1§7.5采樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)的性能分析一、穩(wěn)定性從s平面到z

平面的映射由z變換定義式知

z=eTs

取

s=+j

，則

z=e(+j)T=eT

·ejT=|z|ej其中

|z|=eT

=T則s平面上的①虛軸=0、s=j，在z平面上對應(yīng)為

|z|=eT＝e0T

=1，=Tz=

1·ejT這是模等于1的單位圓。2②位于s左半平面的點<0，則|z|=eT

<1，對應(yīng)于z平面上單位圓之內(nèi)；③s右半平面的點>0，對應(yīng)于z平面的單位圓之外。二、Z域穩(wěn)定條件及穩(wěn)定判據(jù)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是：系統(tǒng)所有特征根必須位于z平面的單位圓之內(nèi)。只要有一個在單位圓外，系統(tǒng)便不穩(wěn)定；在單位圓上，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。s與z平面映射3三、z平面到w平面的映射及勞斯判據(jù)設(shè)z平面與w平面的關(guān)系為：則其中z、w均為復(fù)變量，如寫作

z=x+jyw=u+jv代入得：w平面的實部為4w平面的①虛軸對應(yīng)于u＝0，則有：

x2+y2=1②若極點在z平面的單位圓內(nèi)，則有x2+y2<1，對應(yīng)于w平面中的u<0，即虛軸以左；③若x2+y2>1，則為z平面的單位圓外，對應(yīng)于w平面的u>0，即虛軸以右。z平面與w平面W變換雙線性變換5z平面與w平面W變換雙線性變換利用上述變換，可將特征方程D(z)=0轉(zhuǎn)換為D(w)=0，然后就可應(yīng)用連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。其步驟是：(1)求出采樣系統(tǒng)的特征方程D(z)=0；(2)進(jìn)行w變換，整理后得D(w)=0；(3)應(yīng)用勞斯判據(jù)判別采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。6例設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的特征方程為試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：將代入特征方程，得7化簡后得列出勞斯表w3120w22400w1-180w040顯然，系統(tǒng)不穩(wěn)定。實際上，特征方程的根為8例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣周期T=0.1秒。試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。解：因則代入T=0.1秒、e-1=0.368，得：單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)RC-9其特征方程D(z)=1+G(z)=0即：z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0將代入上式并化簡，得

0.632Kw2+1.264w+(2.736-0.632K)=0故穩(wěn)定條件為各項系數(shù)大于零：

K>0，2.736-0.632K>0則

0<K<4.32

考慮到采樣信號未經(jīng)保持器而直接送入連續(xù)式對象，故增益的條件應(yīng)為0<K/<4.32，為脈沖的寬度。注意：有了w域的特征式D(w)，凡是適于連續(xù)系統(tǒng)的判據(jù)，原則上均可用來判別采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。10四、穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。則系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)：假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，代入終值定理式得穩(wěn)態(tài)誤差rcG

(s)-e*ec*111.單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)r(t)=1(t)時，代入穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式得定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)則當(dāng)G(z)中有一個以上的z=1極點，必然

即單位反饋系統(tǒng)，在階躍輸入下的無差條件是G(z)中至少有一個z=1的極點。122.單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差此時，r(t)=t·1(t)，則代入穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式得定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)則當(dāng)G(z)中有兩個以上的z=1極點，必然

即單位反饋系統(tǒng)，在斜坡輸入下的無差條件是G(z)中至少有兩個z=1的極點。133.單位等加速度信號輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差此時，r(t)=t2·1(t)，則代入穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式得定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)則當(dāng)G(z)中有三個以上的z=1極點，必然

即單位反饋系統(tǒng)，在等加速度信號輸入下的無差條件是G(z)中至少有三個z=1的極點。14把脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點數(shù)=0,1,2,…的系統(tǒng)，稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型采樣系統(tǒng)等等。

單位反饋系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如表所示。系統(tǒng)型別r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=(1/2)t20型1/(1+Kp)Ⅰ型0T/KvⅡ型00T2/KaⅢ型000例采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣周期T=0.2s，輸入信號r(t)=1+t+(1/2)

t2，試計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。(1)求G(z)：因為有零階保持器，故解：計算分三步進(jìn)行：查變換表7-1得

將采樣周期T=0.2代入上式，并化簡得(2)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性：系統(tǒng)的特征方程解方程得

z1,2均在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。

(3)求穩(wěn)態(tài)誤差：

靜態(tài)位置誤差系數(shù)

靜態(tài)速度誤差系數(shù)

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

由表7.3，在r(t)=1+t+(1/2)t2作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

19五、閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)輸入信號r(t)=1(t)，有假定Φ(z)無重極點，則對上式進(jìn)行部分分式展開后為對上式作Z反變換得式中第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為瞬態(tài)分量，其中cipik是收斂還是發(fā)散、振蕩，完全取決于極點pi在z平面上的分布。(2)若pi=1，閉環(huán)極點位于右半z平面上的單位圓上，其動態(tài)響應(yīng)是等幅脈沖序列。

(3)若pi

>1

，閉環(huán)極點位于z平面上的單位圓外的正實軸上，其動態(tài)響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律發(fā)散的脈沖序列。

(1)若0<pi<1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓內(nèi)的正實軸上，其動態(tài)響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律收斂的脈沖序列，且pi越靠近原點衰減越快。1．正實軸上的實數(shù)極點

設(shè)pi為正實數(shù)。pi

對應(yīng)的瞬態(tài)分量為(2)若pi=-1，閉環(huán)極點位于左半z平面上的單位圓上，其動態(tài)響應(yīng)是正、負(fù)交替變號的等幅脈沖序列。

(3)若pi

<-1

，閉環(huán)極點位于z平面上的單位圓外的正實軸上，其動態(tài)響應(yīng)是正、負(fù)交替變號的發(fā)散脈沖序列。

2．負(fù)實軸上的實數(shù)極點

(1)若-1<pi<0，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓內(nèi)的負(fù)實軸上，其動態(tài)響應(yīng)是正、負(fù)交替變號的衰減振蕩脈沖序列，且離原點越近，衰減越快。

若閉環(huán)實數(shù)極點位于右半z平面，則輸出動態(tài)響應(yīng)形式為單向正脈沖序列。實極點位于單位圓內(nèi)，脈沖序列收斂，且實數(shù)極點越接近原點，收斂越快；實極點位于單位圓上，脈沖序列等幅變化；實極點位于單位圓外，脈沖序列發(fā)散。若閉環(huán)實數(shù)極點位于左半z平面，則輸出動態(tài)響應(yīng)形式為雙向交替正脈沖序列。實極點位于單位圓內(nèi)，雙向脈沖序列收斂，且實數(shù)極點越接近原點，收斂越快；實極點位于單位圓上，雙向脈沖序列等幅變化；實極點位于單位圓外，雙向脈沖序列發(fā)散。設(shè)pi為共軛復(fù)根，其成對出現(xiàn)有pi,pi+1或pi,pi+1=|pi|e±jk，對應(yīng)的瞬態(tài)分量為由于(z)的系數(shù)均為正數(shù)，所以ci,ci+1也必為共軛，即3．z平面上的閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點

則：所以，共軛極點所對應(yīng)的瞬態(tài)分量是以余弦規(guī)律振蕩。振蕩角頻率與共軛極點的幅角i有關(guān)，i越大，振蕩角頻率越高。(1)若|pi|<1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓內(nèi)，其對應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)是振蕩收斂的脈沖序列，且|pi|越小，即復(fù)數(shù)極點越靠近原點，振蕩收斂得越快。

(2)若|pi|=1

，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓上，其動態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩的脈沖序列。

(3)若|pi|>1

，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓外，其動態(tài)響應(yīng)是振蕩發(fā)散的脈沖序列。

六、采樣系統(tǒng)的時域響應(yīng)

如果已知系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)及典型輸入信號的Z變換，可以求出輸出信號的Z變換C(z)，然后經(jīng)Z反變換求出輸出信號的脈沖序列c*(t)。它表示采樣系統(tǒng)在典型輸入作用下的時域響應(yīng)過程，從而分析采樣系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

例已知采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為輸入信號r(t)=1(t)，采樣周期T=1s。試分析該系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

解：r(t)=1(t)的Z變換為

通過綜合除法，將C(z)展成無窮冪級數(shù)形式

從而系統(tǒng)輸出的Z變換為

由Z變換的定義式，可求出輸出信號c*(t)在各采樣時刻的值c(kT)(k=0,1,2,…)為

c(0)=0c(T)=0.368c(2T)=1c(3T)=1.4c(4T)=1.4c(5T)=1.147c(6T)=0.895c(7T)=0.802c(8T)=0.868c(9T)=0.993c(10T)=1.077c(11T)=1.081c(12T)=1.032c(13T)=0.981c(14T)=0.961c(15T)=0.973c(16T)=0.997c(17T)=1.015c(18T)=1.017……根據(jù)上述數(shù)值c(kT)，可以繪出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c*(t)，如圖所示。從圖中求得超調(diào)量%=40%，調(diào)節(jié)時間ts=12s(以誤差小于5％計算)。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)脈沖序列5-4（c）5-4（d）5-4（e）5-5（1）在

的范圍內(nèi)，對-π有一次穿越，而系統(tǒng)的P=0，即：