粘性流體流動的微分方程演示文稿當(dāng)前1頁，總共62頁。（優(yōu)選）粘性流體流動的微分方程當(dāng)前2頁，總共62頁。微分衡算方程又稱為變化方程，它們描述與動量、熱量和質(zhì)量傳遞有關(guān)的物理量如速度、密度、壓力、溫度、組分濃度等隨位置和時間變化的普遍規(guī)律。本章重點(diǎn)是微分質(zhì)量衡算和微分動量衡算方程。第一節(jié)連續(xù)性方程連續(xù)性方程：對于單組分系統(tǒng)或組成無變化的多組分系統(tǒng)，應(yīng)用質(zhì)量守恒定律進(jìn)行微分衡算得到的方程。當(dāng)前3頁，總共62頁。3－1連續(xù)性方程的推導(dǎo)yxz(X,Y,Z)dydzdx如圖：在流動的流體中選取一微元體，其邊長為dx，dy，dz，相應(yīng)的各邊長分別與x軸，y軸和z軸平行。流體在任一點(diǎn)（x，y，z）處的速度u沿x，y，z方向的分量分別為ux

，uy，和uz，流體的密度為ρ，ρ為x，y，z和θ的函數(shù)。因此在點(diǎn)（x，y，z）處的質(zhì)量通量為ρu當(dāng)前4頁，總共62頁。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對此微元體進(jìn)行質(zhì)量衡算得：輸出的質(zhì)量流率－輸入的質(zhì)量流率＋累積的質(zhì)量流率＝0首先分析x方向流過此微元體的質(zhì)量流率：設(shè)微元體左側(cè)平面處的質(zhì)量通量為ρux，則輸入微元體的質(zhì)量流率＝ρuxdydz右側(cè)平面處的質(zhì)量通量為則輸出微體的質(zhì)量流率＝當(dāng)前5頁，總共62頁。沿x方向的凈輸出質(zhì)量流率為上述二者之差即：同理：沿y方向的凈輸出質(zhì)量流率為沿z方向的凈輸出質(zhì)量流率為當(dāng)前6頁，總共62頁。三者相加便是此微元體中流體質(zhì)量流率的總輸出與總輸入之差：即總凈輸出量為：(輸出的質(zhì)量流率）－（輸入的質(zhì)量流率）在θ時，微元體的質(zhì)量為ρdxdydz，在θ＋dθ時，其質(zhì)量變?yōu)楫?dāng)前7頁，總共62頁。累積的質(zhì)量速率為上述兩項(xiàng)之差除以dθ累積質(zhì)量速率＝于是可證流體流動時的微分質(zhì)量衡算式為：寫成向量形式為：（3－1）（3－2）散度此式即為流體流動時的通用微分衡算方程，又稱為連續(xù)性方程。當(dāng)前8頁，總共62頁。適用范圍：（1）由于推導(dǎo)時沒作任何假定，故它適用于穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。（2）理想流體和真實(shí)流體。（3）可壓縮和不可壓縮流體。（4）牛頓型流體和非牛頓型流體。它是研究動量、熱量和質(zhì)量傳遞過程的最基本、最重要的微分方程之一。當(dāng)前9頁，總共62頁。3－2對連續(xù)性方程的分析和簡化將連續(xù)性方程展開可得其另一種形式為：上式的物理意義分析：與傳遞過程有關(guān)的許多物理量（如壓力、密度、速度、溫度、濃度等）都是位置和時間的連續(xù)函數(shù)，對于ρ有：將ρ進(jìn)行全微分得：（3－3）（3－4）當(dāng)前10頁，總共62頁。寫成全導(dǎo)數(shù)的形式為：（3－6）（3－5）各項(xiàng)物理意義：（1）偏導(dǎo)數(shù)表示某固定點(diǎn)處流體密度隨時間的變化率。因?yàn)閤，y，z固定時，后三項(xiàng)均為零，當(dāng)前11頁，總共62頁。（2）全導(dǎo)數(shù)它可想象為當(dāng)測量運(yùn)動流體密度時，觀察者在流體中以任意速度運(yùn)動（式中為其速度分量，該速度不一定等于流體速度）時密度對時間的變化率。顯然，全導(dǎo)數(shù)除了與時間和位置有關(guān)外，還與觀察者的速度有關(guān)。（3）隨體導(dǎo)數(shù)若測量流體密度時，觀察者在流體中的運(yùn)動速度與流體運(yùn)動的速度完全一致時，則當(dāng)前12頁，總共62頁。為流體流速在三個坐標(biāo)軸的分量。此時，上述方程即可表明流體密度為位置、時間及流體速度u的函數(shù)。此種隨流體運(yùn)動的導(dǎo)數(shù)稱為“隨體導(dǎo)數(shù)”或“真實(shí)導(dǎo)數(shù)”，或稱拉格朗日（Lagrangian)導(dǎo)數(shù)，記為（3－7）隨體導(dǎo)數(shù)中的物理量可以為標(biāo)量如（壓力、密度、溫度、濃度等），也可以為矢量如（速度）當(dāng)前13頁，總共62頁。流體密度ρ的隨體導(dǎo)數(shù)可表示為：（3－8）局部導(dǎo)數(shù)對流導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù)由兩部分組成，其一為局部變化，即量在空間的一個固定點(diǎn)上隨時間的變化，稱為“局部導(dǎo)數(shù)”另一部分是量的對流變化，即該量由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，由一點(diǎn)移動到另一點(diǎn)時該量所發(fā)生的變化，稱為“對流導(dǎo)數(shù)”。當(dāng)前14頁，總共62頁。上式表明：當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)在dθ時間內(nèi)，由空間的一點(diǎn)（x，y，z）移動到另一點(diǎn)（x＋dx，y＋dy，z＋dz）時，流體密度對時間的變化率。連續(xù)性方程用隨體導(dǎo)數(shù)形式表達(dá)為：方程中的前三項(xiàng)是速度向量的散度現(xiàn)在來看第四項(xiàng)的物理意義：考察隨流體運(yùn)動的一個單位質(zhì)量的流體微元，質(zhì)量衡定，但體積v和密度ρ隨時間而變，當(dāng)前15頁，總共62頁。因?yàn)椋?－10）兩邊求隨體導(dǎo)數(shù)得：（3－11）（3－12）代入方程（3－9）得：（3－13）流體微元的體積膨脹速率或形變速率當(dāng)前16頁，總共62頁。速度向量的散度實(shí)際上表述了三個軸線方向上的線性形變速率。速度向量的散度等于流體運(yùn)動時體積膨脹速率。此概念很重要，后面要用到多次。上述方程的物理意義是：在進(jìn)行動量、能量和質(zhì)量衡算及對流體的運(yùn)動進(jìn)行分析時，有兩種方法。一是歐拉（Euler）方法：在流體運(yùn)動的空間內(nèi)固定某一位置，并且固定被研究流體的體積，但其質(zhì)量隨時間而變，據(jù)此當(dāng)前17頁，總共62頁。來分析該固定位置流體狀況的變化，從而獲得整個流場流體運(yùn)動的規(guī)律。另一是拉格朗日（Lagrange）方法：在流體運(yùn)動的空間內(nèi)，選擇某一固定質(zhì)量的微元，觀察者追隨此流體微元一起運(yùn)動，并根據(jù)此運(yùn)動著的流體微元的狀態(tài)變化來研究整個流場流體運(yùn)動的規(guī)律。此時，流體質(zhì)量固定，位置變化，體積也可能變化。在總衡算或微分衡算方程的推導(dǎo)過程中，兩種觀點(diǎn)都可以采用，最終結(jié)果也都一樣，只是不同的情況用某一種方法會當(dāng)前18頁，總共62頁。簡化。而用另一種方法會繁瑣罷了。比如：推導(dǎo)連續(xù)性方程時采用歐拉法，而分析該方程時又采用Lagrange方法。后面的微分動量衡算和微分能量衡算方程的推導(dǎo)將采用Lagrange法。連續(xù)性方程的化簡（1）穩(wěn)態(tài)流動的連續(xù)性方程由于是穩(wěn)態(tài)流動，密度不隨時間而變，即，方程（3－1）可簡化為：當(dāng)前19頁，總共62頁。（3－14）上式適用于可壓縮和不可壓縮流體。（2）不可壓縮流體的連續(xù)性方程由于此時ρ為常數(shù)，故（3－1）式可簡化為：（3－15）適用于穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)流動。此式非常有用！當(dāng)前20頁，總共62頁。3－3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程在研究圓管、圓筒形流道內(nèi)的流動時，在相同半徑上的所有各點(diǎn)都具有相同的速度及其它物理量，此時用柱坐標(biāo)系表達(dá)連續(xù)性方程最為方便。同理，當(dāng)流動系統(tǒng)的范圍面為球形或其一部分時，采用球坐標(biāo)最方便。這兩種坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程的推導(dǎo)，原則上與直角坐標(biāo)系相似，并且還可通過坐標(biāo)系間的對應(yīng)關(guān)系由直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換而得。這里就不詳講了，結(jié)果如下：當(dāng)前21頁，總共62頁。柱坐標(biāo)系上的連續(xù)性方程：R－徑向坐標(biāo)Z－軸線坐標(biāo)（3－16）－方位角－時間為三個方向上的流體速度分量當(dāng)前22頁，總共62頁。－全緯度－方位角（3－16）為球坐標(biāo)系方向上的速度分量。球坐標(biāo)系上的連續(xù)性方程：當(dāng)前23頁，總共62頁。第二節(jié)運(yùn)動方程通過微分質(zhì)量衡算，導(dǎo)出了連續(xù)性方程。同樣，微分動量衡算可以導(dǎo)出流體的運(yùn)動方程。兩者結(jié)合便可解決許多流體運(yùn)動問題。這兩方程是三傳的基礎(chǔ)方程。1運(yùn)動方程的推導(dǎo)流體運(yùn)動所遵循的牛頓第二定律可表述為：流體的動量隨時間的變化率等于作用在該流體上的諸外力的向量和。當(dāng)前24頁，總共62頁。（3－18）采用Lagrange方法，對于質(zhì)量衡定且以相同流速跟隨流體運(yùn)動的微元流體，方程（3－18）可寫成：（3－19）方程（3－19）是向量方程，可以分別為x，y，z三個方向的分量加以描述，其中的質(zhì)量M可用密度與體積的積表示為：于是有：（3－20）當(dāng)前25頁，總共62頁。分解為x，y，z三軸方向上的分量時，分別為：（3－21a）（3－21b）（3－21c）i－表示慣性力為作用在上述流體微元上的合力在x，y，z方向上的分量。當(dāng)前26頁，總共62頁。合外力的每一個分量都由兩類力組成：（1）質(zhì)量力或體積力，指作用在整個流體微元上的外力，記為（2）機(jī)械力或表面力，指作用在流體諸表面上的外力，記為分別說明如下：1質(zhì)量力在傳遞過程中，僅限于考察處于重力場作用下的流體，所以對于一個流體微元來說，在x方向上的質(zhì)量力分量為：當(dāng)前27頁，總共62頁。（3－22）X－單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力在x方向上的分量，因只考慮重力場的作用，所以X又指單位質(zhì)量流體所承受的重力在x方向上的分量，可寫成：式中β為x軸方向與重力方向之間的夾角。因x方向?yàn)樗椒较?，故X＝0，同理Z＝0，Y＝g則有：（3－23a）（3－23b）（3－23c）當(dāng)前28頁，總共62頁。2表面力該力來自該流體微元毗鄰的外部流體，由靜壓力和粘性力所提供，所以又稱為機(jī)械力。對單位表面而言稱為表面應(yīng)力或機(jī)械應(yīng)力。表面應(yīng)力可分為法向和切向兩部分，即法向應(yīng)力和剪應(yīng)力。表面應(yīng)力記為τ。圖中標(biāo)出一個流體微元y－z平面上三個機(jī)械應(yīng)力分量的作用情況，為法向應(yīng)力分量，和為切向應(yīng)力分量，即剪應(yīng)力分量zyx當(dāng)前29頁，總共62頁。下標(biāo)的含義為：第一個下標(biāo)x為應(yīng)力分量的作用面與x軸相垂直，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力分量的作用力方向分別為x軸，y軸和z軸方向。顯然，兩個下標(biāo)均相同時，即表示法線應(yīng)力。法線應(yīng)力：拉伸方向?yàn)檎?，即向外為正；壓縮方向?yàn)樨?fù)，即向內(nèi)為負(fù)。當(dāng)前30頁，總共62頁。xzydxdzdyX方向上作用于流動的流體微元的機(jī)械應(yīng)力分量圖考察一個流體微元在x方向上所受到的機(jī)械應(yīng)力情況。此微元的6個表面都受到與之當(dāng)前31頁，總共62頁。毗鄰的、由外部流體而來的機(jī)械應(yīng)力。每一個應(yīng)力又都可分解為x，y，z方向上的分量。圖中只示出了x方向上的應(yīng)力分量。當(dāng)流體微元的體積縮小為一點(diǎn)時，可以想象，相對兩表面上的法向應(yīng)力與切向應(yīng)力都相應(yīng)地大小相等，方向相反。因此，在流場中，任何一點(diǎn)流體所承受的機(jī)械應(yīng)力狀態(tài)，僅采用9個機(jī)械應(yīng)力分量即可完全表達(dá)，3個法向應(yīng)力和6個剪應(yīng)力，每個方向兩個應(yīng)力分量。當(dāng)前32頁，總共62頁?？梢宰C明上述6個剪應(yīng)力可以使流體微元發(fā)生旋轉(zhuǎn)。同時可以證明它們彼此不是獨(dú)立的，而是相互關(guān)聯(lián)的。下面將導(dǎo)出其相互關(guān)系。將圖中的流體微元的x－y平面上一個相應(yīng)平面分離出來加以觀察，則環(huán)繞該平面四周上所作用的4個剪應(yīng)力表示如下圖：yx0(x,y,z)當(dāng)前33頁，總共62頁。圖中平面的形心點(diǎn)為0，假設(shè)有一根平行于z軸的軸線穿過形心點(diǎn)時，顯然，這4個剪應(yīng)力對于該軸線會產(chǎn)生力矩，使得流體微元圍繞軸線旋轉(zhuǎn)起來。力矩應(yīng)等于流體質(zhì)量、旋轉(zhuǎn)半徑平方以及角加速度三者之積。應(yīng)指出：只有剪應(yīng)力才能對旋轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩，而法向應(yīng)力和重力的作用是通過上述形心的，故其不會產(chǎn)生力矩（即旋轉(zhuǎn)半徑為零所致）。令：逆時針方向旋轉(zhuǎn)力為正，反之為負(fù)，當(dāng)前34頁，總共62頁。則可寫出如下力矩方程：簡化上式得：（3－24）當(dāng)流體微元小到趨于零時，則旋轉(zhuǎn)半徑0因此上式右側(cè)趨于0，于是可得：（3－25a）當(dāng)前35頁，總共62頁。同樣的道理可得：（3－25b）（3－25c）這就是說，前述9個機(jī)械應(yīng)力中只有6個是獨(dú)立的。運(yùn)動微分方程的推導(dǎo)：任參照上述流體微元的受力圖，首先考察x方向上的凈機(jī)械力分量顯然可用下式表示：當(dāng)前36頁，總共62頁。（3－26）簡化后：（3－27）再考察x方向上的總外力分量：它等于機(jī)械力分量與重力分量之和，即：（3－28）將式（3－21a）、（3－22）和（3－27）代入方程（3－28）得：當(dāng)前37頁，總共62頁。（3－29）同理可得：（3－30）（3－31）上式三式即為粘性流體的運(yùn)動微分方程。對運(yùn)動微分方程的分析：上述三個運(yùn)動微分方程中，只有三個已知量X，Y，Z，而獨(dú)立的未知變量達(dá)10當(dāng)前38頁，總共62頁。個之多，即：因此要想得到其解析解是根本不可能的。只有通過適當(dāng)?shù)暮喕?、假設(shè)才能在某些特殊情況下求解。下面將通過牛頓型流體應(yīng)力與形變速率之間的關(guān)系導(dǎo)出奈維－斯托克斯方程。當(dāng)前39頁，總共62頁。2應(yīng)力與形變速率之間的關(guān)系一剪應(yīng)力對牛頓型流體，剪應(yīng)力與剪切速率成正比，即對于一維流動，且速度梯度與y軸方向相同時有：（3－32）其中為x方向上的形變速率，或稱剪切速率。如果將形變速率表示成平面夾角φ變化速率的形式將更為方便。當(dāng)前40頁，總共62頁。xy如圖所示：對于一維流動，設(shè)流體微元的x－y平面原為矩形，由于剪切力的作用，此矩形必然發(fā)生形變，經(jīng)dθ后，變成了虛線所示的平行四邊形，這一變化可作如下解釋：當(dāng)粘性流體流動時，由于粘性的作用，會使平行于x軸的兩相對平面產(chǎn)生相對運(yùn)動，亦即在圖示的情況下，在dθ的時間內(nèi)，相對運(yùn)動使上層流體較下層流體多走行了當(dāng)前41頁，總共62頁。一段距離：，與此相應(yīng)，在x－y平面上的原矩形平面的夾角也變化了dφ（以弧度表示），dφ的正切可表示為：（3－33）為何取負(fù)號，是因?yàn)楫?dāng)上層多行走一段距離時，φ值減小了，故dφ為負(fù)值。由于dφ很小，所以故上式寫成（3－34）代入牛頓粘性定律得：當(dāng)前42頁，總共62頁。（3－35）為角形變速率，可理解為微分長度dy以原點(diǎn)為圓心旋轉(zhuǎn)時的角速度。利用該式分析三維流體流動時的情況：粘性流體在流動過程中，必然產(chǎn)生體積形變，由原來的方形體變成菱形微元六面體。分析一下x－y平面上所承受的剪應(yīng)力分量與形變速率之間的關(guān)系，當(dāng)前43頁，總共62頁。yxyx經(jīng)微分時間dθ后，φ由變成（其中和均為負(fù)值），同一維流動相似，可以寫成：當(dāng)前44頁，總共62頁。故（3－36）由于牛頓型流體的剪應(yīng)力與形變速率成正比，所以將上式代入式（3-35）后，便可寫成：同理：（3－37a）（3－37b）（3－37c）當(dāng)前45頁，總共62頁。二法向應(yīng)力由靜壓力的作用產(chǎn)生部分流體微元承受壓縮應(yīng)力體積形變由粘性應(yīng)力的作用產(chǎn)生部分微元在法線方向上承受拉伸或壓縮線性形變1如果流體微元靜止，或雖流動，但無粘性應(yīng)力的作用（即理想流體）則流體中各處或一點(diǎn)處各方向上的流速不會發(fā)生變化，此時可以認(rèn)為在數(shù)值上法向當(dāng)前46頁，總共62頁。應(yīng)力的三個分量都等于壓力，即：“－”表示法向應(yīng)力方向與靜壓力方向反。于是可知（3－38）（對于理想流體或靜止的實(shí)際流體成立）2對于流動的粘性流體流場中各處流速不同，所以三者彼此間并不相等，且它們與p的關(guān)系也更復(fù)雜。當(dāng)前47頁，總共62頁。代表了三個法向應(yīng)力的平均值，該平均值與靜壓力p之間的關(guān)系仍然在數(shù)值上相等，即上式仍然成立。盡管如此，對于氣體和不可壓縮流體而言，對于流動著的粘性流體，，但仍可寫成：（3－39）式中為x方向上的法向粘性應(yīng)力分量。通過變換可得出如下方程：當(dāng)前48頁，總共62頁。（3－40）（3－41a）（a）（b）（c）同理可得：（3－41b）（a）（b）（d）（3－41c）（a）（c）（c）這里共出現(xiàn)四項(xiàng)：當(dāng)前49頁，總共62頁。a為pb為d為c為通過分析分別求出這四項(xiàng)對x方向上的線性形變速率的影響，即對的影響如下：（3－42a）（3－42b）（3－42c）（3－42d）當(dāng)前50頁，總共62頁。則在x方向上，由法向應(yīng)力分量所引起的形變速率之和為，它等于（3－43）經(jīng)代入整理并求解得：（3－44a）同理得：（3－44b）（3－44c）當(dāng)前51頁，總共62頁。上述三式可以看出：法向應(yīng)力與靜壓力雖有密切關(guān)聯(lián)，但二者概念明顯不同。只有當(dāng)流體靜止或?yàn)槔硐肓黧w時，二者在數(shù)值上相同，但方向相反。3－6奈維－斯托克斯方程（Navier－StokesEquation）以前導(dǎo)出過以應(yīng)力形式表示的運(yùn)動微分方程，x方向的形式為：（3－29）當(dāng)前52頁，總共62頁。上節(jié)分別導(dǎo)出了的函數(shù)表達(dá)式，將（3－44a），（3－37a），和（3－37c）代入（3－29）的x方向上的完全運(yùn)動微分方程，經(jīng)整理后得：（3－45a）同理可得，y，z方向上的運(yùn)動微分方程：（3－45b）（3－45c）當(dāng)前53頁，總共62頁。將上述三式寫成向量的形式為：（3－46）方程（3－45a）～（3－45c）稱為奈維－斯托克斯方程方程中共有五個未知數(shù)：再加上連續(xù)性方程和流體狀態(tài)方程，正好五個方程，五個未知數(shù)，從理論上是可以求解的，但實(shí)際的求解過程極其復(fù)雜，幾乎不可能，所以只是針對一些特殊情況可以將解析式求出。當(dāng)前54頁，總共62頁。比如，針對不可壓縮流體這種特殊情況：連續(xù)性方程為：代入上三式得不可壓縮流體的奈維－斯托克斯方程：（3－47a）（3－