＋eq\o（AD，\s\up7（→)）＋eq\f（1，2)eq\o(AB,\s\up7（→）))＝eq\f(3，4)eq\o(AB,\s\up7（→）)＋eq\f（1，2)eq\o（AD，\s\up7（→))，所以λ＝eq\f(3，4），μ＝eq\f（1,2）.2．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．1 B．－eq\f（1,2)C．1或－eq\f(1,2） D．－1或－eq\f(1,2）解析：選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd（k＜0),于是λa＋b＝keq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b）)。整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b。由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f（1,2）。又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f（1,2)。3．(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)在△ABC中，D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o（AD，\s\up7(→）)＝eq\f(1,3）eq\o（AB,\s\up7（→)）＋eq\f（1，2)eq\o（AC,\s\up7（→）)，則eq\f（S△BCD,S△ABD)＝（）A。eq\f(1,6） B。eq\f(1,3）C.eq\f(1,2） D。eq\f（2，3）解析:選B如圖，由已知得，點(diǎn)D在△ABC中與AB平行的中位線上，且在靠近BC邊的三等分點(diǎn)處，從而有S△ABD＝eq\f（1，2）S△ABC，S△ACD＝eq\f(1，3）S△ABC，S△BCD＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，2)－\f(1,3））)S△ABC＝eq\f（1，6)S△ABC，所以eq\f(S△BCD,S△ABD)＝eq\f(1,3）.4．已知a,b是非零向量，命題p：a＝b,命題q：|a＋b｜＝｜a｜＋｜b|,則p是q的__________條件(選填“充要”“充分不必要"“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a＝b,則|a＋b｜＝｜2a｜＝2｜a｜,|a｜＋|b|＝｜a|＋|a|＝2|a|，即p?q若｜a＋b|＝|a|＋｜b｜，由加法的運(yùn)算法則知a與b同向共線，即a＝λb，且λ>0，故q?/p。所以p是q的充分不必要條件．答案：充分不必要5．在梯形ABCD中，已知AB∥CD,AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o（AB，\s\up7(→）)＝λeq\o(AM，\s\up7（→)）＋μeq\o（AN，\s\up7(→）)，則λ＋μ＝________。解析:法一：由eq\o(AB,\s\up7(→））＝λeq\o(AM，\s\up7(→）)＋μeq\o(AN，\s\up7（→))，得eq\o(AB，\s\up7(→）)＝λ·eq\f（1,2）（eq\o（AD，\s\up7（→））＋eq\o(AC,\s\up7(→)））＋μ·eq\f(1,2)(eq\o（AC，\s\up7（→))＋eq\o(AB，\s\up7(→)）)，則eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（μ，2)－1)）eq\o（AB，\s\up7(→）)＋eq\f（λ，2)eq\o（AD,\s\up7（→)）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋\f(μ，2)））eq\o（AC,\s\up7(→)）＝0，得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(μ,2)－1）)eq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\f（λ,2)eq\o（AD,\s\up7（→)）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（λ，2)＋\f（μ，2)))eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7（→))＋\f(1，2）eq\o（AB,\s\up7（→）)))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，4)λ＋\f(3,4）μ－1))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（λ＋\f（μ,2)))eq\o(AD,\s\up7(→))＝0.又因?yàn)閑q\o（AB，\s\up7（→)），eq\o(AD，\s\up7(→)）不共線，所以由平面向量基本定理得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,4）λ＋\f(3，4)μ－1＝0，，λ＋\f(μ，2)＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝－\f（4，5)，,μ＝\f(8,5）.)）所以λ＋μ＝eq\f(4，5).法二：連接MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，由已知易得AB＝eq\f(4,5）AT，∴eq\f（4,5）eq\o(AT，\s\up7（→))＝eq\o（AB，\s\up7（→）)＝λeq\o(AM，\s\up7（→））＋μeq\o(AN，\s\up7(→）)，即eq\o（AT，\s\up7(→））＝eq\f(5,4）λeq\o(AM,\s\up7(→)）＋eq\f（5,4)μeq\o(AN,\s\up7（→))，∵T,M，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(5,4)λ＋eq\f（5，4)μ＝1.∴λ＋μ＝eq\f(4,5）。答案：eq\f（4，5）6.在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE,設(shè)eq\o(AB,\s\up7（→))＝a，eq\o(AC,\s\up7（→））＝b,試用a，b表示eq\o(AD，\s\up7(→)),eq\o(AG,\s\up7(→））.解：eq\o(AD,\s\up7(→）)＝eq\f（1,2）(eq\o（AB，\s\up7(→））＋eq\o(AC，\s\up7(→)）)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2）b。eq\o(AG，\s\up7（→))＝eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\o(BG,\s\up7（→)）＝eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\f(2，3)eq\o（BE，\s\up7(→))＝eq\o（AB，\s\up7(→））＋eq\f（1，3)(eq\o（BA，\s\up7（→））＋eq\o（BC，\s\up7（→)））＝eq\f（2，3）eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1，3)(eq\o（AC，\s\up7(→）)－eq\o(AB，\s\up7(→）)）＝eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\f(1，3)eq\o(AC，\s\up7（→)）＝eq\f（1,3)a＋eq\f（1,3)b。7．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o（AB，\s\up7(→)）＝2e1－8e2,eq\o(CB，\s\up7(→）)＝e1＋3e2，eq\o(CD，\s\up7(→))＝2e1－e2.(1）求證:A，B，D三點(diǎn)共線；（2)若eq\o(BF，\s\up7（→)）＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值．解：（1）證明：由已知得eq\o(BD，\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7（→)）－eq\o（CB，\s\up7(→))＝（2e1－e2）－(e1＋3e2）＝e1－4e2,∵eq\o(AB,\s\up7(→）)＝2e1－8e2，∴eq\o(AB，\s\up7（→）)＝2eq\o（BD,\s\up7（→））。又∵eq\o(AB,\s\up7（→）)與eq\o（BD，\s\up7(→））有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)由(1）可知eq\o(BD,\s\up7(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up7(→）)＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(BF，\s\up7(→))＝λeq\o（BD，\s\up7(→)），即3e1－ke2＝λe1－4λe2,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝3，，－k＝－4λ。）)解得k＝12.C級(jí)-—重難題目自主選做1。如圖，直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E,F兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線于K,其中，eq\o(AE,\s\up7(→)）＝eq\f（2,5)eq\o(AB，\s\up7（→)），eq\o（AF，\s\up7（→)）＝eq\f（1，2)eq\o(AD,\s\up7（→）），eq\o(AK，\s\up7(→)）＝λeq\o（AC，\s\up7（→）)，則λ的值為（）A.eq\f（2，9) B.eq\f(2,7）C。eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析:選A因?yàn)閑q\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB，\s\up7（→）)，eq\o(AF，\s\up7（→））＝eq\f（1，2）eq\o（AD,\s\up7(→)），則eq\o（AB，\s\up7（→)）＝eq\f(5,2）eq\o(AE，\s\up7（→))，eq\o(AD,\s\up7(→）)＝2eq\o（AF，\s\up7(→)），由向量加法的平行四邊形法則可知eq\o(AC,\s\up7（→））＝eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\o（AD,\s\up7(→)），所以eq\o（AK,\s\up7(→）)＝λeq\o（AC,\s\up7（→）)＝λ(eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\o(AD,\s\up7（→）)）＝λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5,2）eq\o（AE，\s\up7（→))＋2eq\o(AF，\s\up7(→）)))＝eq\f（5,2）λeq\o(AE,\s\up7(→))＋2λeq\o（AF，\s\up7(→）），由E,F，K三點(diǎn)共線可得eq\f（5，2)λ＋2λ＝1，所以λ＝eq\f(2，9).2．在直角梯形ABCD中,∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r（3），BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq\o(AE，\s\up7(→））＝eq\o(AD，\s\up7（→))＋μeq\o（AB,\s\up7（→)）,則μ的取值范圍是________．解析:由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r（3)，所以eq\o(AB,\s\up7（→)）＝2eq\o（DC，\s\up7(→）).∵點(diǎn)E在線段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7（→））＝λeq\o（DC,\s\up7(→））(0≤λ≤1)．∵eq\o（AE,\s\up7（→))＝eq\o（AD，\s\up7（→)）＋eq\o(DE,\s\up7(→）），又eq\o(AE,\s\up7（→)）＝eq\o（AD,\s\up7（→))＋μeq\o(AB，\s\up7(→）)＝eq\o（AD,\s\up7(→)）＋2μeq\o(DC，\s\up7（→））＝eq\o(AD，\s\up7（→））＋eq\f（2μ,λ)eq\o(DE，\s\up7（→))，∴eq\f（2μ，λ)＝1，即μ＝eq\f(λ，2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1，2).即μ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2））).答案:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2）））(二）重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)—-保分題目巧做快做1。設(shè)D，E,F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→））＋eq\o（FC，\s\up7（→)）＝（）A．eq\o(AD，\s\up7(→)）B.eq\f(1，2）eq\o(AD，\s\up7（→）)C.eq\f(1，2)eq\o(BC，\s\up7（→)) D．eq\o（BC,\s\up7（→））解析：選A由題意得eq\o（EB,\s\up7（→)）＋eq\o(FC，\s\up7（→))＝eq\f(1，2)（eq\o(AB,\s\up7(→））＋eq\o(CB,\s\up7（→）))＋eq\f(1，2)（eq\o（AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC，\s\up7(→）)）＝eq\f(1,2）(eq\o(AB，\s\up7（→))＋eq\o(AC,\s\up7（→)))＝eq\o(AD,\s\up7（→)）。2.（2018·合肥質(zhì)檢）已知O,A,B，C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若2eq\o（AC,\s\up7（→))＋eq\o(CB，\s\up7(→)）＝0，則向量eq\o(OC，\s\up7(→)）等于(）A。eq\f(2,3)eq\o(OA，\s\up7（→））－eq\f(1，3）eq\o(OB,\s\up7(→)） B．－eq\f(1,3）eq\o(OA,\s\up7（→)）＋eq\f(2，3）eq\o（OB，\s\up7（→）)C．2eq\o(OA，\s\up7(→)）－eq\o(OB，\s\up7(→)） D．－eq\o(OA，\s\up7（→)）＋2eq\o（OB，\s\up7（→）)解析:選C因?yàn)閑q\o（AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC，\s\up7（→））－eq\o(OA,\s\up7（→))，eq\o(CB，\s\up7(→））＝eq\o（OB，\s\up7（→）)－eq\o（OC,\s\up7(→）），所以2eq\o(AC，\s\up7（→）)＋eq\o（CB,\s\up7（→））＝2（eq\o(OC，\s\up7(→）)－eq\o（OA，\s\up7(→)）)＋(eq\o(OB,\s\up7（→）)－eq\o（OC,\s\up7（→)))＝eq\o（OC，\s\up7(→）)－2eq\o(OA,\s\up7（→)）＋eq\o(OB，\s\up7(→)）＝0，所以eq\o（OC,\s\up7(→)）＝2eq\o（OA,\s\up7（→))－eq\o(OB,\s\up7（→）)。3.(2018·江西八校聯(lián)考)在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AP＝eq\f(1，3)AB，BQ＝eq\f（1，3)BC.若eq\o(AB，\s\up7(→）)＝a,eq\o（AC，\s\up7(→))＝b，則eq\o(PQ,\s\up7(→)）＝（）A.eq\f(1，3)a＋eq\f(1，3）b B．－eq\f（1，3)a＋eq\f（1,3）bC。eq\f(1,3）a－eq\f(1,3)b D．－eq\f（1，3)a－eq\f(1,3)b解析：選Aeq\o（PQ，\s\up7(→)）＝eq\o(PB,\s\up7（→））＋eq\o(BQ,\s\up7（→））＝eq\f(2,3）eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\f（1,3）eq\o（BC，\s\up7（→）)＝eq\f(2,3）eq\o（AB，\s\up7(→））＋eq\f（1,3）（eq\o(AC，\s\up7(→））－eq\o(AB，\s\up7(→）))＝eq\f(1，3）eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\f（1，3）eq\o(AC,\s\up7（→)）＝eq\f（1，3）a＋eq\f（1,3)b，故選A.4．下列四個(gè)結(jié)論:①eq\o(AB，\s\up7（→）)＋eq\o（BC,\s\up7（→）)＋eq\o(CA，\s\up7（→)）＝0;②eq\o（AB,\s\up7(→)）＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO，\s\up7（→))＋eq\o(OM，\s\up7（→）)＝0；③eq\o（AB，\s\up7（→））－eq\o(AC,\s\up7（→))＋eq\o（BD，\s\up7（→)）－eq\o(CD,\s\up7（→））＝0；④eq\o（NQ，\s\up7（→)）＋eq\o(QP,\s\up7（→））＋eq\o(MN,\s\up7（→)）－eq\o（MP，\s\up7(→））＝0,其中一定正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2C．3 D．4解析：選C①eq\o（AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC，\s\up7(→))＋eq\o(CA，\s\up7（→））＝eq\o(AC，\s\up7(→)）＋eq\o（CA,\s\up7（→)）＝0,①正確；②eq\o（AB,\s\up7（→))＋eq\o（MB,\s\up7（→））＋eq\o（BO，\s\up7(→))＋eq\o（OM，\s\up7（→))＝eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\o（MO，\s\up7(→）)＋eq\o(OM，\s\up7（→）)＝eq\o(AB，\s\up7(→))，②錯(cuò)誤；③eq\o（AB,\s\up7(→))－eq\o（AC，\s\up7（→)）＋eq\o（BD，\s\up7(→）)－eq\o(CD，\s\up7(→)）＝eq\o（CB,\s\up7(→）)＋eq\o（BD，\s\up7(→)）＋eq\o(DC,\s\up7（→）)＝eq\o（CD,\s\up7（→））＋eq\o（DC，\s\up7(→））＝0，③正確；④eq\o(NQ，\s\up7（→)）＋eq\o(QP，\s\up7(→)）＋eq\o（MN，\s\up7(→))－eq\o（MP,\s\up7(→）)＝eq\o（NP,\s\up7（→））＋eq\o（PN，\s\up7(→））＝0，④正確．故①③④正確．5．已知向量a,b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1，2） D．－1或－eq\f(1,2)解析:選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd（k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（a＋2λ－1b））.整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k)b.由于a,b不共線，所以有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，，2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f（1，2）.又因?yàn)閗＜0,所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1，2）.6.(2018·南寧模擬)已知e1，e2是不共線向量,a＝me1＋2e2,b＝ne1－e2，且mn≠0,若a∥b，則eq\f(m，n）＝________。解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ（ne1－e2）,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(λn＝m,，－λ＝2,）)故eq\f（m，n)＝－2.答案：－27．已知a,b是非零向量,命題p：a＝b，命題q：｜a＋b｜＝|a｜＋｜b｜,則p是q的____________________條件(選填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”）．解析：若a＝b，則｜a＋b|＝｜2a|＝2｜a｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a｜＋｜a|＝2|a｜，即p?q若｜a＋b｜＝|a｜＋｜b|，由加法的運(yùn)算法則知a與b同向共線，即a＝λb，且λ〉0，故q?/p。所以p是q的充分不必要條件．答案：充分不必要8．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若eq\o(BD,\s\up7(→））＝xeq\o（AB，\s\up7(→))＋yeq\o(AC，\s\up7(→))＋zeq\o（AS，\s\up7（→))，則x＋y＋z＝________。解析：依題意得eq\o(BD，\s\up7（→))＝eq\o（AD，\s\up7（→）)－eq\o（AB，\s\up7（→)）＝eq\f（1,2)(eq\o（AS,\s\up7（→)）＋eq\o(AC，\s\up7(→））)－eq\o（AB,\s\up7（→））＝－eq\o(AB，\s\up7（→））＋eq\f(1，2)eq\o(AC，\s\up7（→）)＋eq\f（1,2)eq\o（AS，\s\up7(→)）,因此x＋y＋z＝－1＋eq\f（1，2)＋eq\f（1，2)＝0。答案：09。已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足eq\o(PA,\s\up7(→））＋eq\o（BP，\s\up7（→))＋eq\o（CP,\s\up7(→））＝0，eq\o（AP，\s\up7（→)）＝λeq\o（PD，\s\up7（→）)，求實(shí)數(shù)λ的值．解：如圖所示，由eq\o（AP，\s\up7（→))＝λeq\o（PD，\s\up7(→））且eq\o（PA,\s\up7（→）)＋eq\o（BP,\s\up7（→））＋eq\o（CP,\s\up7（→)）＝0，得P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此eq\o（AP,\s\up7（→)）＝－2eq\o(PD，\s\up7(→))，所以λ＝－2。10．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB，\s\up7（→)）＝2e1－8e2，eq\o（CB，\s\up7（→))＝e1＋3e2，eq\o(CD，\s\up7(→)）＝2e1－e2.（1）求證:A，B，D三點(diǎn)共線；(2）若eq\o(BF,\s\up7（→)）＝3e1－ke2,且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值．解：（1）證明:由已知得eq\o（BD，\s\up7(→））＝eq\o(CD，\s\up7(→）)－eq\o(CB,\s\up7（→)）＝（2e1－e2）－（e1＋3e2)＝e1－4e2,∵eq\o(AB,\s\up7（→)）＝2e1－8e2，∴eq\o（AB,\s\up7（→）)＝2eq\o(BD，\s\up7(→)）。又∵eq\o(AB，\s\up7(→）)與eq\o(BD，\s\up7(→)）有公共點(diǎn)B，∴A，B,D三點(diǎn)共線．（2)由(1）可知eq\o(BD,\s\up7（→)）＝e1－4e2,∵eq\o(BF,\s\up7（→）)＝3e1－ke2,且B,D，F(xiàn)三點(diǎn)共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使eq\o(BF，\s\up7（→)）＝λeq\o(BD,\s\up7(→))，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝3，，－k＝－4λ。)）解得k＝12.B級(jí)-—拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．（2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)在△ABC中,D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1，3）eq\o（AB,\s\up7(→)）＋eq\f（1,2）eq\o(AC,\s\up7(→））,則eq\f（S△BCD，S△ABD)＝（)A.eq\f(1，6)B.eq\f（1,3)C。eq\f(1，2)D。eq\f(2，3)解析：選B如圖，由已知得，點(diǎn)D在△ABC中與AB平行的中位線上，且在靠近BC邊的三等分點(diǎn)處，從而有S△ABD＝eq\f(1，2）S△ABC，S△ACD＝eq\f（1，3）S△ABC，S△BCD＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f（1,3）））S△ABC＝eq\f(1，6）S△ABC,所以eq\f（S△BCD，S△ABD)＝eq\f（1，3)。2.（2018·河南中原名校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中,AB＝2AD＝2DC,E為BC邊上一點(diǎn),eq\o（BC,\s\up7(→））＝3eq\o（EC，\s\up7（→)）,F為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up7(→））＝()A。eq\f(2,3）eq\o(AB,\s\up7(→）)－eq\f（1,3）eq\o（AD，\s\up7(→）) B.eq\f(1，3)eq\o（AB，\s\up7(→)）－eq\f(2，3）eq\o（AD,\s\up7（→))C．－eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up7（→）)＋eq\f（1,3）eq\o(AD，\s\up7(→）) D．－eq\f（1,3)eq\o(AB，\s\up7（→））＋eq\f(2,3）eq\o（AD，\s\up7(→）)解析:選Ceq\o(BF，\s\up7（→）)＝eq\o（BA,\s\up7(→）)＋eq\o（AF,\s\up7(→）)＝eq\o(BA，\s\up7（→)）＋eq\f(1，2)eq\o（AE,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→)）＋eq\f(1，2）（eq\o(AD，\s\up7（→)）＋eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up7(→)）＋eq\o(CE，\s\up7（→)）)＝－eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\f(1，2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(eq\o（AD，\s\up7（→)）＋\f(1,2)eq\o(AB，\s\up7（→））＋\f（1，3）eq\o(CB，\s\up7（→)））)＝－eq\o(AB,\s\up7（→）)＋eq\f(1,2）eq\o（AD，\s\up7（→))＋eq\f（1,4）eq\o(AB,\s\up7(→））＋eq\f（1,6）（eq\o(CD,\s\up7(→)）＋eq\o（DA,\s\up7(→）)＋eq\o(AB,\s\up7(→）））＝－eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up7(→))＋eq\f(1，3）eq\o（AD,\s\up7(→））.3.在梯形ABCD中,已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o（AB,\s\up7（→)）＝λeq\o(AM，\s\up7(→))＋μeq\o(AN，\s\up7（→）），則λ＋μ＝________。解析：法一：由eq\o（AB，\s\up7（→）)＝λeq\o(AM，\s\up7(→))＋μeq\o（AN,\s\up7（→）),得eq\o（AB，\s\up7（→)）＝λ·eq\f(1,2)（eq\o（AD，\s\up7（→））＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋μ·eq\f(1，2)（eq\o(AC，\s\up7(→）)＋eq\o(AB，\s\up7（→)）)，則eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（μ,2)－1))eq\o（AB,\s\up7（→）)＋eq\f（λ,2）eq\o(AD,\s\up7(→)）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（λ，2)＋\f(μ,2））)eq\o（AC,\s\up7(→））＝0，得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（μ，2)－1))eq\o（AB，\s\up7（→))＋eq\f（λ,2）eq\o(AD，\s\up7（→)）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（λ,2）＋\f（μ，2)））eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（eq\o(AD，\s\up7(→)）＋\f（1,2)eq\o(AB,\s\up7（→))))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4）λ＋\f(3,4)μ－1））eq\o(AB,\s\up7（→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(μ，2)））eq\o（AD，\s\up7(→)）＝0.又因?yàn)閑q\o（AB，\s\up7(→)）,eq\o(AD,\s\up7（→))不共線,所以由平面向量基本定理得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,4）λ＋\