科研訓練報告姓名：段猛班級：電氣07-1使用廣義KYP綜合性的魯棒PID控制——在多頻率范圍內的直接開環(huán)塑型設計由于PID控制器功能完善，結構簡單，允許簡單的人工跟蹤和調試，它能夠使用許多工程應用。PID控制器的系統(tǒng)設計方法已經被廣泛地研究，包括自動調節(jié)PID參數(shù)，塑像材料和H控制，數(shù)字控制和魯棒控制。最近的發(fā)展和藝術形式將在本文中討論。在包括P(s)和控制器K⑸的單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)塑型設計范例中，開環(huán)傳遞函數(shù)是被塑型以達到根據(jù)在不同頻率范圍內的FDIs的要求。例如，假設P(s)是臨界穩(wěn)定并且K(s)有一系列設計要求，這些要求都在奈氏曲線L(je)中提供。圖中三個顏色區(qū)域表明奈氏曲線必須符合不同頻率內的設計要求。藍色半平面區(qū)域涉及低頻范圍靈敏度降低的要求，并且，綠色小塊區(qū)域是在原點符合或在高頻爐幫穩(wěn)定下的小增益要求。另外，一個臨界穩(wěn)定要求必須滿足中頻范圍，由黃色區(qū)域表示，在經過-1+jO直線的下方。Re0SensitivityReductioninLowFrequencyStabilityMargininMiddleFrequencyRobustnessinHighFrequencyRe0SensitivityReductioninLowFrequencyStabilityMargininMiddleFrequencyRobustnessinHighFrequency圖1這種開環(huán)，由于開環(huán)傳遞函數(shù)和PID增益成線性關系，塑性控制方式在應用于PID控制設計時中時常常導致一個連續(xù)函數(shù)最優(yōu)化問題。這個作為結果的問題，卻是無限大的空間并且是難以解決的。特別的，PID增益被許多不等式約束，被重要的范圍的頻率變化參數(shù)化。為了數(shù)字易于處理，這些在挑選出來的頻率點上的有限的FDIS近似化，或者被一個正常條件下頻率依賴重量的H近似化。g這篇論文展示了一個開環(huán)PID塑性的新方法。它是通過直接解決FDIs在有限和半有限的頻率范圍內。我們的方法允許一個直接的來自多重FDIs細節(jié)的描述，完全避免與頻率網格和頻率重量的的近似關系。這個做為結果的綜合方法是被當做一個有限的連續(xù)函數(shù)最優(yōu)化問題（用LMIs描述），對那些商業(yè)軟件是可行的。在這種條件下，F(xiàn)DI描述的可行性能夠被檢測到。并且，如果LMI條件不能被滿足，那么就沒有滿足，那么就沒有PID控制器能符合描述。因此，我們的方法允許設計者使用控制器去限制范例中的期望表現(xiàn)。設計方法下的關鍵技術結果是使在有限或者半有限的頻率條件下的FDI轉化為LMI的廣義GKYP.GKYP定理是標準KYP的延伸，在整個頻率范圍內都要被考慮。我們首先無根據(jù)地總結GKYP結果。這個結論包括一些新的問題。首先，增加了FDI/LMI在連續(xù)時間（虛軸）和離散時間（單位圓）設置下的轉化方程。這個在&域的方程已經給出。通過z平面設計數(shù)字控制器有一些優(yōu)點，例如，連續(xù)時間環(huán)境和數(shù)字條件。第二，GKYP定理被擴展來提供FID在參數(shù)不確定下的魯棒特性。根據(jù)線性分式方式的參數(shù)的李雅普諾夫函數(shù)來為一組FDIs獲得一個重要的LMI。一些數(shù)字的例子用來說明設計程序與主導&平面和魯棒開環(huán)塑型，都是為了設計PID控制器。我們使用以下的概念。對于一個埃爾米特矩陣，M>0,M>0,M<0,M<0表示正確定性，半正確定性，負定性，半負定性。復雜矩陣M的實部和虛部分別表示R（M）和L（M）.復雜矩陣M的轉置矩陣和伴隨矩陣分別用Mt和M*表示。符號Hn表示一個n*n的矩陣。矩陣e和p的張量積用①@p表示。廣義KYP定理動機對于一個線性時不變系統(tǒng)，許多分析問題可以由FDI計算核實。G0w）M[~IG0w）<0.forall血匸展，（1）這里n是一個實部對稱矩陣并且匚■=■■■■■-■■「：一「是一個矩陣值，實際合理的傳遞函數(shù)。檢驗方程（1）的一種方法是將坐標網格化并檢測'-1 .-.-ir是否適合所有的采樣頻率點匕，網格化的困難在于FDI允許在點之間不滿足。kKYP定理消除了（1）式中的頻率變量3,并使一個叫做乘法器的附加變量代替3。特別的，KYP定理規(guī)定（1）式中只有一個對稱矩陣P（乘法器）滿足PA^rpTP們+§Tn[CD]<0（）假設A在虛軸上沒有特征值。因此，在（1）式中檢測FDI的分析問題轉化為尋找一個滿足（2）式的LMI的乘法器P。LMIs是數(shù)字的，易于處理的并且能被有效解決的。因此，若是找到一個解決LMIs的方法，也就解決了FDI。不幸的是，有一個基礎限制阻止KYP直接應用到實際設計中。盡管設計細節(jié)給出一組包含多個頻率范圍的FDI，特別的，一個典型的細節(jié)能被從下式收集的FDIs所代表：u：：：「口匚：：：丨?J.rvJill::二A(3)其中，AujR是一組在興趣范圍內的頻率變量。標準的KYP定理，我們可以通過嚴格的頻率范圍將FDI轉化為LMI.統(tǒng)一表示這個部分，我們概括GKYP結果。一個頻率范圍可以看成連續(xù)時間下虛軸上的時間間隔。相似的，在非連續(xù)時間環(huán)境下單位圓上的一個圓弧是一個范圍。在每一種情況下，頻率范圍是在復雜軸上的一個曲線。以此為目的，在(3)式中設置的A被下面一個二次等式和不等式描述：其中①和屮uH對于一些技術因素，我們假設suA,如果A是無限的。z我們現(xiàn)在呈現(xiàn)一個統(tǒng)一的GKYP定理的形式，建立FDI和LMIs之間的等式，這個結果【15】中給出的特殊情況。定理1讓 ，定義如下合理的函數(shù)：G(入)：=— —aF)+D, (5)其中， 和 。并且因此F=0和D=0被假設并沒有使由(5)式得到的合理函數(shù)變窄。然而，這些冗余能夠幫助獲得一個更小的維數(shù)(A的大小)，導致更少的維數(shù)的LMIs以至于更少的變量。例如，匚"「二「能夠在當A=C=F=1和B=D=E=O下實部化，維數(shù)為1.反之，如果F強迫為0,那么表明維數(shù)為2或者更高。在平【15】中有一個適應多項式矩陣的GKYP的理想版本。接下來的結果，是定理1的雙重版本，比定理1更適應綜合控制。定理2使口wH并且'?山-H二，這樣g是一個有理函數(shù)。mG(X.):=(C—XF)(A.E—A廠'E+D. (7)這里九EeCWEFe皆匕C匸C^n.和DwC嚴用。假設賦"二一."=「， A4.山■E是非奇異的或者是無限的。那么參數(shù)化得不等式條件G(A)nG(z)*<0,forallXg2) (8)有且只有&叮匸日?滿足Q>0,HZH^<0.Z:=diag（<^' ?Q,0）這里定義H為H—AEB—|_CFD復雜平面中的曲線集合A（①,屮）是一條曲線，或者在復雜平面中的一組曲線.我們討論的三個等級對動態(tài)系統(tǒng)分析很重要?特被強調，A（①,屮）是虛軸，單位圓或者（-r+jO）為圓心，r為半徑的圓的一個子集合。第一等級定義在連續(xù)時間（s變換）的頻率范圍內），同樣定義二三等級為不連續(xù)時間z和5變換環(huán)境下。連續(xù)時間和環(huán)境下的頻率范圍Itable1Frequencyrangesinthecontinuous-timesetting.Thesechoicesot①leadtosixdifferentfrequencyrangesinthes-domain（s：=j（d）forcontinuous-timesystems,whereufO：=（珂〕+^2）/2.Low-andmiddle-frequencyrangesarecapturedbytheupperleft（屈三珂）andthelowerright（^^*><^2）entries,respectively,withpositiveny,,and血Ahigli-frequsncyrangecanbecapturedbyeitherthelowerleft（ar<\ay\）orthelowermiddle（珂entrywith珂a0.珂I>HGET>3tu<CET1orw>珂25「-10_0-J~-J^o0ro-2J2eet\_J^Q7W2住 I珂l<HGET<3毋1蘭3蘭EET25「101■0JI「"IJ珂00—tET2J一2q L—JEETq_EET-|EiT2k表1

Frequencyrangesinthediscrete-time（^transform）setting.Thesechoicesot①leadtosixdifferentfrequencyrangesinthez-domain（z：=e^）fordiscrete-timesystems,where&o：= +^）/2and%：=他-苗）/2-Low-andmiddle-frequencyrangesarecapturedbytheupperleft（回<抄）andthelowerright（內<o<entries,respectively,withpositive^,叭：andAhigh-frequencyrangecanbecapturedbyeitherthelowerleft（o<\9\}orthelowermiddle?<&）entrywithi?>0.0屮1*1王聞01■1-2cos^「 0 —眉僭'[2sin（!>/2）J<E?!Or0>_o _護_一&-朋 陶0屮l^l<W_0-1_-1ro 國呼 '-2sin（^/2）沽冬P冬旳■0 e^° ■e~jS°-2cds^表2虛軸上的各種子集能夠用下式表示：其中。二■?是屮指定的頻率范圍。表1概括了屮的選擇，屮導致當一一-w?是最終給定數(shù)字和—：=?———…一時的特殊頻率范圍。例如，在低頻范圍|:日y山且W>0時，復雜數(shù)入的集合如下：此時，等式強制入在虛軸上，同時，不等式強制::\低頻和中頻范圍在表1中左上和右下的兩個部分。分別的，跟隨正參數(shù) 和 。另一方面，在高頻范圍在表中的坐下和中部下面，使 。剩下的部分不能直接地用作控制設計，但被用來補充完整。非連續(xù)時間環(huán)境（z變化）下的頻率范圍。單位圓上的圓弧被下面代替：其中，（-）二〔是屮指定的。表2概括屮的選擇導致指定的頻率范圍閂，其中-.， 并且'：='_ -O集合閂以表中第1列和第3列為特征，另有一個附加條件：:0

在離散時間和(5環(huán)境下的頻率范圍<5變換是z變換的特殊形式，被用作數(shù)字控制綜合。不同于標準的z變換量二=變量 符合拉普拉斯變換-:=-，當采樣時間T接近于0,-=并不是這樣。在5變換下的收斂性質將離散時間和連續(xù)時間頻率區(qū)域設計細節(jié)結合起來，從而保持了他們的物理性質。給出5變量在頻率范圍下的e集合：人(申齊曲)=：一1：血匚w],4>fi：= 11其中W匚展由e決定。它可以被看做A(^.O)是以(-i+j0為圓心，1/7■為半徑的圓，并且人"山代表圓上的一段弧。表3概括了不同頻率范圍e下的幾個龍選擇，其中滿足—丁? _一一?h丁「丁?一并且洪可丁—15:=sin(ELrT),匚：=cos(ftrT),&:= (:=1,2).。一般情況,集合W在表中每一個入□，附加條件。一般情況,_ -■包括另外兩種情況?？杀蛔C實，①和龍可以在T接近于0時重新獲得。Frequencyrangesinthediscrete-time(^-transform)setting.Thesechoicesof4/leadtosixdifferentfrequencyFrequencyrangesinthediscrete-time(^-transform)setting.Thesechoicesof4/leadtosixdifferentfrequencyrangesinthe^-domain(s：=(少"-1)/T)fordiscrete-timesystems,wheres：=sin(niT),c：=cos(gtT),and8/:= 1)/T(i=1,2).10Tsrs10Tsrs2s(1-C)EET2_0 &—右5*-3*S*SA-M*CtT-l<at<珂2-10TsTs-10TsTs2s(1-c}/ 0 $2—冊"2—"1"；—^2—(s-j(c+1))T4S1urT(s-j(c+1))T4S1urTtt)T(S+丿(C+1))7°T\(urT+n)TL(S+j(C+1)}TST<(s-j(c+n)T4S表3對于綜合體的LMI方程我們現(xiàn)在運用GKYP定理進行控制系統(tǒng)設計。設計難題是我們找到一系列控制參數(shù)，由根據(jù)多個FDI所表達的設計細節(jié)所決定。Gt⑴rLG⑴*<0, forall入?yún)[擔琢収) ⑼適用于所用的k=1,……l其中所有的K仏〕被設計。在附加假設條件下我們沒有保守

而去減少了問題，使之成為LMIs。為了簡潔，我們考慮i=1的情況（只有一個FDI描述）并且去掉。（8）式中的下表k移動到（8）中。多個細節(jié)通過解決由FDIs產生的LMIs被控制。對于控制綜合體，我們考慮（8）式。TOC\o"1-5"\h\zG（A）=［L（A）如］:L（a）:=CL（U-AL）~iBL+DLl （10）其中是一個 的轉換函數(shù)。我們分割權矩陣 為口=［證器［M已⑴）為了問題的易處理，我們有以下假設：假設1.a） 仿射根據(jù)設計參數(shù)向量 。b） 門二在假設（a）下，我們使用概念 來明確地指出 對P的依賴。 狀態(tài)空間的實現(xiàn)能夠如此被選擇，當Al和Cl獨立于時和 為仿射函數(shù)。假設（b）保證集合L滿足（8）是凸面的。特別的，當q=p=1時，設計細節(jié)（8）定義一個凸面區(qū)域在復雜平面上，此時是希望展現(xiàn)的。在這些假設下，參數(shù)P可行的區(qū)域由（8）和（10）指派的是凸面的。矩陣n可以被定義為期望的頻率響應性質，例如，正實部- ■-或者小增益條件m?'。這些性質被下式同時表達出來：也⑴】］［匕7］［呼］Y0,［Hl［:—L『貰對于但輸入但輸出系統(tǒng)，在由 描述的頻率范圍內每一個條件能被解釋為奈奎斯特曲線 上一部分的性質，位于由n描述的復雜平面內。特別的，這個區(qū)域是正實部的右半平面和小增益條件下以原點為圓心半徑為r的圓的內部。一般的說，由收集的點x+必匚所定義的平面，例如^+^+c<0由下式表達[Lfl0a—[Lfl0a—jba—jb 2cL*=2(a￡ft(L)+E*(L)+c)<0:并以c為圓點，r為半徑的圓的內部，如下式[L111 -c*[L111 -c*-c\c\2—r2L*=|L-c|2-r3<0通過 和n的適當選擇，F(xiàn)DI能夠得在復雜平面上得到一個更大的區(qū)域等級，包括任意的橢圓和拋物線。一般的，多重FDI框架得到了復雜平面上的凸面區(qū)域。至少近似于平面與圓的交集。然而，附加的FDI要為整體提供更所的計算。因此，可用區(qū)域的形狀問題可以通過增加計算來完善。整體問題通過定理2將難度降到LMIs，補充如下。通過 和n的適當選擇，F(xiàn)DI能夠得在復雜平面上得到一個更大的區(qū)域等級，包括任意的橢圓和拋物線。一般的，多重FDI框架得到了復雜平面上的凸面區(qū)域。至少近似于平面與圓的交集。然而，附加的FDI要為整體提供更所的計算。因此，可用區(qū)域的形狀問題可以通過增加計算來完善。整體問題通過定理2將難度降到LMIs，補充如下。命題1假設1成立并且使 ，那么FDI[L(k;/>) /]n[L(k;p)I]*<0,forall存在唯一的共軛矩陣P和Q使W(EQ)-V(p)T(p)r(p)+-R<0T(13)其中Q)=y(對:=Tip)：=Cl口;2屍(》)* D[(?)口12+n}2DL(p)*—口22」「Bdp)口口= rankR=rankIIil.我們現(xiàn)在應用命題1到開環(huán)傳遞函數(shù)塑型?？紤]到 和控制器 的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)的實現(xiàn)。用入代替s、z和&，給出式其中p和y表示P的輸入和輸出。e：=r-y是參數(shù)命令r的錯誤信號。我們假設控制傳遞函數(shù) 依靠設計參數(shù)p，和 的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)已經被選擇如 何是p的仿射函數(shù)。這個假設的意義在于 的極點被修復，零點通過p的選擇設計。例如，考慮到PID控制器K(s)f+號十占詁 (16)其中，Td>0是一個小的時間常數(shù)，用來通過一個合適的傳遞函數(shù)，接近于微分器，為了修復Td>0，設計參數(shù) 在K(s)的分子中。實際上，K(s)的標準可觀形式和15)的形式一樣。同時

將(14)和(15)結合起來，一個開環(huán)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間表達式 ：=:'zZ小表示為-A0-A0AXpBQBpD認0)-y--DpGDp?3)XP(17)現(xiàn)在肯定(10)式中的L有(17)式中的狀態(tài)空間表達式:二二；-。明顯的，Bl和DI,依賴于P,滿足假設1a,所以，如果 ，那么整體問題是凸面的，而且根據(jù)LMIs計算。通過框架描述的開環(huán)塑型可以得到閉環(huán)傳遞函數(shù)的細節(jié)。特別的，我們考慮高頻下補充靈敏度函數(shù)-=-1- 中小增益條件「門。這樣被描述為注意 是非負的，并且 。是在實際中出現(xiàn)的情況。另一方面，在低頻下的靈敏度；=-1：；不能劃成我們的框架，因為=1 1- 是和下式等價的：低靈敏度要求對低增益的L是必須的，L的可行區(qū)域是圓的外部，它不是連續(xù)的。因此命題1不是直接的應用到細節(jié)上的，指明了接近方法的限制。然而，一個L的高增益要求必須考慮將一個半平面看成二選一的可行區(qū)域，這將在下面解釋。使用GYKP定理的開環(huán)塑型為了說明，我們將設計中開環(huán)塑型的難題降低到LMI問題。我們考慮單輸入單輸出系統(tǒng)三個頻率條件下的三種細節(jié)。傳遞函數(shù)L(s)。在圖1中介紹的。在低頻范圍下的細節(jié)殺死靈敏度降低。表達式如下

(7円[LC/如]一(?€S[L0w)]<畑forall血□三加冬Q⑵(1S)中頻段臨界穩(wěn)定am^[L（j（^）]+bm^[L（jd>）]<￥時forall?三叫仃9）高頻段的魯棒效應(20)㈤<刃蛇?來描述，我們選擇?三血州作為說\Uj^)\<(20)㈤<刃蛇?來描述，我們選擇?三血州作為說盡管臨界條件下的中頻段可以用明的目的。為了簡潔，我們考慮 和〉=I的情況。從（18）和（19）中看出，較小的和給出更好的靈敏度較低和臨界穩(wěn)定。例如，（19）說明，增益臨界至少：■這時r>0.因為（19）式描述的平面的邊界 穿過了負實軸。更小的帶來了高頻段更好的魯棒效應。式（18）-（20）在低、中、高頻段的描述可用下式表示[L(x)l]n([L(X)ir<o,foralla[L(x)l]n([L(X)ir<o,forallaeA佝,Wnm班+jbtori葉-i—J^to陽r+J虬orio‘J^to—EtFf1EtTf2一2殊0一』10_2弧0■—y「1ro，其中-■■■ -■■■■■宀：:同時,相應的在（13）式中的LMI條件如下式給出「血inr-Qt r十」nvuQf]G0」L円-丿^toQt「血inr-Qt r十」nvuQf]G0」L円-丿^toQt"叱Qe」|_

0血十丿如R十」^loQl|| 1CL0(at-2utDi.(p}-2yt<0,[5亞卩Q”（%十丿如血@）T卩“十jQm 円￡一2田應尺（%-」瞎網（P）2nmDL（P）~2ym<0.(22)cS][][cJQh幾Fh一屏Qi【庇Dl3)T]0-YkBl(p)1Dl(p)J-1<o.(23)設計的難題是找到參數(shù)P，不確定的Pi和確定的Qi來滿足LMIs。為了優(yōu)化其中一個設計細節(jié)，我們選擇 和作為目標函數(shù)?因為和出現(xiàn)在上述的矩陣不等式中，優(yōu)化難題是一個LMI難題?我們使用非負重量使 和得結合問題優(yōu)化.因為（23）中所有的參數(shù)是實數(shù)，變量Pn和Qn可被嚴格的限制在實數(shù)對稱矩陣。（21）式和（22）中的一些參數(shù)是復雜的。因此，變量 和必須從復雜矩陣聚合中找出。然而，一些LMI的解決。例如，MATLAB中的LMICONTROLToolbox只能用是參數(shù)或實變量控制LMIs，這是通過以下等式。其中X和Y都是實數(shù)方陣，代表了復雜LMI的實部和虛部。如果頻率集合A-「'」■：和L的可行區(qū)域或全部都關于實軸對稱，那么直接從GKYP中得到的LMI有實參數(shù)。PID控制整體

圖2我們通過一個三面扭轉系統(tǒng)的PID數(shù)字控制來介紹GKYP總體。這個設備是由三個面組成每個面由固定在低摩擦的滾珠軸承上的易彎曲的桿上。每個桿用剛性帶和滑輪系統(tǒng)連接到無刷伺服電動機上來驅動。每個桿的底端連接一個譯碼器用來測量底面的角位移，即最靠近電機的面。因此，控制輸入u(t)和測量輸出y(t)是底面的扭轉和角位移。一個不確定的模型已經給出：4403(^+0.748s—540)(?+0.7493s—3668)⑸=s(s+2^2)(^+2.366s-1277XS3+1.188s-4099)'(24)這個系統(tǒng)有兩個輕微衰減靈活模式，分別是3=36是64rad/s和3=23時的61rad/s.連續(xù)時間的PID控制整體這里的目標是Td=0.001來設計一個連續(xù)時間的PID控制器，這里通過最下滑r，然而r1受制于開環(huán)傳遞函數(shù) 的設計細節(jié)，細節(jié)如下：+S[LQoj)]</i，—2JR[L(ja*)]+S[LQoj)]</i，—2JR[L(ja*)]+S[L(jw)J<1,IWjfij)!<0.2tforallforallforall1<w<5,it?>|⑹>150.(25)最小化r1意味著在低頻段---孑將靈敏度降低最大化(因為最優(yōu)值r1是負的)。第二個不等式要求臨界增益至少6dB，第三區(qū)域參考高頻下有魯棒特性要求。它證明最優(yōu)化控制有PD結構，因為平面有積分器。為了保證重要的干擾衰減，我們增加了另一個限制， 。最終，我們得到這樣一個控制器K(s)=0.4489+—-葺驚,s1—0.001sr1的最優(yōu)化值為-4.540.盡管控制器（26）能夠符合所有的細節(jié)。奈奎斯特曲線繪制描繪了兩個大圓，兩個大圓的頻率范圍包括兩個容易實現(xiàn)的平面模式，在圖（2）a中紅色曲線表示。為了減少可行模式的振蕩，我們考慮一個額外的細節(jié)來減少圓的尺寸。特別的，我們增加了限制—r|<X2，forall30<w<150.其中c=1.5-0.5j，當r1=-3時最小化r2.注意，r2是奈奎斯特曲線下圓盤的半徑，曲線要求符合給定的頻率范圍。完成這些細節(jié)的話，PID最優(yōu)控制器如下：” 門“” 00391s “{s）=■+V+1+0.001s' ■）在圖2b中的奈奎斯特曲線中展示的圖更小了，想期望的一樣。離散化下的數(shù)字控制器我們現(xiàn)在數(shù)字控制器PID是通過將連續(xù)時間PID控制器離散化。我們首先按照式（25）設計一個連續(xù)控制器，這時第三個限制被放寬至：\L（<0.25,forall|o）|>ISO.最優(yōu)化控制器變?yōu)椋篕c(s)Kc(s)=0.4207-空衛(wèi)+0.0760s1-0.001s(28)PID數(shù)字控制器 是通過將 離散化得到的，使用的是突斯汀轉換，即「二一丨二一丨|丨，采樣時間為T=0.01,0.02和0.03.圖3a展示了數(shù)字反饋系統(tǒng)的階躍響應變差。特別的，T=0.003時的響應是振蕩和設計是不穩(wěn)定的。我們需要改變設計細節(jié)來符合采樣時間的改變去避免大采樣時間下不理想的振蕩。然而，這讓系統(tǒng)結構適應設計細節(jié)很難實現(xiàn)。我們使用基于5變換的GKYP定理的方法來代替。離散時間控制器整體我們直接地使用5變換的GKYP定理將5趨于開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線塑型來設計數(shù)字PID控制器。開環(huán)傳遞函數(shù)由■■<=■■■ -'給出，其中表示5區(qū)域下零階保持等價的不連續(xù)平面， 是被設計的PID控制器。盡管 和是不一樣的函數(shù)，我們使用相同的符號Kd。5域下的PID控制器由（29）式給出forallforallforallforallforall1< <5,w>5,kl>150,我們的目標是得到一個數(shù)字PID控制器，能夠最優(yōu)化低頻時的靈敏度降低等級，同時保持高頻時的臨界穩(wěn)定和魯棒效應，整體進程和連續(xù)時間情況下相同。我們最優(yōu)化r來服從細:H［G（3）］—$［□（§）］<y,—23t［R。）］十空［口⑹］芟1*節(jié)其中* -I1丁。因為這些設計細節(jié)的形式和連續(xù)時間相似，當采用時間T趨于零時最終控制器集中于連續(xù)時間控制器。圖3（b）中，大幅度振蕩不在階躍響應中展示，甚至T=0.03和0.03,并且，這對于T=0.04也是有效的。在這種情況下離散控制器致使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。這些減少的振蕩響應是由將在離散化采樣時間的低頻段靈敏度降低最優(yōu)化得到的。當T變大時，階躍響應變慢，表明了控制器最長時間設計離散化的優(yōu)點。這個比較還說明了GKYP對于長時間采樣周期的數(shù)字PID控制器的效果。ContinuousT^D.017^0.02丁=SQ3圖3魯棒效應的考慮魯棒GKYP分析與綜合在許多應用中，定理2的有理函數(shù)是不能被完全了解的，但是包含了一個不確定的展開給定集合￡二的參數(shù)向量。我們的目標是證實（8）式是否合適所有可能的參數(shù)變量。這個問題將在下面討論。觀察定理2,這個問題可以對所有的 進行檢測，如果存在和那么TOC\o"1-5"\h\zQa>0, <0,石：=Hi昭（①T因碼+0T? 口）， （30）其中是由定理2定義的矩陣，現(xiàn)在由參數(shù)：O決定。我們考慮每一個的情況都是O的有理函數(shù)。我們假設結構玖=2評鳩、Q。*沁 （31）其中 是一個給定的O的有理矩陣，此時P和Q使和O無關的。在式（30）中，P和Qaa不必須是有理的，因此，P和Q的嚴格要求能夠會引出討論。aa式（30）可以這樣寫忠空沁 <0, （32）S:=diag（<t?T因P+山丁岡Q,仃），Ma：=H口diagGV^, . （33）

讓M和N代替M和N即ijijZo=Ain+(Af^2— (o))(2Vfj3可(o1)—M22)—,A'tj=Nm+(N12—N］3A(cr))(N23△Q)—N22 1 (34)其中和是O的任何矩陣值參數(shù)，那么，使用【20】中的定理10,我們有以下結論。定理3考慮式(30)中的不等式，其中 是向量O的一個矩陣值有理函數(shù)，O的值由集合r--給出。讓有理矩陣給出并在(33)中定義。讓和為一些修正的系數(shù)TOC\o"1-5"\h\z矩陣M和N和一些矩陣值函數(shù) 和，那么，存在式(31)的有理矩陣 和ij ij滿足式(30),這時"￡E,且存在唯一的矩陣P、Q、X、Y如下式MXM*<0,NYN*>0,[vij^[v>o,[A1]>[Aly<0,X:=diag(4>TMXM*<0,NYN*>0,[vij^[v>o,[A1]>[Aly<0,(35)Y:=diag(QJh (36)forallVcV. (37)forallAgA, (38)其中M和N是由和 給出的常規(guī)矩陣，和由下式定義:A:=(A(a):agE|hV:={V(cr):agE).當不確定的集合$是實數(shù)并且由變化超過給定間隔的獨立參數(shù)組成集合$能夠標準化成向量集合，每一個的量級都小于或等于另一個?不確定矩陣是一個典型的，重復的對角線矩陣，即」==「；：????■■■■，其中每一個的量級都被標準化至小于或等于另一個?這種情況下，式(38)中限制能夠強制一個確定的結構體滿足y或考慮頂點條件?例如,衡量(21)中的(D,G),(38)中的限制可以被下式替換：y=M二、D=n*>0,G+G*=o.其中D和G有一個結構體能夠和交換.限制(38)能夠被頂點條件限制：并且 ?其中是的頂點,m是至高點的數(shù)字， 是矩陣的左上部分.這些頂點結果和它們的擴展都以LFT檢測［22］和二次分離器［22］［23］,全平頭乘法器［24］,積分二次限制［25］被介紹.到現(xiàn)在為止,我們展示了一個魯棒FDI條件被簡化至LMIs在一定概念程度上?為了計算,

我們考慮和△線性關系的情況。給出 實現(xiàn)的方程。在這種情況下，它也許能合理找到和。通過一個線性基點方程，因此考慮比=比=珂—H也 A；=M+MAA?(39)它能被證實式（34）中和 被實現(xiàn)，下式給出HiHZHiHZH3N1LasNff:=di輻(ACNNff:=di輻(ACN小I),0「0,Ng:=_00-V:=diag(A,A,A),屜00M0'(40)(4