章末總結(jié)提高(見A本35頁),研究點1圓的定義應(yīng)用的延長性)【例1】2017·青島中考如下圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，連接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，則∠EBD的度數(shù)為__32__度．例1圖變式圖變式如下圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC的均分線交△ABC外接圓于點D，連接BD，若AB＝2AC＝4.則BD長為__2__；設(shè)點P在優(yōu)弧CAB上由點C向點B挪動(不與點C，B重合)，記∠PBC的角均分線與PD交點為

I，點

I隨點

P的挪動所經(jīng)過的路徑長

l的取值范圍是

__0＜l

＜4π

__．3,研究點2“弧”與“圓周角”的主角性)【例2】如下圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點︵︵求證：(1)CB∥PD；(2)BC＝PC.

P在⊙O上，∠

1＝∠C.例2圖︵證明：(1)∵∠P，∠C所對的弧都是BD，∴∠P＝∠C.∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，CB∥PD.︵︵∵∠1＝∠C，∴BD＝PC.∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，︵︵︵︵BC＝BD，∴BC＝PC.變式圖︵︵變式如下圖，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，AB＝AE，BE分別交AD，AC于點F，G.求證：FA＝FB.例2答圖證明方法1：連接OA，OE，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAD＝90°，AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°，∴∠C＝∠BAF，︵︵AB＝AE，∴∠C＝∠ABF，∴∠BAF＝∠ABF，∴FA＝FB.方法2：延長AD交⊙O于H，︵︵︵由AD⊥BC易得BH＝AB＝AE，∴∠ABF＝∠BAF，∴FA＝FB.研究點3圓與正多邊形、扇形、弓形的關(guān)系性)2例3圖【例3】如下圖，正方形ABCD的對角線AC所在的直線上有一點O，OA＝AC＝2，將正方形繞O點順時針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是(C)A．2πB．2π＋1C．2π＋2D．2π＋3,研究點4圓中的最值問題)【例4】如下圖，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD為直徑的半圓上的一個動點，連接BP，則BP的最大值是__13＋2__．例4圖變式圖變式如下圖，C，D是以AB為直徑的圓O上的兩個動點(點C，D不與A，B重合)，在運動過程中，弦CD一直保持不變，M是弦CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P.若CD＝6，AB＝8，PM＝x，則x的最大值是(C)A．5B．25C．4D．2331．如下圖，在一張正六邊形紙片中剪下兩個全等的直角三角形(暗影部分)，拼成一個四邊形．若拼成的四邊形的面積為2，則紙片的節(jié)余部分拼成的五邊形的面積為(D)第1題圖A．5B．6C．8D．10第2題圖2．如下圖，AB為⊙O的直徑，點P為其半圓上隨意一點(不含A，B兩點)，點Q為另1一半圓上必定點，若∠POA為x°，∠PQB為y°，則y與x的函數(shù)表達式為y＝90－2x，且0＜x＜180．第3題圖3．如下圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連接OP.求證：BD＝DC.求∠BOP的度數(shù)．第3題答圖解：(1)證明：如圖，連接AD.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD.4(2)∵∠BAC＝30°，AB＝AC，1∴∠ABC＝2×(180°－30°)＝75°.∵四邊形ABDE為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠EDC＝∠BAC＝30°.BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30°，∴∠OBP＝∠ABC－∠PBC＝45°.OB＝OP，∴△OBP為等腰直角三角形，∴∠BOP＝90°.第4題圖4．在⊙O中，弦AC，BD訂交于點M，且∠A＝∠B.求證：AC＝BD；若OA＝2，∠A＝30°，當AC⊥BD時，求弧CD的長．解：(1)證明：作OE⊥BD，OF⊥AC，則AC＝2AF，BD＝2BE.在Rt△OFA和Rt△OEB中，OA＝OB，∠A＝∠B.Rt△OFA≌Rt△OEB.∴AF＝BE，∴AC＝BD.連接OC，OD，CD.∵OC＝OA＝OD＝OB，∠A＝30°，∴∠OCA＝∠ODB＝∠B＝30°.AC⊥BD，∴∠MCD＋∠MDC＝90°.∴∠OCD＋∠ODC＝∠OCM＋∠MCD＋∠MDC＋∠MDO＝90°＋30°＋30°＝150°，︵30°π∴∠COD＝30°，∴CD＝360°×π×2×2＝3.第5題圖︵5．如下圖，已知AB是⊙O的直徑，半徑OD⊥BC于點E，連接AE，CD的度數(shù)為60°.求證：OE＝DE.若OE＝2，求圖中暗影部分的面積．︵︵解：(1)證明：∵OD⊥BC，∴CD＝BD＝60°.∴∠BOD＝60°.∵OD＝OB，連接BD，∴△BOD為等邊三角形．BC⊥OD，∴OE＝DE.(2)連接AC，OC，∵AB為直徑，∴AC⊥BC.5又∵OE⊥BC，∴AC∥OE，S△OAC＝S△EAC.∵∠BOE＝60°，OE⊥BC，∴∠OBC＝30°，∴∠AOC＝2∠OBC＝60°，OA＝AC＝2OE＝4，∴S＝S＝60π·428360＝3陰扇形AOC6．在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧︵AC沿弦AC翻折交AB于點D，連接CD.如圖1，若點D與圓心O重合，AC＝2，求⊙O的半徑r；如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC＝25°，請直接寫出∠DCA的度數(shù)．第6題圖解：(1)如圖1，過點O作OE⊥AC于點E，1則AE＝2AC＝2×2＝1，1∵翻折后點D與圓心O重合，∴OE＝r，2222在Rt△AOE中，AO＝AE＋OE，221223即r＝1＋2r，解得r＝3.第6題答圖如圖2，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠