試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat12頁共NUMPAGES\*MergeFormat14頁2023屆上海市交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、填空題1．正多面體按其面數(shù)分有___________種【答案】5【分析】由正多面體的概念判斷．【詳解】正多面體有正四面體，正方體（正六面體），正八面體，正十二面體，正二十面體共5種，故答案為：5.2．若，那么角α的終邊與角β的終邊___________【答案】重合或關(guān)于軸對稱【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．【詳解】設(shè)是終邊上一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），則（是坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)與終邊相同時，取同一點(diǎn)，當(dāng)與終邊關(guān)于軸對稱時，取終上點(diǎn)，計算可得因此由知，角α的終邊與角β的終邊重合或關(guān)于軸對稱．故答案為：重合或關(guān)于軸對稱．3．若，，那么在方向上的投影為___________【答案】【分析】根據(jù)投影的定義求解．【詳解】由已知，，，所以在方向上的投影為.故答案為：．4．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)___________【答案】0或2【分析】根據(jù)并集的結(jié)論得出集合的包含關(guān)系,從而得出的值.【詳解】∵，∴，顯然，若，則，滿足題意；若，則或，不合題意，代入可知滿足題意，綜上，或2.故答案為：0或2.5．已知復(fù)數(shù)，，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)___________【答案】##【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義先得到，化簡，然后利用純虛數(shù)的定義即可求解【詳解】由可得，∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，即.故答案為：6．已知的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為56：3，則___________【答案】10【分析】由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得系數(shù)比，從而求得．【詳解】，由已知第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，解得（負(fù)值舍去）．故答案為：10.7．甲、乙、丙投籃一次命中的概率分別為、、，現(xiàn)三人各投籃一次，則至少有一人命中的概率為___________【答案】##【分析】記三人各投籃一次至少有一人命中為事件A，分析可先求，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可記三人各投籃一次至少有一人命中為事件A，則，所以.故答案為：8．已知隨機(jī)變量，且，則___________【答案】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性即可計算求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，故答案為：.9．已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為、，該雙曲線與拋物線有一個公共的焦點(diǎn)，且兩曲線的一個公共點(diǎn)為P，，則的大小為___________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）【答案】【分析】由題可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式可以求得點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離，在利用余弦定理即得.【詳解】由題意知：拋物線的焦點(diǎn)是，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，又兩曲線的一個公共點(diǎn)為，且，由拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式可得，在中，由余弦定理可得：，所以的大小為，故答案為：.10．已知，若區(qū)間是函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間，最大值為___________【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式去絕對值，作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)，函數(shù)不單調(diào)；當(dāng)時，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：結(jié)合圖象可知：函數(shù)在和上單調(diào)遞減，若區(qū)間是函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間，則最大值為，故答案為：.11．設(shè)、、為空間中三條不同的直線，若與所成角為α，與所成角為β，其中，那么與所成角的取值范圍為___________【答案】【分析】不妨設(shè)、、相交于點(diǎn)，根據(jù)題意構(gòu)造兩個圓錐，結(jié)合軸截面可得與所成角的最小值與最大值，可得答案.【詳解】不妨設(shè)、、相交于點(diǎn)．如圖，根據(jù)題意構(gòu)造兩個圓錐，其中底面圓心為，軸所在直線為，小圓錐的母線所在直線為，軸截面；大圓錐的母線所在直線為，軸截面，且在一條直線上．由題意，又，可知,由圖可知，當(dāng)移動到，移動到時，可得與所成角的最小，最小值為；當(dāng)移動到，移動到時，可得與所成角的最大，最大值為，所以，與所成角的取值范圍為.故答案為：.12．一個凸36面體中有24個面是三角形，12個面是四邊形，則該多面體的對角線的條數(shù)是___________（連結(jié)不在凸多面體的同一個面內(nèi)的兩個凸面體的頂點(diǎn)的線段叫做凸多面體的對角線）【答案】241【分析】26個頂點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線去除在凸36面體面上的線即得對角線．【詳解】該多面體的棱數(shù)為，頂點(diǎn)數(shù)為，26個頂點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線去除在凸36面體面上的線即為體對角線，36面體面上的線有：36面體的棱，共有條，以及四邊形的對角線，共有條，36面體的對角線條數(shù)為．故答案為：241.二、單選題13．對任意給定的實(shí)數(shù)a、b，有，且等號當(dāng)且僅當(dāng)（

）時成立A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)化簡可得等號成立條件.【詳解】由，所以不等式取等號時，或，故選：C14．下列定理中，被稱為冪的基本不等式的是（

）A．如果，且，那么B．對任意的實(shí)數(shù)a和b，總有，且等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立C．對任意的正實(shí)數(shù)a和b，總有，且等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立D．當(dāng)，時，【答案】C【分析】根據(jù)不等式的概念判斷．【詳解】只有選項(xiàng)C中不等式左邊是兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，右邊是幾何平均數(shù)，這個不等式稱為冪的基本不等式．故選：C．15．已知數(shù)列滿足，，，是的前n項(xiàng)的和，則等于（

）A．2b B．2a C． D．【答案】B【分析】通過前幾項(xiàng)找出規(guī)律，可得到數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，進(jìn)而計算出答案【詳解】∴數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，故選：B16．在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，滿足條件，，，的排列個數(shù)是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】結(jié)合枚舉法得出排列個數(shù).【詳解】由題意，只能在中出現(xiàn)，不能出現(xiàn)在中，因此若取值4或5，則排列個數(shù)為，若取值為3或5，則4只能出現(xiàn)在5的的一側(cè)，即排列有：13254，23154，45231，45132共4個，綜上，所有排列個數(shù)為12+4=16.故選：D．三、解答題17．（1）判斷：對于三個實(shí)數(shù)a、b、c，“”是“或”的條件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并證明．（2）證明：是無理數(shù)．【答案】（1）充分不必要條件，證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)原命題與逆否命題的關(guān)系得出命題真假，據(jù)此判斷充分條件、必要條件即可；（2）利用反證法證明是無理數(shù).【詳解】（1）充分不必要條件；證明如下：命題：若，則或的逆否命題為：若且，則，顯然正確，故原命題正確，即或；命題：若或，則的逆否命題為：若，則且，顯然命題錯誤，故原命題錯誤，即或不能推出，故“”是“或”的充分不必要條件.（2）假設(shè)是有理數(shù)，，不是整數(shù)，故存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)，使得，于是，兩邊平方，得.∵是3的倍數(shù)，是3的倍數(shù).又∵是正整數(shù)，是3的倍數(shù).設(shè)(為正整數(shù))，代入上式，得，，同理也是3的倍數(shù)，這與前面的假設(shè)互質(zhì)矛盾.因此假設(shè)是有理數(shù)不成立，故是無理數(shù).18．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于和的方程組，求得和的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意有，根據(jù)，可知，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題意有，解答，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由條件，得，即，因?yàn)?，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因?yàn)?，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.19．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)501502003002006040(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果四舍五入為整數(shù)）；(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過8天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；潛伏期8天潛伏期天總計50歲以上（含50）10050歲以下65總計200(3)以這1000名患者的潛伏期超過8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過8天的概率，每名患者的潛伏期是否超過8天相互獨(dú)立.為了深入研究，該研究團(tuán)隊隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過8天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.【答案】(1)7天(2)列聯(lián)表見解析，不能認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)(3)6人【分析】（1）直接代入頻率分布直方圖估計平均值公式；（2）完成列聯(lián)表，計算再與比較大??；（3）由題知，一名患者潛伏期超過8天的概率為，設(shè)20名患者中潛伏期超過8天的人數(shù)為，則，再列不等式即可得到答案；【詳解】（1）平均數(shù)（天）.（2）由題設(shè)知：潛伏期天數(shù)在的頻率為，潛伏期天數(shù)在的頻率為，故200人中潛伏期在上有140人，在上有60人.列聯(lián)表如下：潛伏期8天潛伏期8天總計50歲以上（含50）752510050歲以下6535100總計14060200，故在犯錯誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).（3）由題知，一名患者潛伏期超過8天的概率為，設(shè)20名患者中潛伏期超過8天的人數(shù)為，則，且，由題意得，即化簡得解得，即潛伏期超過8天的人數(shù)最有可能是6.20．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時，求直線的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，求的最小值．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)【詳解】試題分析：（1）設(shè)拋物線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離,求出,得到拋物線方程；（2）對拋物線方程求導(dǎo),求出切線的斜率,用點(diǎn)斜式寫出切線方程,化成一般式,找出共同點(diǎn),得到直線的方程；（3）由拋物線定義可知，聯(lián)立直線與拋物線方程,消去,得到一個關(guān)于的一元二次方程,由韋達(dá)定理求得的值,還有,將表示成的二次函數(shù)的形式,再求出最值.試題解析:解：（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，解得，所以拋物線的方程為.（2）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得，設(shè)(其中)則切線的斜率分別為，所以切線的方程為，即，即，同理可得切線的方程為，因?yàn)榍芯€均過點(diǎn)，所以，，所以為方程的兩組解，所以直線的方程為.（3）由拋物線定義可知，聯(lián)立方程，消去整理得.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以又點(diǎn)在直線上，所以，所以，所以當(dāng)時，取得最小值,且取得最小值為.【解析】1.點(diǎn)到直線距離公式；2.拋物線方程；3.利用導(dǎo)數(shù)求拋物線上某點(diǎn)切線的斜率；4.二次函數(shù)求最值.【方法點(diǎn)晴】本題利用拋物線為載體,考查了求拋物線方程,利用導(dǎo)數(shù)求拋物線上某點(diǎn)切線的斜率等知識點(diǎn),屬于中檔題.第一問很容易,第二問中,利用導(dǎo)數(shù)求拋物線上一點(diǎn)的切線斜率,比用聯(lián)立方程,判別式等于的方法要好,步驟少,花的時間也少.從切線的方程,得出直線的方程;第三問先用拋物線定義把的值表示出來,聯(lián)立直線與拋物線方程,得到的值,將表示成的二次函數(shù)的形式,再求出最值.21．已知．(1)若關(guān)于x的方程有解，求實(shí)數(shù)a的最小值；(2)證明不等式；(3)類比（2）中不等式的證明方法，嘗試證明：（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)0；(2)證明見解析；(3)證明見解析．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求出的值域即得；（2）由（1）得，分別取得個不等式相加即可證；（3）在中令，所得不等式相加可證明右邊不等式成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明時，，然后同樣令，所得不等式利用不等式的性質(zhì)放縮后相加可證明左