1.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例12023年重慶市中考第25題如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC＝，求AB、BD的長(zhǎng)；（2）如圖1，求證：HF＝EF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．圖1圖2例22023年長(zhǎng)沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．圖1例32023年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP＝2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．圖1備用圖例42023年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1例52023年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1例62023年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l//y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖11.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題答案例12023年重慶市中考第25題如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC＝，求AB、BD的長(zhǎng)；（2）如圖1，求證：HF＝EF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．圖1圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“15重慶25”，拖動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△FAE與△FDH保持全等，△CMF與△CAE保持全等，△CEF保持等邊三角形的形狀．思路點(diǎn)撥1．把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊．2．中點(diǎn)F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了．滿分解答（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如圖4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因?yàn)辄c(diǎn)F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5（3）如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點(diǎn)，得M是AB的中點(diǎn)．因此FM＝，△ACM是等邊三角形．又因?yàn)锳E＝，所以FM＝EA．又因?yàn)镃M＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點(diǎn)伸展我們?cè)倏磶讉€(gè)特殊位置時(shí)的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．如圖6，如圖7，當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合．圖6圖7如圖8，圖9，點(diǎn)E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11例22023年長(zhǎng)沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“14長(zhǎng)沙26”，拖動(dòng)圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在三種情況．思路點(diǎn)撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長(zhǎng)MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三種情況，其中MA＝MN和NA＝NM兩種情況時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的．滿分解答（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負(fù)值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當(dāng)AM＝AN時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0．圖2圖3②如圖4，當(dāng)MA＝MN時(shí)，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時(shí)x＝OH＝2．所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．③如圖5，當(dāng)NA＝NM時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為．圖4圖5考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0,1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．例32023年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP＝2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．圖1備用圖動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13虹口25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對(duì)邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13虹口25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對(duì)邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．思路點(diǎn)撥1．第（2）題BP＝2分兩種情況．2．解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．滿分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時(shí)，PM＝1．此時(shí)．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM＝5．此時(shí)．所以．（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時(shí)，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時(shí)，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．此時(shí)．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時(shí)，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．此時(shí)．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因?yàn)椤螪FP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．圖5圖6考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)△CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．例42023年揚(yáng)州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12揚(yáng)州27”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA＋PC最小，△PAC的周長(zhǎng)最?。蟿?dòng)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，觀察△MAC的三個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點(diǎn)M有1次機(jī)會(huì)落在AC的垂直平分線上；點(diǎn)A有2次機(jī)會(huì)落在MC的垂直平分線上；點(diǎn)C有2次機(jī)會(huì)落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點(diǎn)共線．思路點(diǎn)撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點(diǎn)C(0,3)，得－3a＝3．解得a所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA＋PC最小，△PAC的周長(zhǎng)最?。O(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)．圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時(shí)，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時(shí)，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時(shí)，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5例52023年臨沂市中考第26題如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分線與拋物線的對(duì)稱軸有一個(gè)共同的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到⊙O與對(duì)稱軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線．請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形思路點(diǎn)撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么△DOA與△OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點(diǎn)為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．例62023年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l//y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動(dòng)點(diǎn)R由B向O運(yùn)動(dòng)，從圖象中可以看到，△APR的面積有一個(gè)時(shí)刻等于8．觀察△APQ，可以體驗(yàn)到，P在OC上時(shí)，只存在AP＝AQ的情況；P在CA上時(shí)，有三個(gè)時(shí)刻，△APQ是等腰三角形．思