哈工大版理論力學(xué)全套08第1頁/共70頁理論力學(xué)2一、平面運(yùn)動(dòng)的定義

在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變。也就是說，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)?！?-1剛體平面運(yùn)動(dòng)概述合成

分解剛體的平行移動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)第2頁/共70頁理論力學(xué)3例如:

曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)，A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，因此，AB

桿的運(yùn)動(dòng)既不是平移也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平面運(yùn)動(dòng)。第3頁/共70頁理論力學(xué)4第4頁/共70頁理論力學(xué)5二、平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化

剛體的平面運(yùn)動(dòng)

到固定平面Ⅰ的距離不變平面圖形S在與Ⅰ簡(jiǎn)化平行的平面Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)

平面圖形S在其

自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)

研究平面運(yùn)動(dòng)

不需考慮剛體的形狀和尺寸，只

需研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)，確定平

面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度。第5頁/共70頁理論力學(xué)6

三、平面運(yùn)動(dòng)方程

為了確定代表平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置。

任意線段AB的位置可用A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示。因此圖形S

的位置決定于

xA,

yA,

三個(gè)獨(dú)立的參變量。所以第6頁/共70頁理論力學(xué)7

xA

f1(t)

平面運(yùn)動(dòng)方程

yA

f2(t)

f3(t)

對(duì)于每一瞬時(shí)

t

，都可以求出對(duì)應(yīng)的

xA,

yA,，

圖形S

在該瞬時(shí)的位置也就確定了。四、平面運(yùn)動(dòng)分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)

當(dāng)圖形S

上Ａ點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；

當(dāng)圖形

S上角不變時(shí)，則剛體作平移。

故剛體平面運(yùn)動(dòng)可以看成是平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。第7頁/共70頁理論力學(xué)8

車輪的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是車輪隨同車廂的平移和相對(duì)車廂的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。車輪對(duì)于靜系的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）動(dòng)系A(chǔ)x

y

相對(duì)靜系的平移

（牽連運(yùn)動(dòng)）車輪相對(duì)動(dòng)系A(chǔ)x

y

的轉(zhuǎn)動(dòng)

（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）例如車輪的運(yùn)動(dòng)三種運(yùn)動(dòng)都是剛體運(yùn)動(dòng)第8頁/共70頁理論力學(xué)9隨基點(diǎn)A的平移繞基點(diǎn)A'的轉(zhuǎn)動(dòng)我們稱動(dòng)系上的原點(diǎn)Ａ為基點(diǎn)，于是

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分

解為隨基點(diǎn)的平移（牽

連運(yùn)動(dòng)）和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)

動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）。

車輪的平面運(yùn)動(dòng)第9頁/共70頁理論力學(xué)10②

以B為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)B平移到A''B'后,

繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)①以A為基點(diǎn):

隨基點(diǎn)A平移到A'B''后,

繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)

1角到A'B'；2角到A'B'。圖中看出：AB

A'B''

A''B'

，1

2

；于是有

lim

lim

;

,

t0再例如:

平面圖形S在t

時(shí)間內(nèi)從位置I運(yùn)動(dòng)到位置II第10頁/共70頁理論力學(xué)11剛體的平面運(yùn)動(dòng)分解合成

基

點(diǎn)

隨基點(diǎn)的平移運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)任意選取，通常選取運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn)

繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)

、與

基點(diǎn)無關(guān)

運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基

點(diǎn)的選擇無關(guān)第11頁/共70頁理論力學(xué)12

曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB桿作平面運(yùn)動(dòng)

平面運(yùn)動(dòng)的分解第12頁/共70頁理論力學(xué)13根據(jù)速度合成定理va

ve

vr,

則Ｂ點(diǎn)速度為：vB

vA

vBA

一、基點(diǎn)法（速度合成法）

已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度vA

，

圖形角速度。求

vB

。

取A為基點(diǎn),

將動(dòng)系鉸結(jié)于A點(diǎn)，

動(dòng)系隨基點(diǎn)作平移。

取B為動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為牽連運(yùn)動(dòng)為平移和相對(duì)

運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)的合成，va

vB;ve

vA;vr

vBA,

其中vBA大?。簐BA=BA·

；垂直BA并指向與

轉(zhuǎn)向一致?！?-2平面圖形內(nèi)點(diǎn)的速度分析第13頁/共70頁理論力學(xué)14AB上投影，有vBAB

vAAB—速度投影定理平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影相等。這種求解速度的方法稱為

速度投影法。（對(duì)任意一個(gè)剛體均成立）

即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為速度合成法。它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法。

二、速度投影法（對(duì)任意一個(gè)剛體均成立）

由于A,

B點(diǎn)是任意的，因此

vB

vA

vBA

表示了圖形上任

意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系。由于恒有

vBAAB

，因此將上式在第14頁/共70頁理論力學(xué)15.

三、速度瞬心法

1.問題的提出

若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化。于是，自然會(huì)提出，在某一瞬時(shí)圖形（或其擴(kuò)展部分）是否有一點(diǎn)速度等于零？如果存在的話，該點(diǎn)如何確定？

2.速度瞬心的概念

平面圖形S，某瞬時(shí)其上一點(diǎn)A速度vA

,

圖形角速度，沿vA

方向取半直線AL,

然后

o

度

AP

vA/

則：vPvAvPA

vPA

AP

vA

,

方向PA,

恰與vA反向

所以

vP

0第15頁/共70頁理論力學(xué)16

即在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心。

3.幾種確定速度瞬心位置的方法①

已知一平面圖形在固定面上作無滑動(dòng)的滾

動(dòng)（稱為純滾動(dòng)）,

則圖形與固定面的接

觸點(diǎn)P為速度瞬心。②

已知某瞬間平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度vA,vB

的方向，且vA

不平行

vB

。

過A,

B兩點(diǎn)分別作速度

vA,vB的垂線,交點(diǎn)

P即為該瞬時(shí)的速度瞬心。第16頁/共70頁17vA

vB

AB

vA

vB

AB

,

(a)

vA

與vB同向，

(b)

vA

與vB

反向

理論力學(xué)③

已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)速度

vA,vB

的大小,且

vAAB,

vBAB(b)(a)ABOPvAABvBP第17頁/共70頁理論力學(xué)18

④

已知某瞬時(shí)圖形上A，B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與

AB連線垂直。此時(shí),

圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處，圖形的角

速度

=0。于是

圖形上各點(diǎn)的速度在該瞬時(shí)相等,

這種情況稱為瞬時(shí)平移。

特別注意瞬時(shí)平移在此瞬時(shí)各點(diǎn)的速度相等，剛體的角速度為零，但各點(diǎn)的加速度并不相等，角加速度不等于零。OvAABvB第18頁/共70頁理論力學(xué)19而

aA

的方向沿AO的，

BaaA

瞬時(shí)平移與平移不同n例如:

曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿AB作瞬時(shí)平移。

此時(shí)連桿AB的圖形角速度AB0

，

此瞬時(shí)AB

桿上各點(diǎn)的速度都相等。

但各點(diǎn)的加速度并不相等。設(shè)為勻角速，則

aA

aA

OA2()OvAABvB第19頁/共70頁P(yáng)

vA理論力學(xué)20確定瞬心的一般方法：AB

vA

vBA

vBB

PAB

vA

vBA

vA

P

BvBAB

vA

vB

P第20頁/共70頁理論力學(xué)21４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點(diǎn)的速度的方法,稱為速度瞬心法。

平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。

若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度

大小

vAAP

；方向AP，指向與

一致。

５.注意的問題

①速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不

斷變化的。在任一瞬時(shí)是唯一存在的。

②

速度瞬心的速度為零,

其加速度一定不為零，不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

③剛體作瞬時(shí)平移時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速

度是一定不相同的，不同于剛體作平移。第21頁/共70頁vO

r

v理論力學(xué)22[例1]

已知輪子在地面上作純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點(diǎn)的速度。vA2vA3

A2A3

vO

各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與A1點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與相同，由此可見車輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。

vA2

vA4

2r

2v解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即A1

vA1

0

A4vA4

O

A1vA3

2r

2v第22頁/共70頁理論力學(xué)23ABvBA/ABl/l

（）

[例2]

已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，

取柄OA以勻

轉(zhuǎn)動(dòng)。求：當(dāng)

=45o

時(shí),

滑塊B的速度及AB桿的角速度。解：機(jī)構(gòu)中，OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作

平面運(yùn)動(dòng)，滑塊B作平移。

基點(diǎn)法

研究

AB，以

A為基點(diǎn)，且vA

l

,

方向如圖示。

根據(jù)

vBvAvBA,

在Ｂ點(diǎn)做

速度平行四邊形，如圖示。

vB

vA/cos

l/cos45

2l()

vBAvAtgltg45l第23頁/共70頁理論力學(xué)24）

AB

vA/APl/l（

vB

BP

AB

2l()

試比較上述三種方法的特點(diǎn)。vAvBcosvBvA/cos速度投影法

研究AB,

方向OA,

vB方向沿BO直線

根據(jù)速度投影定理

vBAB

vAAB

l/cos45

2l()

不能求出AB

速度瞬心法

研究AB，已知vA,vB

的方向，因此可確定出P點(diǎn)為速度瞬心

vAl,APl第24頁/共70頁理論力學(xué)25行星齒輪機(jī)構(gòu)第25頁/共70頁理論力學(xué)26o

2(Rr)o,Rr

rvM1PM1

2roRr

rvA(Rr)or

）(o2(Rr)o,方向均如圖示Rr

rvM2PM22r[例3]

行星齒輪機(jī)構(gòu)。已知:

R,

r

,

o。

輪A作純滾動(dòng)，輪O不動(dòng)。

求

vM1,vM

2

。解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng);

輪A作平面運(yùn)動(dòng),

瞬心P點(diǎn)第26頁/共70頁理論力學(xué)27CABD[例4]圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB上固連一塊三角板ABD，機(jī)構(gòu)由曲柄O1A帶動(dòng)。已知曲柄的角速度為＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1A⊥O1O2時(shí)，AB∥O1O2

，且AD與AO1在同一直線上，

=30o

。試求三

vD

D

解：運(yùn)動(dòng)分析：O1A和O2B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；vA

A

CACO

1

O

1A0.1866m

O2

CACD

CA

AD

0.2366mvD

CDABD

0.254m/s第27頁/共70頁AB

vB

r理論力學(xué)28[例5]

圖示機(jī)構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為，角a

=

b

=

60o,OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運(yùn)動(dòng)，11其瞬心分別為P1和P2點(diǎn)，則

vA

OA

r

vA

r

PA

r

vB

PBAB

r213BC

P

B

3r2

33rvC

PCBCOAB

bO1CP1vA

aAB

vBvCP2BC第28頁/共70頁理論力學(xué)29曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)第29頁/共70頁ABvA

r

2

3rrl

2

3r

3

O

理論力學(xué)3011解：連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在P1點(diǎn)，則

PA

ABcos30

3l

vB

PBAB

ABsin30

AB

2

3l

3[例6]

曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長r以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，AB

=

BC

=

BD

=

l，當(dāng)曲柄與水平線成30o

角時(shí)，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30o

角。試求圖示位置時(shí)，桿AB、BC的角速度以及沖頭C

的速度。vCBC

vA

A30oP2BC連桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在P2點(diǎn)，則2

vBPB3r

3lBC23r

3vC

PCBC

D30o

P

AB1

vB第30頁/共70頁理論力學(xué)31AOBC

D30o30ovAvBvCP1ABP2BC

特別提示每個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體在每一瞬時(shí)都有自己的速度瞬心和角速度，并且瞬心在剛體或其擴(kuò)展部分上，不能認(rèn)為瞬心在其他剛體上。

例如,

AB桿的瞬心在P1點(diǎn)，BC桿的瞬心在P2點(diǎn)，而且P1也不是DB桿上的點(diǎn)。第31頁/共70頁理論力學(xué)32平面機(jī)構(gòu)第32頁/共70頁

2

3

rad/s

(理論力學(xué)33122

7mPO2

OB2

2POOBcos120

22

42

224PBvB

PB

2

72

3

4

2118.3

m/s(

PB)）[例7]

平面機(jī)構(gòu)中,

楔塊M:

a

=30o,v=12cm/s

;盤:

r

=

4cm

,

與

楔塊間無滑動(dòng)。求圓盤的及軸O的速度和B點(diǎn)速度。

解：桿OC,

楔塊M作平移,圓盤作平面運(yùn)動(dòng)，

由vA及vO方位可確定P為盤的速度瞬心。

vAv12cm/s

,

vA

12

12

PA

rcosa

4cos300

voPOrsina4sin302

34

3

m/s()第33頁/共70頁理論力學(xué)34比較上述兩圖可以看出，不能認(rèn)為圓輪只滾不滑時(shí)，接觸點(diǎn)就是瞬心，只有在接觸面是

固定面時(shí)，圓輪上接觸點(diǎn)才是速度瞬心。第34頁/共70頁aBAaB

A

BA

a

a

a理論力學(xué)35

n

取A為基點(diǎn)，將平移坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)

取B動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)

動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平移。aa

aB

;

ae

aA

;

ar

aBA

aBA

aBA于是,由牽連平移時(shí)加速度合成定理

aa

ae

ar

可得如下公式。

nBA已知：圖形S

內(nèi)一點(diǎn)A的加速度aA

和

圖形的

,

（某一瞬時(shí)）。

求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度?！?-3平面圖形內(nèi)點(diǎn)的加速度分析n一、

基點(diǎn)法

(合成法)

aBA

B

aA

aBaA

aBA

A第35頁/共70頁aB

A

a

aaaBA

BAa

BAaBA理論力學(xué)36

方向AB，指向與

一致。即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法。

nBA

BAaBAB

aBaAaAnaBA

A

n

2

BA方向沿AB，

指向A點(diǎn)。第36頁/共70頁aB

A

a

aa理論力學(xué)37[注]一般情況下，對(duì)于加速度沒有類似于速度投影定理

的關(guān)系式。

即一般情況下,圖形上任意兩點(diǎn)A,

B的加速度

aAAB

aBAB

若某瞬時(shí)圖形

=0,

即瞬時(shí)平移,

則有

aAAB

aBAB

即若平面圖形在運(yùn)動(dòng)過程中某瞬時(shí)的角速度等于零，則該瞬時(shí)圖形上任意兩點(diǎn)的加速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。

上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個(gè)要素，方能求

n中，只要再知道四個(gè)要素，即可解出問題的待求量。

nBA

BA第37頁/共70頁理論力學(xué)38

nvO(t)

R(t)

（）

由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般

情況下又不存在類似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基

點(diǎn)法求圖形上各點(diǎn)的加速度或圖形的角加速度。

[例8]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動(dòng),

已知輪心O點(diǎn)的速度

vO及加速度aO

,求車輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度。

分析：

aP

aO

aPO

aPO

大小

？

√

Ｒ

Ｒ

2

方向

？

√

√

√

故應(yīng)先求出

。

解：輪O作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心，第38頁/共70頁

O

（a

PO

R

aO

,

R

R()

aP

aPO

（aO與

aPO

等值反向）aP

vO

2理論力學(xué)39由于=vO/R在任何瞬時(shí)都成立，且O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，故而

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)，其速度瞬心P的加速度指向輪心。以O(shè)為基點(diǎn)，有

naP

aO

aPO

aPO

其中：vO

R2d

1

dvO

a

dt

R

dt

R

）

n

2

vO

2

aPO

R做出加速度矢量圖，由圖中看出：即n

R()第39頁/共70頁理論力學(xué)40

n

n

又

1

vA

/O1A,

2

vB

/O2B;

1

aA

/O1A,

2

aB

/O2B;而

O1A

O2B[例9]

已知O1A=O2B,

圖示瞬時(shí)

O1A/O2B

試問(a),(b)兩種情況下1和

2，1和2是否相等？

(a)解：(a)

AB作平移，

(b)vA

vB

,

aA

aB

(aA

aB

,

aA

aB)

12;12.O1A與O2B運(yùn)動(dòng)完全一致。第40頁/共70頁,

即

aA

aA

n

aB

aB

n

理論力學(xué)41(b)

AB作平面運(yùn)動(dòng),

圖示瞬時(shí)作瞬時(shí)平移,

此時(shí)

AB

0,vA

vB

O1AO2B,1vA/O1A,2vB/O2B,

12aAAB

aBAB

AB

AB

AB

AB,

O1A1sinO1A12cosO2B2sinO2B22cos21212ctg

即12

并由此看出AB作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)aAaB第41頁/共70頁理論力學(xué)42第42頁/共70頁理論力學(xué)43[例10]

曲柄滾輪機(jī)構(gòu)。滾子半徑R=15cm，n=60

rpm求：當(dāng)a

=60o

時(shí)

(OAAB),滾輪的Ｂ，Ｂ。第43頁/共70頁

vA

/

AP

1

30/315

rad/s

2

315

20

3

cm/s()4423ABP１為AB桿的速度瞬心，

P2為滾輪的速度瞬心。1

（

）2

3

vB

BP

AB理論力學(xué)

分析:

要想求出滾輪的Ｂ，Ｂ

先要求出vB，aB解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB桿和輪B作平面運(yùn)動(dòng)

研究AB：

n/30

60/30

2rad/s

vA

OA

152

30

cm/sP2P1vB第44頁/共70頁取A為基點(diǎn)，

aA

OA

15(2)

60

cm/s2

2

20

3

2(a

AB

315(

)

)3

3理論力學(xué)452

2

2

2指向O點(diǎn)

n

aB

aA

aBA

aBA大??？

√

？

√方向√

√

√

√n22B

vB

/BP

20

3/157.25rad/s

B

aB

/BP

131.5/15

8.77rad/s2））((作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影

aB

cos30

00aBA

n

aB

0

/

131.5cm/s

()

cos30

3

2

3

研究輪B：P2為其速度瞬心n

2BA

BA由B指向A第45頁/共70頁100100BC

0.5rad/s理論力學(xué)46vC45o

vB[例11]

平面四連桿機(jī)構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度

=

1

rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求C點(diǎn)的加速度。解：AB和CD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，BC作平面運(yùn)動(dòng)，其B、C兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個(gè)速度矢量的垂線得交點(diǎn)O即為該瞬時(shí)BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知

vB

AB

OB

OBOB

200mm

，

BC

OC

100

2

mm

，

CD

200

2

mm

vC

OCBC

50

2

mm/s

BACD45oOBC第46頁/共70頁+an

an

a

anaC

C

B

CB

CBa

AB

100mm/saCB

BCBC2

25

2

mm/s2va

17.68mm/s2ACDaCBa理論力學(xué)47aBCCD45o

取B為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度，有

n

2

2

B

Bn

2

n

C

C將C點(diǎn)的加速度向BC方向投影得：

負(fù)值表明實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。n

aaC

n

CBaB第47頁/共70頁

2rad

s理論力學(xué)48[例12]

圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，已知曲柄OA長0.2

m，連桿AB長1m，OA以勻角速度

=10

rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C點(diǎn)，則vA

OA

2m

s

vAACABvAO45oAB45o

vBCAB第48頁/共70頁aA

A

n

OA2

20m

s2

aaBA

ABAB

4m

s2a

BAaB

cos45

a

aB

5.66m

ssin45

a

aaB

A

BAa

BA理論力學(xué)49AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為

nA45oB

aAOnaBAaA2aBA

16m

s2aAB

16rad

s2

AB

aB

aA

aBA

aBA其中

n

2

將B點(diǎn)加速度投影到h軸上得

h45o

aBx

n

BA將B點(diǎn)加速度投影到x軸上得第49頁/共70頁aABaA

B

BA

a

a

aaAB

2

AB理論力學(xué)50[例13]

圖示正方形薄板邊長20

mm，在其平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。某瞬時(shí)頂點(diǎn)A和B的加速度分別為和方向如圖。求薄板的角速度和角加速度。aA

40

2

mm/s2aB

80mm/s2aBaAnaAB

A

aBD

解：薄板作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)

分析A點(diǎn)的加速度如圖所示：

B

n

BA其中

：aA

40

2

mm/s2

aB

80mm/s2

n

C第50頁/共70頁aABaAcos45

aaA

B

ABcos45

a

aaAB理論力學(xué)5140

2

20

n

AB

22

2

rad/s

2a

2rad/s2

AB

20

nxyDC

aA

aB

aBA

aBA將等式兩邊分別向x和y方向投影得：B

n

AB

aBnaAB

aA

A

aB第51頁/共70頁aCB

2

BC

40

mm/s2aCB

aBC

40mm/s2aCx

CB

40mm/s

aaC

a

a

40

2

mm/sa

CB

aCx理論力學(xué)52方向與CD成45o

夾角指向右下方。DBAx

yaBn

aCaCyaCB

C

aB其中

n

n將加速度分別向x和y方向投影得：

2

aCy

aCB

aB

40mm/s2

2

2

2

Cx

Cy

n再取B為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度如圖所示

aC

aB

aCA

aCA第52頁/共70頁理論力學(xué)53

[例14]

配氣機(jī)構(gòu)中，OA=

r

,

以等角速

o轉(zhuǎn)動(dòng),

在某瞬時(shí)

=

60o

，

ABBC,

AB=6

r

,

BC=

3

3r

。求

該瞬時(shí)滑塊

C的速度和加速度。解:OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；AB，BC均作平面

運(yùn)動(dòng)，滑塊B和C均作平移。

①求vC

對(duì)AB桿應(yīng)用速度投影定理：

vB

cos60

vAcos30

vB

3vA

3ro

對(duì)BC桿應(yīng)用速度投影定理：vC

vB

sin60

3

3

2

2第53頁/共70頁

a

a

a以A為基點(diǎn)求B點(diǎn)加速度：aB

A

BA

BAo

2

6r(

)

理論力學(xué)54②求

aC

n(1)1

23

3nBA

n

2

,AP

3r

3aro2n作加速度矢量圖,并沿BA方向投影

aB

cos60

aA

cos60

aBA

2

4

2

r

2

3

3第54頁/共70頁BCro

vC

3

1

oo

BC

3

3r(a6aB

C55(2)

n作加速度矢量圖,

P2為BC的瞬心,而

P2C

=

9

r再以B為基點(diǎn),

求aC

aC

aB

aCB

aCB2

312ro2)2

PC

2

9r

6

n

2

CB

BC將

(b)

式在BC方向線上投影

n

r

2

3

3

2

3

2aC

B

CB

o

o

o

3

2

12

12[注]

理論力學(xué)

,a

指向可假設(shè)，結(jié)果為正說明假設(shè)與實(shí)際指向相同，反之，結(jié)果為負(fù)，說明假設(shè)與實(shí)際指向相反。

30o第55頁/共70頁理論力學(xué)56一、概念與內(nèi)容

1.剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義

剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任一點(diǎn)到某固定平面的距離保持不變。

2.剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化

可以用剛體上一個(gè)與固定平面平行的平面圖形S在自身平

面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的整體運(yùn)動(dòng)。

3.剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解

分解為隨基點(diǎn)的平移（平移規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)）

與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無關(guān)）。

4.基點(diǎn)

可選擇平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn)，通常是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已知的點(diǎn)。第八章剛體平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題課第56頁/共70頁理論力學(xué)575.速度瞬心(瞬心)

任一瞬時(shí)，平面圖形或擴(kuò)大部分都唯一存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)，瞬心位置隨時(shí)間改變，即瞬心有加速度。

每一瞬時(shí)平面圖形的運(yùn)動(dòng)可視為繞該瞬時(shí)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)。這種瞬時(shí)繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不同。

瞬心位于無窮遠(yuǎn)處，

=0。各點(diǎn)速度相同，

剛體作瞬時(shí)平移，瞬時(shí)平移與平移不同。6.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平移是剛體平面運(yùn)動(dòng)的特例。7.求平面圖形上任一點(diǎn)速度的方法基點(diǎn)法：速度投影法：A為基點(diǎn)vB

vA

vBA

,vBAB

vAAB

速度瞬心法：

vB

BP

,vBBP,與

一致.P為瞬心其中，基點(diǎn)法是最基本的公式，瞬心法是基點(diǎn)法的特例。第57頁/共70頁理論力學(xué)58

n

8.求平面圖形上一點(diǎn)加速度的方法

基點(diǎn)法：

aB

aA

aBA

aBA

，A為基點(diǎn),

是最常用的方法

此外，當(dāng)

=0,瞬時(shí)平移時(shí)才可采用方法

aBAB

aAAB

它是基點(diǎn)法在

=0時(shí)的特例。9.平面運(yùn)動(dòng)方法與合成運(yùn)動(dòng)方法的應(yīng)用條件

平面運(yùn)動(dòng)方法用于研究一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)的速

度、加速度之間的關(guān)系及任意一點(diǎn)的速度、加速度與圖形

角速度、角加速度之間的關(guān)系。

合成運(yùn)動(dòng)方法常用來確定兩個(gè)相接觸的物體在接觸點(diǎn)處有

相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的傳遞。第58頁/共70頁理論力學(xué)59二、解題步驟和要點(diǎn)

1.根據(jù)題意和剛體各種運(yùn)動(dòng)的定義，判斷機(jī)構(gòu)中各剛體的運(yùn)動(dòng)形式。注意每一次的研究對(duì)象只是一個(gè)剛體。

2.對(duì)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速度(圖形角速度)問題的方法,

用基點(diǎn)法求加速度(圖形角加速度)。

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。

(基點(diǎn)法:

恰當(dāng)選取基點(diǎn)，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；

速度投影法:只能求速度的大小，不能求出圖形的

;

速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵。第59頁/共70頁理論力學(xué)60[例1]

導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu)第60頁/共70頁理論力學(xué)61[例1]

導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu)

已知

曲柄OA=

r

,

勻角速度

轉(zhuǎn)動(dòng),

連桿AB的中點(diǎn)C處連接

一滑塊C可沿導(dǎo)槽O1D滑動(dòng),

AB=l,圖示瞬時(shí)O,A,O1三

點(diǎn)在同一水平線上,

OAAB,

AO1C=

=30。

求：該瞬時(shí)O1D的角速度。

解：OA,

O1D均作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),

AB作平面