矩陣論線性子空間第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日一、線性子空間

1、線性子空間的定義設V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對于V中的兩種運算也構成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V的一個線性子空間，簡稱為子空間．注：①線性子空間也是數(shù)域P上一線性空間，它也②任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的有基與維數(shù)的概念.

維數(shù).第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日2、線性子空間的判定，若W對于V中兩種運算封閉，即

則W是V的一個子空間．

定理：設V為數(shù)域P上的線性空間，集合

推論：V為數(shù)域P上的線性空間,

則W是V的子空間第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日∵，∴.

且對，

由數(shù)乘運算封閉，有

，即W中元素的負元素就是它在V中的負元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的．下證3）、4）成立．

由加法封閉，有,即W中的零元

證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則．

第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日

例2設V為所有實函數(shù)所成集合構成的線性空間,則R[x]為V的一個子空間．

例3P[x]n是P[x]的的線性子空間．

例1設V為數(shù)域P上的線性空間，只含零向量的子集合是V的一個線性子空間，稱之為V的零子空間．線性空間V本身也是V的一個子空間.這兩個子空間有時稱為平凡子空間，而其它的子空間稱為非平凡子空間．

第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日的全部解向量所成集合W對于通常的向量加法和數(shù)①(＊)的解空間W的維數(shù)＝n－秩(A)，；例4

n元齊次線性方程組

(＊)

注②(＊)的一個基礎解系就是解空間W的一組基.空間，稱W為方程組(＊)的解空間．量乘法構成的線性空間是

n

維向量空間

Pn

的一個子第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：

解：W1、W3是Pn的子空間，

W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基.事實上，W1是n元齊次線性方程組的解空間.所以，維W1＝n－1，①的一個基礎解系①第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日就是W1的一組基.而在

W2中任取兩個向量，設則故W2不是Pn的子空間.第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日故，W3為V的一個子空間，且維W3＝n－1，則有

其次，

設下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基.第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日例6設V為數(shù)域P上的線性空間，

則W關于V的運算作成V的一個子空間．

即的一切線性組合所成集合.第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日稱為V的由生成的子空間，二、一類重要的子空間

——生成子空間

定義：V為數(shù)域P上的線性空間，

則子空間

，記作．稱為的一組生成元.第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日例7在Pn

中，

為Pn的一組基，即Pn

由它的一組基生成.類似地，還有事實上，任一有限維線性空間都可由它的一組基生成.第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日有關結論1、設W為n維線性空間V的任一子空間，是W的一組基，則有2、（定理3）

1）；為線性空間V中的兩組向量，則與等價．

2）生成子空間的維數(shù)＝向量組的秩．第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日證：1）若

則對

有，

從而可被線性表出；同理每一個

也可被線性表出.

所以，

與等價．

，

可被線性表出，

從而可被線性表出，即

反之，

與等價．

第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日所以,

同理可得，

故，

由§3定理1，

2）設向量組

的秩＝t，不妨設

為它的一個極大無關組．

因為

與等價，

就是的一組基，

所以，的維數(shù)＝t．第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日無關組，則推論：設是線性空間V中不全為零的一組向量，是它的一個極大3、設為P上n維線性空間V的一組基，則的維數(shù)＝秩(A).A為P上一個矩陣，若第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日證：設秩(A)＝r，不失一般性，設A的前r列線性無關，并將這r列構成的矩陣記為A1，其余s-r列構成的矩陣記為A2，則A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，設即下證線性無關.第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日是V的一組基，又秩(A1)＝r，∴方程組②只有零解，即②線性無關.從而第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日任取將A的第

j

列添在A1的右邊構成的矩陣記為Bj，則則有即設第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日從而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全為零的數(shù)故為的極大無關組，所以的維數(shù)＝r＝秩(A).線性相關.第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日則向量組與矩陣A的列向量組具有相同線性相關性.所以可對矩陣A作初等行變換化階梯陣來求向量組的一個極大無關組，從而求出生成子空間的維數(shù)與一組基.注：由證明過程可知，若為V的一組基，第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日為

V

的一組基．即在

V

中必定可找到

n－m

個向量設W為

n維線性空間

V

的一個

m

維子空間，4、（定理4）為W的一組基，則這組向量必定可擴充，使為

V

的一組基．擴基定理

證明：對n－m作數(shù)學歸納法．當n－m＝0時，即

n＝m，定理成立．就是V的一組基.假設當n－m＝k時結論成立.第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我們考慮n－m＝k＋1的情形．必定是線性無關的．既然還不是V的一組基，它又是線性無關的，那么在V中必定有一個向量不能被線性表出，把它添加進去，則由定理3，子空間

是m＋1維的．可以擴充為整個空間V的一組基．由歸納原理得證.

由歸納假設，的基第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日它擴充為P4的一組基，其中例8求的維數(shù)與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日由B知，為的一個極大故，維＝3，就是的一組基.無關組.第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日則線性無關，從而為P4的一組基.第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日練習設V為數(shù)域P上的線性空間，為V的一組基，