.比值代換一．基本原理比值代換.它不僅可以解決很多極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，還可以解決很多其他的雙變量問(wèn)題.通過(guò)比值代換，我們可以將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題來(lái)處理，達(dá)到消元的效果.在處理比值代換時(shí)，首先應(yīng)該注意一些常見(jiàn)的變換結(jié)構(gòu)：方法1.假設(shè)，這樣的話欲證即證，于是，我們需要進(jìn)一步找尋與的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)比值代換.方法2.對(duì)數(shù)減法：或是方法3.齊次分式：例如：等；方法4.合分比結(jié)構(gòu)：如果，則.方法5.非對(duì)稱(chēng)型：如或者商型結(jié)構(gòu)：或分式型等是應(yīng)用比值代換的天然沃土.二．典例分析例1．（2021?廣州一模）已知函數(shù)．（1）證明：曲線在點(diǎn)，（1）處的切線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：．證明：（1），（1），又（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，.故直線過(guò)定點(diǎn)，.（2），是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，可得，，令，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，則，則在上單調(diào)遞增，而（2），，則在上單調(diào)遞增，（2），可得，則，即，則．例2．已知函數(shù)．若時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．證明：當(dāng)時(shí)，，由題意知，②-①得：，即③,令，則，且，又因?yàn)?，由③知：，所以，要證，只需證，即證，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增且（1），所以當(dāng)時(shí)，，即．例3．已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.解：因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即的取值范圍是.(2)，對(duì)函數(shù)，設(shè)上一點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，將代入上式得，所以過(guò)的的切線方程為.所以，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.，令，則，所以，所以，即所以，令，令，所以在上遞增.因?yàn)椋栽谏虾愠闪?所以在上恒成立.所以在上遞增.，所以當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.例4.（2018全國(guó)1卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.（1）略.（2）證明：由（1）可得，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn).且是導(dǎo)函數(shù)的兩零點(diǎn)，故.由于，由對(duì)數(shù)均值不等式可知，代入可得：，證畢.習(xí)題演練習(xí)題.已知函數(shù).（1）討論的極值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.解析：（1），當(dāng)時(shí)，由于，故，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，由，得，在上，，在上，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值，綜上：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，不妨設(shè)，由（1）得，且，則，