《測量學(xué)》1第五章

測量誤差的基本知識2§5-1測量誤差的概念一、測量誤差的來源1、儀器精度的局限性2、觀測者感官的局限性3、外界環(huán)境的影響3二、測量誤差的分類與對策（一）分類系統(tǒng)誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)在符號和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。例：誤差

鋼尺尺長誤差Dk鋼尺溫度誤差Dt水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C……處理方法計算改正計算改正操作時抵消(前后視等距)操作時抵消(盤左盤右取平均)

……5二、測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”粗差——特別大的誤差（錯誤）例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差。6（二）處理原則粗差——細(xì)心，多余觀測系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差7三.偶然誤差的特性

1.偶然誤差的定義：

設(shè)某一量的真值為X，對該量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值，則產(chǎn)生了n個真誤差：(5-1-1)真誤差真值觀測值9例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差i為i=180–(i+i+I)其結(jié)果如表6-1，圖6-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。10誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然誤差的統(tǒng)計

11偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。13§5-2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（中誤差）中誤差14§5-2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)二、相對中誤差平均誤差一、中誤差15如果函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)概率17正態(tài)分布18m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.61921區(qū)別錯誤與誤差的閥值隨機(jī)變量X在區(qū)間（x1x2）之間的概率為則函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)如果就得正態(tài)分布22

三、極限誤差23但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，任何評定觀測值的精度，即：

=？m=？尋找最接近真值的值x§5-3觀測值的算術(shù)平均值及改正值25集中趨勢的測度（最優(yōu)值）中位數(shù)：設(shè)把n個觀測值按大小排列，這時位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。眾數(shù)：在n個數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。切尾平均數(shù)：去掉lmax,lmin以后的平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解26二、觀測值的改正值若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù)為最優(yōu)解x改正值的特性定義改正值似真差滿足最小二乘原則的最優(yōu)解最小二乘29§5-4觀測值的精度評定標(biāo)準(zhǔn)差可按下式計算中誤差30證明將上列左右兩式相減，得31分別取平方32取和對代入前式33計算標(biāo)準(zhǔn)差例子34小結(jié)一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差35§5-5誤差傳播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

36觀測值函數(shù)的中誤差——誤差傳播定律一.觀測值的函數(shù)例：高差平均距離實(shí)地距離三角邊和或差函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量一般函數(shù)……37二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?38二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和39二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和40二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?41二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和42二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?和平方43二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?44解：例量得地形圖上兩點(diǎn)間長度=168.5mm0.2mm,計算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式中誤差式45二、幾種常用函數(shù)的中誤差（三）線性函數(shù)已知：mxi,求：mz=?46（三）線性函數(shù)特殊xi為獨(dú)立觀測值47例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。48(四)一般函數(shù)的中誤差公式——誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)xi為獨(dú)立觀測值對上式線性化49中誤差關(guān)系式：小結(jié)第一步：寫出函數(shù)式第二步：寫出全微分式(線性化)第三步：寫出中誤差關(guān)系式注意：只有自變量微分之間相互獨(dú)立才可以進(jìn)一步寫出中誤差關(guān)系式。50

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

51例已知某矩形長a=500米，寬b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：(1)列出函數(shù)式；(2)對函數(shù)式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。52例題已知

有求：錯誤53例題已知

有；求：54觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD§5-6誤差傳布定律

應(yīng)用舉例55§5-6誤差傳播定律應(yīng)用

觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD56誤差傳播定律

應(yīng)用舉例算術(shù)平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx57算例：用三角形閉合差求測角中誤差58誤差傳播定律的應(yīng)用解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：例：要求三角形最大閉合差

，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差。59DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差：例9：已知直線MP的坐標(biāo)方位角=722000，水平距離D=240m。如已知方位角中誤差，距離中誤差，求由此引起的P點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差、，以及P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差。60§5-7加權(quán)平均數(shù)及其中誤差現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值A(chǔ)組：123.34,123.39,123.35B組：123.31,123.30,123.39,123.32C組：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各組的平均值A(chǔ)組：123.360B組：123.333C組：123.356

=?61加權(quán)平均數(shù)

各組的平均及其權(quán)A組：123.360權(quán)PA=3B組：123.333PB=4C組：123.356PC=5

(

)()()62一、權(quán)與中誤差平均數(shù)的權(quán)pA=3平均數(shù)的中誤差m——單位權(quán)中誤差權(quán)與誤差的平方成反比63二、加權(quán)平均數(shù)64三、加權(quán)平均值的中誤差

65四、單位權(quán)中誤差的計算如果m可以用真誤差j計算，則如果m要用改正數(shù)v計算，則66加權(quán)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的算例67例：對某水平角進(jìn)行了三組觀測，各組分別觀測2，4，6測回計算該水平角的加權(quán)平均值。加權(quán)平均值的計算

組號測回數(shù)各組平均值L權(quán)P

LPL表5-5加權(quán)平均值：1240°20′14"4142440°

20′17"72143640°

20′20"10330L0=