PAGEPAGE5“復(fù)變函數(shù)論”課程教學(xué)大綱課程編號(hào)：08032030課程名稱(chēng)：復(fù)變函數(shù)/TheoryofFunctionsofaComplexVariable學(xué)時(shí)：64課時(shí)學(xué)分：4學(xué)分適用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開(kāi)課學(xué)期：第4學(xué)期開(kāi)課部門(mén)：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)考核要求：閉卷考試，平時(shí)成績(jī)占總評(píng)成績(jī)的30%、期末成績(jī)占總評(píng)成績(jī)的70%。使用教材及主要參考書(shū)：鐘玉泉主編，《復(fù)變函數(shù)論》（第四版），高等教育出版社，2016年。鐘玉泉主編，《復(fù)變函數(shù)論復(fù)習(xí)指導(dǎo)書(shū)》（第四版），高等教育出版社。余家榮主編，《復(fù)變函數(shù)》（第三版），高等教育出版社，2012年。王玉玉、王健波主編，《復(fù)變函數(shù)論導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解》，中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社，一、課程的性質(zhì)和任務(wù)《復(fù)變函數(shù)論》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)必修課程。是在學(xué)生學(xué)習(xí)了《數(shù)學(xué)分析》與《高等代數(shù)》的基礎(chǔ)上開(kāi)設(shè)的,是《數(shù)學(xué)分析》課程的拓展，該課程是繼《數(shù)學(xué)分析》后數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生繼續(xù)學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課程的橋梁，該課程為學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)論》、《泛函分析》、《偏微分方程》等課程提供理論基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)中起到基礎(chǔ)和工具的作用,是學(xué)習(xí)后繼專(zhuān)業(yè)課程的必備課程。學(xué)生通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，掌握單復(fù)變函數(shù)的基本理論與基本方法，了解復(fù)變函數(shù)論方法在解決實(shí)際問(wèn)題上的重要性，鍛煉學(xué)生思考問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題和邏輯推理能力。二、教學(xué)目的與要求《復(fù)變函數(shù)論》是微積分學(xué)在復(fù)數(shù)域上的推廣和發(fā)展，通過(guò)《復(fù)變函數(shù)論》的學(xué)習(xí)能使學(xué)生對(duì)微積分學(xué)的某些內(nèi)容加深理解，提高認(rèn)識(shí)?！稄?fù)變函數(shù)論》在聯(lián)系和指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方面也有重要的作用，學(xué)生通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握基本概念和基本理論；能熟練的進(jìn)行基本計(jì)算（復(fù)數(shù)、判斷可導(dǎo)性及解析性、復(fù)積分、函數(shù)的展式、孤立奇點(diǎn)的判斷、留數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用等）。三、學(xué)時(shí)分配章節(jié)課程內(nèi)容學(xué)時(shí)1復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)62解析函數(shù)83復(fù)變函數(shù)的積分84解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法105解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)126留數(shù)理論及其應(yīng)用127共形映射自學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)在每章節(jié)結(jié)束習(xí)題練習(xí)8四、教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題本課程應(yīng)重視基本概念的正確理解，基本理論的系統(tǒng)闡述以及基本運(yùn)算能力的嚴(yán)格訓(xùn)練。教學(xué)內(nèi)容的選擇應(yīng)努力貫徹少而精的原則，在教學(xué)中，應(yīng)注意由淺入深，注意闡明本課程與其它課程的聯(lián)系，特別與數(shù)學(xué)分析的銜接，避免不必要的重復(fù)，在基本運(yùn)算方面，例如多值函數(shù)的處理、留數(shù)定理的應(yīng)用以及區(qū)域映射的做法等，應(yīng)通過(guò)例題及習(xí)題，使學(xué)生受到足夠的訓(xùn)練，掌握有關(guān)方法。五、教學(xué)內(nèi)容第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1．基本內(nèi)容復(fù)數(shù)，復(fù)平面上的點(diǎn)集，復(fù)變函數(shù)，復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。2．教學(xué)基本要求掌握復(fù)數(shù)的模與輻角概念，了解復(fù)數(shù)的乘冪與方根，理解復(fù)平面上點(diǎn)集的一些基本概念，理解復(fù)變函數(shù)的概念及復(fù)函數(shù)的極限與連續(xù)性，掌握復(fù)數(shù)的輻角與方根的計(jì)算。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)復(fù)數(shù)的模與輻角，復(fù)數(shù)的方根，復(fù)變函數(shù)概念。4．教學(xué)建議講授5課時(shí)，習(xí)題課、練習(xí)1課時(shí)。第二章解析函數(shù)1．基本內(nèi)容解析函數(shù)的概念與柯西—黎曼條件，初等解析函數(shù)，初等多值函數(shù)。2．教學(xué)基本要求理解解析函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，掌握柯西-黎曼條件，掌握函數(shù)解析的充分條件和充分必要條件，掌握指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一般指數(shù)函數(shù)與一般冪函數(shù)、反三角函數(shù)等初等多值函數(shù)的定義及基本性質(zhì)。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)解析函數(shù)的柯西-黎曼條件，函數(shù)解析的充分條件和充分必要條件，初等多值函數(shù)。4．教學(xué)建議講授6課時(shí)，習(xí)題課2課時(shí)。第三章復(fù)變函數(shù)的積分1．基本內(nèi)容復(fù)積分的概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，柯西積分定理，柯西積分公式及其推論，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。2．教學(xué)基本要求理解復(fù)積分的概念及性質(zhì)，會(huì)求一些簡(jiǎn)單復(fù)變函數(shù)的積分，掌握柯西積分定理及其推廣，掌握柯西積分公式及其推論，掌握解析函數(shù)的無(wú)窮可微性以及解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)復(fù)積分的概念及性質(zhì)，柯西積分定理及其推廣，柯西積分公式及其推論，解析函數(shù)的無(wú)窮可微性，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。4．教學(xué)建議講授6課時(shí)，習(xí)題、練習(xí)2課時(shí)。第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法1．基本內(nèi)容復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)，解析函數(shù)的泰勒展式，解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理。2．教學(xué)基本要求理解復(fù)級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)，收斂的判別法則及解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求法及冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的解析性，掌握解析函數(shù)的泰勒定理，了解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的狀況，掌握一些初等函數(shù)的泰勒展式，理解解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理，會(huì)求解析函數(shù)零點(diǎn)的階，掌握解析函數(shù)的最大模原理。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法，泰勒定理及一些初等函數(shù)的泰勒展式，解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理，解析函數(shù)的最大模原理。4．教學(xué)建議講授8課時(shí)，習(xí)題、練習(xí)2課時(shí)。第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)1．基本內(nèi)容解析函數(shù)的洛朗展式，解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)，整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念。2．教學(xué)基本要求理解雙邊冪級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)，掌握洛朗定理及解析函數(shù)的洛朗展式，了解泰勒系數(shù)與洛朗系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)求解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式，掌握解析函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)，理解解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)，了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)解析函數(shù)的洛朗定理及洛朗展式，洛朗系數(shù)與泰勒系數(shù)之間的關(guān)系，解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)，解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。4．教學(xué)建議講授10課時(shí)，習(xí)題課2課時(shí)。第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用1．基本內(nèi)容留數(shù)，用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分，輻角原理及其應(yīng)用。2．教學(xué)基本要求掌握留數(shù)的定義及柯西留數(shù)定理，會(huì)求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)和在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，了解函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)的留數(shù)與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)之間的關(guān)系，掌握利用留數(shù)計(jì)算實(shí)積分的一些方法，了解輻角原理、儒歇定理及其應(yīng)用。3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)留數(shù)概念，柯西留數(shù)定理，函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)的留數(shù)與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)之間的關(guān)系，利用留數(shù)計(jì)算實(shí)積分，輻角原理及其應(yīng)用。4．教學(xué)建議講授10課時(shí)，習(xí)題課2課時(shí)。第七章共形映射1．基本內(nèi)容解析變換的特性，分式線(xiàn)性變換，某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射，關(guān)于共形映射的黎曼存在定理和邊界對(duì)應(yīng)定理。2．教學(xué)基本要求理解并掌握解析變換的保域性，理解解析變換的保角性（導(dǎo)數(shù)的幾何意義），理解單葉解析變換的保形性。熟練掌握分式線(xiàn)性變換，掌握分式線(xiàn)性變換的共形性、保交比性、保圓周（圓）性、保對(duì)稱(chēng)點(diǎn)性及分式線(xiàn)性變換的應(yīng)用。掌握冪函數(shù)與根式函數(shù)所構(gòu)成的共形變換及其作用，掌握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)所構(gòu)成的共形變換及其作用，了解由圓弧所構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形變換及其作用，了解儒可夫斯