嚴(yán)格依據(jù)大綱編寫：筆記目錄第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限[復(fù)習(xí)考試要求]1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性[復(fù)習(xí)考試要求]1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分[復(fù)習(xí)考試要求]1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。2.會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[復(fù)習(xí)考試要求]1.熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。3.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。4.會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。5.會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分[復(fù)習(xí)考試要求]1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2.熟練掌握不定積分的基本公式。3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用[復(fù)習(xí)考試要求]1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2.掌握定積分的基本性質(zhì)3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6.理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。7.掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)[復(fù)習(xí)考試要求]1.了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3.理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4.掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5.會(huì)求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。6.會(huì)用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。第五章概率論初步[復(fù)習(xí)考試要求]1.了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2.掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5.會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。6.了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7.理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8.會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限[復(fù)習(xí)考試要求]1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取[主要知識(shí)內(nèi)容]（一）數(shù)列的極限1.數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個(gè)數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作{xn}，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差數(shù)列）（2）（等比數(shù)列）（3）（遞增數(shù)列）（4）1，0，1，0，…，…（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為（2n-1）,。對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，都有一個(gè)xn與之對(duì)應(yīng)，所以說數(shù)列{xn}可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3…一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列{xn}可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,x2,x3,...xn,…。2.數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作比如：無限的趨向0，無限的趨向1否則，對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn不是無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱數(shù)列{xn}沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1，3，5，…，（2n-1），…1，0，1，0，…數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列{xn}以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，點(diǎn)xn可以無限靠近點(diǎn)A，即點(diǎn)xn與點(diǎn)A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：無限的趨向0無限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則1.數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數(shù)列{xn}收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如：1，0，1，0，…有界：0，12.數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1），（2），則定理1.4若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。定理1.5（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)極限的概念1.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）→A（當(dāng)x→x0時(shí)）例y=f（x）=2x+1x→1,f（x）→?x<1x→1x>1x→1（2）左極限當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的左極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的左邊無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作或f（x0-0）=A（3）右極限當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）的右極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的右邊無限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作或f（x0+0）=A例子：分段函數(shù)，求，解：當(dāng)x從0的左邊無限地趨于0時(shí)f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的左極限是1，即有當(dāng)x從0的右邊無限地趨于0時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的右極限是-1，即有顯然，函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取定理1.6當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于A，則必有。x→1時(shí)f(x)→?x≠1x→1f(x)→2對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)，f（x）的左極限是2，右極限也是2。2.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+→1定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）→A（當(dāng)x→∞時(shí)）（2）當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n→+∞的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。y=f(x)x→+∞f(x)x→？x→+∞，f(x)=2+→2例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→？解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2所以（3）當(dāng)x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限是A，記作欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取x→-∞f(x)→？則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞f(x)=2+→2例：函數(shù)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→？解：當(dāng)x→-∞時(shí)，-x→+∞→2，即有由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時(shí)f（x）的極限是A充分必要條件是當(dāng)x→+∞以及x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）無限地趨于常數(shù)1，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）也無限地趨于同一個(gè)常數(shù)1，因此稱當(dāng)x→∞時(shí)的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取f(x)=1+y=arctanx不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理定理1.9如果則（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，時(shí)，上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：（1）（2）（3）用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的情形也都成立。（五）無窮小量和無窮大量1.無窮小量（簡(jiǎn)稱無窮小）定義對(duì)于函數(shù)，如果自變量x在某個(gè)變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，…來表示無窮小量。定理1.10函數(shù)以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個(gè)無窮小量之和。注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無限趨于為零。（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。（3）一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。例如：振蕩型發(fā)散（4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無窮小量。（5）無窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)椤?.無窮大量（簡(jiǎn)稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或∞）時(shí)，的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意：無窮大（∞）不是一個(gè)數(shù)值，“∞”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成或。3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。當(dāng)無窮大無窮小當(dāng)為無窮小無窮大4.無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)3有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較定義設(shè)是同一變化過程中的無窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價(jià)無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價(jià)的無窮小量。當(dāng)?shù)葍r(jià)無窮小量代換定理：如果當(dāng)時(shí)，均為無窮小量，又有且存在，則。均為無窮小又有這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無窮小量代換有：當(dāng)時(shí)，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;（六）兩個(gè)重要極限1.重要極限Ⅰ重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式令這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的型的極限問題。其結(jié)構(gòu)式為：2.重要極限Ⅱ重要極限Ⅱ是指下面的公式：其中e是個(gè)常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取e=2.718281828495045……其結(jié)構(gòu)式為：重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法：1.利用極限的四則運(yùn)算法則求極限；2.利用兩個(gè)重要極限求極限；3.利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6.利用等價(jià)無窮小代換定理求極限?；緲O限公式（2）（3）（4）例1.無窮小量的有關(guān)概念（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是A.B.C.D.[答]CA.發(fā)散欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取D.（2）[0202]當(dāng)時(shí)，與x比較是A.高階的無窮小量B.等價(jià)的無窮小量C.非等價(jià)的同階無窮小量D.低階的無窮小量[答]B解:當(dāng),與x是極限的運(yùn)算：[0611]欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取解：[答案]-1例2.型因式分解約分求極限（1）[0208][答]解:（2）[0621]計(jì)算[答]解:例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計(jì)算[答]解:（2）[9516][答]解:欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取例4.當(dāng)時(shí)求型的極限[答]（1）[0308]一般地，有例5.用重要極限Ⅰ求極限欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索?。?）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006][答]解:例6.用重要極限Ⅱ求極限（1）[0416]計(jì)算[答][解析]解一：令解二：[0306][0601]（2）[0118]計(jì)算[答]解:例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限[0407][答]0解:，例8.用等價(jià)無窮小代換定理求極限[0317][答]0解:當(dāng)例9.求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限（1）[0307]設(shè)則在的左極限[答]1[解析]（2）[0406]設(shè),則[答]1[解析]例10.求極限的反問題（1）已知?jiǎng)t常數(shù)[解析]解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必達(dá)法則）即，得.（2）若求a,b的值.[解析]型未定式.當(dāng)時(shí)，.令于是，得.即，所以.[0402][0017]，則k=_____.（答:ln2）[解析]前面我們講的內(nèi)容：極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則；兩個(gè)重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性[復(fù)習(xí)考試要求]1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。[主要知識(shí)內(nèi)容]（一）函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量△y也趨近于0，即則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)也可作如下定義：定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)；如果欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并稱f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即f（x）在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)?？梢宰C明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3.函數(shù)的間斷點(diǎn)定義如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)則稱點(diǎn)x0為f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，若f（x）在點(diǎn)x0處有下列三種情況之一：（1）在點(diǎn)x0處，f（x）沒有定義；（2）在點(diǎn)x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點(diǎn)x0處f（x）有定義，且存在，但，則點(diǎn)x0是f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。，則f（x）在A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù)C.x=0處間斷，x=1處連續(xù)D.x=0處連續(xù)，x=1處間斷解：x=0處，f（0）=0∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點(diǎn)x=1處，f（1）=1f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續(xù)［答案］C[9703]設(shè)，在x=0處連續(xù)，則k等于A.0B.C.D.2欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取分析：f（0）=k［答案］B例3[0209]設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=解：f（0）=e0=1∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1［答案］1（二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續(xù)（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1.15（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在[a，b]上至少存在一個(gè)ξ，使得欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=0（四）初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則f（x）在x0處連續(xù)也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的極限值，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。［0407］[0611]例1.證明三次代數(shù)方程x3-5x+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證：設(shè)f（x）=x3-5x+1f（x）在［0，1］上連續(xù)f（0）=1由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0即方程在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。本章小結(jié)函數(shù)、極限與連續(xù)是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運(yùn)算又是微積分的三大運(yùn)算中最基本的運(yùn)算之一，必須熟練掌握，這會(huì)為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。這一章的內(nèi)容在考試中約占15%，約為22分左右。現(xiàn)將本章的主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：一、概念部分重點(diǎn)：極限概念，無窮小量與等價(jià)無窮小量的概念，連續(xù)的概念。極限概念應(yīng)該明確極限是描述在給定變化過程中函數(shù)變化的性態(tài)，極限值是一個(gè)確定的常數(shù)。函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性的三個(gè)基本要素：（1）f（x）在點(diǎn)x0有定義。（2）存在。（3）。常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。二、運(yùn)算部分重點(diǎn)：求極限，函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性的判定。1.求函數(shù)極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運(yùn)算法則求極限；對(duì)于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個(gè)重要極限求極限；（3）利用無窮小量的性質(zhì)求極限；（4）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；若f（x）在x0處連續(xù)，則。（5）利用等價(jià)無窮小代換定理求極限；（6）會(huì)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限；（7）利用洛必達(dá)法則求未定式的極限。2.判定函數(shù)的連續(xù)性，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理證明方程的根的存在性。欲獲取完整版請(qǐng)——QQ：索取第一章函數(shù)及其圖形第二章極限和連續(xù)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章一元函數(shù)積分學(xué)第六章多元函數(shù)微積分前言《高等數(shù)學(xué)一》共6章。第一章函數(shù)1.主要是對(duì)高中知識(shí)的復(fù)習(xí)；2.對(duì)今后知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)；3.本章知識(shí)在歷年考題中所占的分值并不多，一般是4至5分。第二章極限和連續(xù)本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右。第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分主要是如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右。第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用本章在歷年考題中所占分值為15%左右。第五章一元函數(shù)積分學(xué)包括函數(shù)的不定積分和一元函數(shù)定積分。本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為25%左右。第六章多元函數(shù)微積分本章內(nèi)容在歷年考試題中所占比例為15%左右。第一章函數(shù)及其圖形1.1預(yù)備知識(shí)一、基本概念1.集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素。2.包含關(guān)系集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱為A包含于B，或B包含A。若XA，則必xB，就說A是B的子集，記作AB數(shù)集分類：N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系：NZ,ZQ,QR.3.相等關(guān)系若AB，且BA，就稱集合A與B相等。記作（A＝B）例1則A＝C.4.空集不含任何元素的集合稱為空集（記作）。規(guī)定空集為任何集合的子集。例25.集合之間的運(yùn)算1)并：由中所有元素組成的集合稱為A和B的并集，記為AB例3例42）交：由既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A和B的交集，記為AB例5例63）差：由A中不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集，記為A-B例7二、絕對(duì)值1.絕對(duì)值的定義：2.絕對(duì)值的性質(zhì)：（1），如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí)，（2）（3）（4）3.絕對(duì)值的幾何意義：（1）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x與原點(diǎn)之間的距離為a。（2）表示數(shù)軸上的兩點(diǎn)x與y之間的距離為a。4.絕對(duì)值不等式：k>0時(shí)，則有k>0時(shí)，則有例8，求x的值。答案：x=±55.絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)：例9化去下列各式絕對(duì)值的符號(hào)：（1）如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：（2）（3）（4）如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：例10解下列含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式：（1）（2）（3）如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：三、區(qū)間是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)，這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)。以上區(qū)間都叫有限區(qū)間這兩種形式的區(qū)間叫無限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義：兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.四、鄰域如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：設(shè)a與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且>0，數(shù)集稱為點(diǎn)a的鄰域，記作U(a)。點(diǎn)a叫做這個(gè)鄰域的中心，叫做這個(gè)鄰域的半徑。點(diǎn)a的去心鄰域，記作。區(qū)間與鄰域的關(guān)系：例11解不等式并用區(qū)間表示不等式的解集：（1）（2）1.2函數(shù)一、函數(shù)的概念1.定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)x∈D，變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，當(dāng)時(shí)，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域。2.函數(shù)的兩要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則。約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。例1、例2、例3、判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否相等例4、求函數(shù)的定義域例5、符號(hào)函數(shù)3.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。例6、例7、求下面分段函數(shù)定義域并畫出圖形。例8、將下面函數(shù)化為分段函數(shù)二、函數(shù)的表示法1.圖象法2.表格法3.解析法1.3函數(shù)的特性一、函數(shù)的有界性若有成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有界，否則稱無界。例9、判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界（1）符號(hào)函數(shù)y＝sgnx（2）y＝x22.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I∈D，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時(shí)，恒有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I∈D,如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：例10、求y＝x2的單調(diào)性例11、求y＝sinx的單調(diào)性3.函數(shù)的奇偶性：設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有稱f（x）為偶函數(shù)；設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，有f（-x）=-f（x）稱f（x）為奇函數(shù)。4.函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一則稱f（x）為周期函數(shù)，l稱為f（x）的周期，且恒成立（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）。如需精美完整排版，請(qǐng)QQ：例12、判斷下列函數(shù)是否有界（1）（2）y＝cosx例13、判斷下面函數(shù)的奇偶性（1）（2）例14、判斷函數(shù)是否是周期函數(shù)，如果是，則求出最小正周期。1.4反函數(shù)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱。1.5復(fù)合函數(shù)1．復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f（u）的定義域Df,而函數(shù)的值域?yàn)?若,則稱函數(shù)為x的復(fù)合函數(shù)。x←自變量，u←中間變量，y←因變量；注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的；例如：不能符合成2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)及以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成。例如：這個(gè)函數(shù)是由復(fù)合而成。例1.分解復(fù)合函數(shù)（1）（2）例2.復(fù)合函數(shù)的計(jì)算（1）（