二階常系數(shù)線性微分方程歐拉方程演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共54頁(yè)。優(yōu)選二階常系數(shù)線性微分方程歐拉方程當(dāng)前2頁(yè)，總共54頁(yè)。6.6.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱(chēng)為二階常系數(shù)齊線性微分方程，即特征方程當(dāng)前3頁(yè)，總共54頁(yè)。二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故方程(1)的通解為當(dāng)前4頁(yè)，總共54頁(yè)。二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式當(dāng)前5頁(yè)，總共54頁(yè)。由劉維爾公式求另一個(gè)解：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程(1)的通解為當(dāng)前6頁(yè)，總共54頁(yè)。二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其通解為利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位i。當(dāng)前7頁(yè)，總共54頁(yè)。歐拉公式：由線性方程解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且它們是線性無(wú)關(guān)的：當(dāng)前8頁(yè)，總共54頁(yè)。故當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，原方程的通解可表示為當(dāng)前9頁(yè)，總共54頁(yè)。二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式當(dāng)前10頁(yè)，總共54頁(yè)。例解當(dāng)前11頁(yè)，總共54頁(yè)。例解當(dāng)前12頁(yè)，總共54頁(yè)。例解故所求特解為當(dāng)前13頁(yè)，總共54頁(yè)。例解此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力f

的作用。求反映此彈突然放手，開(kāi)始拉長(zhǎng)，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為

k）。取x軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有（恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反）由牛頓第二定律，得（略）當(dāng)前14頁(yè)，總共54頁(yè)。它能正確描述我們的問(wèn)題嗎？記拉長(zhǎng)后，突然放手的時(shí)刻為我們要找的規(guī)律是下列初值問(wèn)題的解：當(dāng)前15頁(yè)，總共54頁(yè)。從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng)前16頁(yè)，總共54頁(yè)。n階常系數(shù)齊線性微分方程形如的方程，稱(chēng)為n階常系數(shù)齊線性微分方程，當(dāng)前17頁(yè)，總共54頁(yè)。n階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為特征根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)當(dāng)前18頁(yè)，總共54頁(yè)。例解例6.50求下列方程的通解：解當(dāng)前19頁(yè)，總共54頁(yè)。故原方程的通解為故原方程的通解為當(dāng)前20頁(yè)，總共54頁(yè)。6.6.2二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如的方程，稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，它對(duì)應(yīng)的齊方程為我們只討論函數(shù)f(x)

的幾種簡(jiǎn)單情形下，(2)的特解。當(dāng)前21頁(yè)，總共54頁(yè)。方程(2)對(duì)應(yīng)的齊方程(1)的特征方程及特征根為單根二重根一對(duì)共軛復(fù)根你認(rèn)為方程應(yīng)該有什么樣子的特解？當(dāng)前22頁(yè)，總共54頁(yè)。假設(shè)方程有下列形式的特解：則代入方程(2)，得即方程(3)的系數(shù)與方程(2)的特征根有關(guān)。當(dāng)前23頁(yè)，總共54頁(yè)。由方程(3)及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:當(dāng)前24頁(yè)，總共54頁(yè)。由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:當(dāng)前25頁(yè)，總共54頁(yè)。由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:當(dāng)前26頁(yè)，總共54頁(yè)。定理1當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程它有下列形式的特解：其中：

當(dāng)前27頁(yè)，總共54頁(yè)。例解對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得當(dāng)前28頁(yè)，總共54頁(yè)。比較兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為當(dāng)前29頁(yè)，總共54頁(yè)。例解對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得當(dāng)前30頁(yè)，總共54頁(yè)。上式即故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為當(dāng)前31頁(yè)，總共54頁(yè)。例解對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為綜上所述，原方程的通解為當(dāng)前32頁(yè)，總共54頁(yè)。例6.54解當(dāng)前33頁(yè)，總共54頁(yè)。代入原方程得當(dāng)前34頁(yè)，總共54頁(yè)。所以故原方程的通解為例6.55解根據(jù)定理6.7（P315），原方程的特解由當(dāng)前35頁(yè)，總共54頁(yè)。代入原方程得故原方程的特解為當(dāng)前36頁(yè)，總共54頁(yè)。故原方程的通解為例6.56解當(dāng)前37頁(yè)，總共54頁(yè)。代入原方程得于是故原方程的通解為當(dāng)前38頁(yè)，總共54頁(yè)。故原方程滿(mǎn)足初始條件的特解為當(dāng)前39頁(yè)，總共54頁(yè)。歐拉公式：定理6.8的一個(gè)特解。當(dāng)前40頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前41頁(yè)，總共54頁(yè)。例解代入上述方程，得從而，原方程有一特解為當(dāng)前42頁(yè)，總共54頁(yè)。例解代入上述方程，得比較系數(shù)，得當(dāng)前43頁(yè)，總共54頁(yè)。從而，原方程有一特解為故當(dāng)前44頁(yè)，總共54頁(yè)。例解由上面兩個(gè)例題立即可得當(dāng)前45頁(yè)，總共54頁(yè)。例解對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為將它代入此方程中，得從而，原方程有一特解為當(dāng)前46頁(yè)，總共54頁(yè)。故原方程的通解為當(dāng)前47頁(yè)，總共54頁(yè)。例6.59解原方程可化為兩端對(duì)x求導(dǎo)得整理得兩端再對(duì)x求導(dǎo)得當(dāng)前48頁(yè)，總共54頁(yè)。此為常系數(shù)線性微分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為故齊次方程通解為故，自由項(xiàng)為1時(shí)原方程的特解可設(shè)為當(dāng)前49頁(yè)，總共54頁(yè)。代入原方程得當(dāng)前50頁(yè)，總共54頁(yè)。由此得注意到由方程（5-69）、（5-70）有所以有解之得當(dāng)前51頁(yè)，總共54頁(yè)。5.5.3歐拉方程（略）形如的方程，稱(chēng)為n

階歐拉方程，其中關(guān)于變