第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1

微積分是大學(xué)中一門重要的基礎(chǔ)課，微積分運算是實際工作和學(xué)習(xí)中應(yīng)用最為廣泛和基本的工具，也是科學(xué)計算中最重要的組成部分。有許多定積分是無法解析求解的，因為大量的被積函數(shù)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示。因此只能用數(shù)值積分來近似計算相應(yīng)的定積分。 4.1引言2數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值微分牛頓-柯特斯公式：具體公式、余項復(fù)化求積公式龍貝格求積公式與理查德森外推加速法高斯求積公式：基本理論、高斯勒讓德公式、高斯切比雪夫公式基本概念：數(shù)值求積的基本思想、代數(shù)精確度收斂性與穩(wěn)定性分析中點方法與誤差分析插值型求導(dǎo)公式插值型求導(dǎo)公式利用數(shù)值積分求導(dǎo)三次樣條求導(dǎo)理查德森外推求導(dǎo)3對于定積分只要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，便可應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式要求被積函數(shù):?有解析表達式；?

的原函數(shù)為初等函數(shù)．45并不復(fù)雜,但它的原函數(shù)卻十分復(fù)雜:

有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限形式,但表達式相當(dāng)復(fù)雜,計算極不方便，例如函數(shù)6x12345f(x)44.5688.5

這些都說明,通過原函數(shù)來計算積分有它的局限性，因而，研究關(guān)于積分的數(shù)值方法具有很重要的實際意義。7還有一類函數(shù)沒有解析表達式，只有數(shù)表形式:主要思想：

用簡單而易于求積分的函數(shù)，例如多項式，來近似原被積函數(shù)，然后對近似函數(shù)進行求積分，最后得到的求積公式是通過在有限個節(jié)點上的函數(shù)值的帶權(quán)和作為近似的積分。由于選取節(jié)點的方式不同，就會產(chǎn)生出不同的數(shù)值積分公式。84.1.1數(shù)值求積的基本思想對于積分：它的幾何意義：是由所圍成的曲邊梯形的面積。0yxab積分計算之所以有困難，就是因為這個曲邊梯形有一條邊是曲的.9積分中值定理告訴我們，如果函數(shù)在上連續(xù)，則在積分區(qū)間內(nèi)存在一點，成立由于的位置一般是未知的，因而難以準(zhǔn)確的計算出,如果能夠提供一種求的算法，相應(yīng)的便得到一種數(shù)值求積方法。0xyab稱f(ξ)為區(qū)間[a,b]的平均高度10如果用兩端點“高度”與的算術(shù)平均值作為平均高度的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式，就稱為梯形公式0xyab11

如果改用區(qū)間中點的“高度”近似的取代平均高度,則又可導(dǎo)出中矩形公式0xabyc12

一般地，可以在區(qū)間上適當(dāng)選取某些節(jié)點，然后用的加權(quán)平均得到平均高度的近似值，這樣就構(gòu)造出具有下列形式的求積公式求積節(jié)點求積系數(shù)（權(quán)），僅與節(jié)點的選取有關(guān)，不依賴于被積函數(shù)的具體形式。13

這類的數(shù)值積分方法通常稱為機械求積，特點就是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算，從而避開了需要尋求原函數(shù)的困難了。構(gòu)造或確定一個求積公式，要討論解決的問題有：14確定求積系數(shù)和求積節(jié)點；求積公式的誤差估計和收斂性分析。4.1.2代數(shù)精度的概念

為了保證數(shù)值求積公式的精度,我們自然希望求積公式能夠?qū)ΡM可能多的函數(shù)都準(zhǔn)確成立,這在數(shù)學(xué)上常用代數(shù)精度這一概念來說明。定義1.如果某個求積公式對于次數(shù)不超過m的多項式均能準(zhǔn)確成立，但對于m+1次多項式就不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。15根據(jù)定義，不難驗證出梯形公式和中矩形公式都具有一次代數(shù)精度。16一般地，要使求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對于，求積公式都能準(zhǔn)確成立，也即：17(1.4)式包含n+1個節(jié)點和n+1個待定的求積系數(shù)，若事先選定節(jié)點，并取m=n,求解方程組(1.4)，即可確定求積系數(shù)，從而使求積公式(1.3)至少具有n次代數(shù)精度。由此可知，構(gòu)造數(shù)值求積公式，實際上則是求與的代數(shù)問題了。1819例題：

4.1.3插值型的求積公式設(shè)給定一組節(jié)點且已知函數(shù)在這些節(jié)點上的值，作插值函數(shù)（取拉格朗日插值多項式），由于代數(shù)多項式的原函數(shù)是容易求得的，我們?nèi)∽鳛榉e分的近似值，這樣就構(gòu)造出插值型求積公式20式中求積系數(shù)通過對插值基函數(shù)積分求出21根據(jù)拉格朗日插值余項定理可知，對于插值型的求積公式(1.5)，其余項我們可以給出式中與變量有關(guān)，22如果求積公式(1.5)是插值型的，從余項我們可以看出，對于次數(shù)不超過n的多項式，其余項等于零，因而此時求積公式至少具有n次代數(shù)精度。反之，如果求積公式(1.5)至少具有n次代數(shù)精度，那它必定是插值型的求積公式。定理1:形如(1.5)式的求積公式至少具有n次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的。234.1.4求積公式的余項

若求積公式(1.3)的代數(shù)精度為m，則由求積公式余項(1.7)可以證明余項形如：其中為不依賴于的待定參數(shù)，。24當(dāng)時，254.1.5求積公式的收斂性和穩(wěn)定性定義2：在求積公式(1.3)中，若式中，則稱求積公式(1.3)是收斂的。定義3：對任給，若，只要，就成立則稱求積公式（1.3）是穩(wěn)定的。26定理2若求積公式(1.3)中系數(shù)，則求積公式是穩(wěn)定的。定理2表明，只要求積系數(shù)，就能保證計算的穩(wěn)定性。27284.2牛頓—柯特斯公式4.2.1柯特斯系數(shù)設(shè)將積分區(qū)間劃分為n等分，步長，選取等距節(jié)點，構(gòu)造出的插值型求積公式稱為牛頓—柯特斯公式，式中稱為柯特斯系數(shù)29作變換,則有當(dāng)n=1的時候，有代入(2.1)式，得到這個數(shù)值積分公式就是梯形公式。30當(dāng)n=2的時候，有這時有這個數(shù)值積分公式就叫辛普森公式31當(dāng)n=4的時候，牛頓-柯特斯公式就稱為柯特斯公式：此時3233柯特斯系數(shù)表4.2.2偶階求積公式的代數(shù)精度

由于牛頓-柯特斯公式是插值型的求積公式，所以n階的牛頓-柯特斯公式至少具有n次的代數(shù)精度。易驗證，辛普森公式，也即2階的牛頓-柯特斯公式，其代數(shù)精度為3次。34柯特斯公式，也即4階的牛頓-柯特斯公式，其代數(shù)精度為5次。其中定理3：當(dāng)階n為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式至少有n+1次的代數(shù)精度；當(dāng)n為奇數(shù)時，牛頓-柯特斯公式至少具有n次代數(shù)精度。354.2.3幾種低階求積公式的余項余項定義：若求積公式是插值型的，則余項：36梯形公式的余項：利用積分中值定理：在內(nèi)存在一點，使37辛普森公式余項：，代數(shù)精度為3次的，其積分余項為柯特斯公式的積分余項為：38例:用1,2,4階的牛頓-柯特斯公式計算積分n=1，梯形公式：39實際誤差：40n=2，辛普森公式：實際誤差：n=4，柯斯特公式：41實際誤差：4.3復(fù)化求積公式

數(shù)值積分公式與多項式插值有很大的關(guān)系.因此Runge現(xiàn)象的存在,使得我們不能用太多的積分點計算.采用與插值類似的方法:分段、低階的方法.42方法：將積分區(qū)間分成幾個子區(qū)間,在每個子區(qū)間上用低階的Newton-Cotes公式如梯形公式,或辛普森公式,或柯特斯公式,然后累加求和作為所求積分的近似值.于是就得到了復(fù)化梯形公式,復(fù)化辛普森公式,復(fù)化柯特斯公式.43將區(qū)間進行n等分，步長，分點復(fù)化求積法：就是先用低階求積公式求出每個子區(qū)間上的積分值，用作為所求積分的近似值。444.3.1復(fù)化梯形公式在每個子區(qū)間上采用梯形公式，則得到：其中式（3.2）就稱為復(fù)化梯形公式。4546復(fù)化梯形公式的積分余項：由于474.3.2復(fù)化辛普森求積公式在每個子區(qū)間上采用辛普森公式，則得到：記其中式（3.5）就稱為復(fù)化辛普森求積公式。4849與復(fù)化梯形公式相似，當(dāng)時，有從復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式的余項，階數(shù)分別是和，可以看出它們都是收斂的，而且它們的求積系數(shù)均為正數(shù)，根據(jù)定理2，得知，它們的計算都是穩(wěn)定的。50例：計算其中=3.138988494其中=3.141592502運算量基本相同51例：計算積分要求誤差保證有五位有效數(shù)字。若用復(fù)化梯形公式計算，需將積分區(qū)間多少等分?若用復(fù)化辛普森公式計算，又需將積分區(qū)間多少等分?解：52由復(fù)化梯形誤差公式得由復(fù)化辛普森誤差公式得53鑒賞復(fù)化求積法:復(fù)化的梯形法，復(fù)化辛普森法和復(fù)化柯特斯法均收斂到所求的積分值，改善了求積精度，算法簡單。但是計算的工作量主要耗費在函數(shù)求值上，是通過加大計算量來提高精度的，而且收斂緩慢。544.4龍貝格求積公式4.4.1梯形法的遞推法

利用復(fù)化梯形公式求數(shù)值積分，算法簡單，但精度較差，收斂速度慢，同樣在其他復(fù)化求積公式中，如果用大量的子區(qū)間，則該逼近會有很高的精度，但如何預(yù)先確定子區(qū)間的數(shù)目呢？55問題：步長取得太大，則精度難以保證，太小則計算量會太大，且步長一旦取定后，則在計算過程中步長是固定的，現(xiàn)在希望采用變步長的計算方案，即在步長逐次減半的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進行計算，直到相鄰兩次的計算結(jié)果之差的絕對值小于允許誤差為止。這實際上是一種事后估計誤差的方法。56對于復(fù)化梯形公式，將區(qū)間等分為n等分，積分近似值記為，57若精度不夠，則在每個子區(qū)間等分為兩個小區(qū)間，在所得的2n個區(qū)間用復(fù)化梯形公式求出：584.4.2理查德森外推加速法定理4設(shè)，則有其中系數(shù)與無關(guān)。這里59令得到：如此繼續(xù)下去，每加速一次，誤差的量級便提高2階60記，則有經(jīng)過m次加速后，余項便可取下列形式：上述所描述的這種加速法就稱為理查德森外推加速法。614.4.3龍貝格算法復(fù)化梯形公式的余項表達式：假定，則有事后估計法62令容易驗證得到：也就是說，用梯形公式二分前后的兩個積分值與按照公式(4.8)線性組合，其結(jié)果正好是用復(fù)化辛普森公式得到的積分值。63對于復(fù)化辛普森公式，其余項表達式：假定則有容易驗證得到：64龍貝格公式龍貝格公式是一種加速計算積分的方法。在變步長的求積過程中，運用(4.9)、(4.10)、(4.11)式可以將精度低的梯形值逐步加工成精度較高的辛普森值，柯特斯值與龍貝格值。6566繼續(xù)重復(fù)計算，直到計算出(要求的精度)停止計算，就是所要求的積分近似值。67龍貝格求積算法：02341梯形公式68例：用龍貝格求積法計算積分的近似值，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點后第5位。6970717273機械求積公式：代數(shù)精度：通過確定求積節(jié)點和求積系數(shù)，使得求積公式對盡可能多的滿足：74梯形公式：余項：75辛普森公式：n=2余項：牛頓-柯特斯公式：76柯特斯求積公式：n=4余項：77復(fù)化梯形公式：余項：78復(fù)化辛普森公式：余項：79梯形公式的遞推化：80龍貝格求積公式：81龍貝格求積算法：02341梯形公式824.5高斯求積公式形如（1.3）的機械求積公式含有2n+2個待定參數(shù)，當(dāng)為等距節(jié)點時得到的插值型求積公式其代數(shù)精度至少為n次，如果適當(dāng)選取節(jié)點，有可能使求積公式具有2n+1次的代數(shù)精度，這類求積公式稱為高斯求積公式。4.5.1一般理論83研究帶權(quán)積分：這里為權(quán)函數(shù)，為不依賴于的求積系數(shù)，為求積結(jié)點，可適當(dāng)選取及,使（5.1）式具有2n+1次代數(shù)精度。84定義4如果求積公式（5.1）具有2n+1次代數(shù)精度，則稱節(jié)點為高斯點，相應(yīng)公式（5.1）稱為高斯求積公式。若（5.1）是具有2n+1次代數(shù)精度，取，對都精確成立下式85下面討論如何選取節(jié)點才能使求積公式（5.1）具有2n+1次代數(shù)精度設(shè)上的n+1個節(jié)點。

的拉格朗日插值多項式為則有86用乘上式并從到積分，則得其中余項87顯然當(dāng)取為時有，于是有即求積公式（5.1）至少具有n次代數(shù)精度。88正交的定義：若上的權(quán)函數(shù)且滿足則稱與在上帶權(quán)正交。89現(xiàn)在考察如何選取節(jié)點使得求積公式精確度提高到2n+1次，此時就要求對為2n+1次多項式時這就要求，積分相當(dāng)于要求與每個帶權(quán)在上正交。90定理5：插值型求積公式（5.1）的節(jié)點是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式與任何次數(shù)不超過n的多項式帶權(quán)正交，即91高斯求積公式的余項：求積系數(shù)：92定理6：高斯求積公式（5.1）的求積系數(shù)從而說明高斯求積公式是穩(wěn)定的。定理7設(shè)，則高斯求積公式（5.1）是收斂的，即93當(dāng)區(qū)間為，權(quán)函數(shù)時，由正交化得到的多項式稱為勒讓德多項式。勒讓德多項式4.5.2高斯-勒讓德求積公式94在求積公式（5.1）中，若取權(quán)函數(shù)，區(qū)間為則得到公式勒讓德多項式的零點就是求積公式（5.6）的高斯點。形如(5.6)式的高斯公式稱為高斯-勒讓德求積公式95（1）取的零點做節(jié)點構(gòu)造求積公式令它對準(zhǔn)確成立，即可定出。（2）取的兩個零點構(gòu)造求積公式求得，因此求積公式為96類似的求法，我們可以求得三點高斯-勒讓德公式高斯-勒讓德求積公式的余項：97高斯-勒讓德求積公式的求積系數(shù)：4.5.3高斯-切比雪夫求積公式當(dāng)區(qū)間為，權(quán)函數(shù)時，由正交化得到的多項式稱為切比雪夫多項式。切比雪夫多項式若令則98若且取權(quán)函數(shù)則所建立的高斯公式稱為高斯-切比雪夫求積公式。因而上述求積公式的高斯點是n+1次切比雪夫多項式的零點，即99通過計算得到（5.8）式的系數(shù)于是高斯-切比雪夫求積公式寫成高斯-切比雪夫求積公式的余項：利用帶權(quán)的高斯求積公式可用于計算奇異積分。1001011021034.6多重積分考慮二重積分：它是曲面與平面區(qū)域圍成的體積，矩形區(qū)域：104分別將區(qū)間分為等份，步長先對積分應(yīng)用復(fù)合求積公式，例如用復(fù)合辛普森公式105從而得到：對每個積分再分別用復(fù)合辛普森公式，最后求得積分值。1064.7數(shù)值微分

在微分學(xué)中，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是通過導(dǎo)數(shù)定義或求導(dǎo)法則求得的，當(dāng)函數(shù)是表格形式給出時，就不能用上述方法求導(dǎo)數(shù)了，因此有必要研究用數(shù)值方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。下面介紹幾種求數(shù)值微商的方法。1074.7.1中點方法與誤差分析由高等數(shù)學(xué)可知，若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，則有108當(dāng)精度要求不高時，可以使用差商近似代替導(dǎo)數(shù)值：其中h為一增量，稱為步長。稱（7.1）式為中點公式。令109110

上述三種導(dǎo)數(shù)的近似值分別表示弦AB、AC與BC的斜率,比較切線AT(其斜率等于)與三條弦平行的程度,從圖形上可以明顯地看出,弦BC與切線AT的斜率最為接近,因此就精度而言,中點方法最為可取。實際上,從三種方法的截斷誤差也可得出此結(jié)論。111分別將在處泰勒展開112代入中點公式（7.1）中，得其中113

用中點公式計算導(dǎo)數(shù)的近似值，必須選取合適的步長。因為，從中點公式的截斷誤差看，步長越小，計算結(jié)果就越準(zhǔn)確，但從舍入誤差